隨機和認(rèn)知不確定性量化的置信區(qū)域法*

孫東陽， 陳國平， 張保強

(1.重慶大學(xué)航空航天學(xué)院 重慶，400044) (2.南京航空航天大學(xué)機械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點實驗室 南京，210016) (3.廈門大學(xué)航空航天學(xué)院 廈門，361005)

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隨機和認(rèn)知不確定性量化的置信區(qū)域法*

孫東陽1， 陳國平2， 張保強3

(1.重慶大學(xué)航空航天學(xué)院 重慶，400044) (2.南京航空航天大學(xué)機械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點實驗室 南京，210016) (3.廈門大學(xué)航空航天學(xué)院 廈門，361005)

針對非線性機械系統(tǒng)中混合不確定性量化的問題，提出了隨機和認(rèn)知不確定性量化的置信區(qū)域法。首先，分別用概率論方法和區(qū)間方法來處理混合不確定性中的隨機不確定性和認(rèn)知不確定性，得到混合不確定性的置信區(qū)域；然后，為了在時間域內(nèi)對不確定性進(jìn)行傳播，對傳統(tǒng)雙層循環(huán)蒙特卡羅抽樣方法進(jìn)行了改進(jìn)；最后，以非線性質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)為例討論了基于混合不確定性分析方法的有效性。結(jié)果表明，同時考慮隨機不確定性和認(rèn)知不確定性，有利于提高系統(tǒng)設(shè)計的可靠性，為非線性機械系統(tǒng)的設(shè)計與精度分析提供了理論依據(jù)。

置信區(qū)域; 隨機不確定性; 認(rèn)知不確定性; 蒙特卡羅

引 言

在非線性機械系統(tǒng)的分析中，不確定性的處理作為一個研究熱點，已經(jīng)受到越來越廣泛的關(guān)注[1-5]。

不確定性按照其數(shù)據(jù)信息的掌握情況通常分為隨機不確定性和認(rèn)知不確定性[6-7]。隨機不確定性[8-9]源于系統(tǒng)行為的固有隨機性，是一種不可避免的不確定性。認(rèn)知不確定性[10]是由于缺乏數(shù)據(jù)引起的，是可以隨著認(rèn)識的深入而減少的不確定性。在處理隨機不確定性時，通常選用傳統(tǒng)概率論方法[11]。然而，在處理認(rèn)知不確定性時，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的選擇一直是一個挑戰(zhàn)性問題[12]。模糊集理論[13]、區(qū)間分析[14-15]、證據(jù)理論[16]和可能性理論[17]已經(jīng)廣泛地應(yīng)用于研究認(rèn)知不確定性。當(dāng)系統(tǒng)中同時存在隨機和認(rèn)知不確定性時，處理這樣的問題將面臨兩方面的挑戰(zhàn)。首先，是選擇合適的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)去描述這兩種不確定性；其次，需要將兩種不確定性進(jìn)行分離，以分析各種不確定性對結(jié)果的貢獻(xiàn)程度[18]。目前，處理這類混合不確定性的方法主要分為概率邊界方法，二階概率論方法和Demspster-Shafer證據(jù)理論[19]。這3類混合不確定性分析方法在分析系統(tǒng)的時域響應(yīng)時都只能分析響應(yīng)的極值或特定時刻的系統(tǒng)響應(yīng)[20]。筆者提出了隨機和認(rèn)知不確定性量化的置信區(qū)域法，該方法能夠在時域內(nèi)對系統(tǒng)響應(yīng)進(jìn)行分析;隨后，提出了改進(jìn)的雙層循環(huán)蒙特卡羅抽樣方法; 最后，以非線性質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)為研究對象，用隨機和認(rèn)知不確定性量化的置信區(qū)域法對模型參數(shù)中存在的不確定性進(jìn)行了分析。

1 非線性質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)動力學(xué)建模

(1)

其中：m為質(zhì)量;c為阻尼;k和kf分別為線性剛度和非線性剛度。

圖1 非線性質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)Fig.1 Nonlinear mass-spring-damper system

(2)

限定系統(tǒng)的非線性及阻尼比較弱

0≤ε?1,ζω0=εμ>0,μ=O(1)

該系統(tǒng)不具有精確解，可采用多尺度法研究解的一次近似。設(shè)

x(t)=x0(T0,T1)+εx1(T0,T1)

(3)

將式(3)代入式(2)，比較ε的同次冪得線性偏微分方程

通過對該方程組進(jìn)行求解可以得到Duffing系統(tǒng)的一次近似解。研究發(fā)現(xiàn)，該Duffing系統(tǒng)在簡諧激勵下有可能出現(xiàn)主共振和次共振[22]。由于不研究該系統(tǒng)的非線性特性，因此選取的激勵頻率很低，以避開共振頻率。在實際工程結(jié)構(gòu)中，由于加工精度問題、試驗條件限制和復(fù)雜環(huán)境影響，機械系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)和材料參數(shù)都存在不確定性，使傳統(tǒng)基于確定性模型計算得到的響應(yīng)結(jié)果已經(jīng)不能滿足工程實際的需要，因此對機械系統(tǒng)進(jìn)行不確定性分析具有重要的意義。其中，有一部分不確定性參數(shù)可以通過試驗找出其概率分布，這種參數(shù)不確定性為隨機不確定性。另一部分不確定性參數(shù)，難以用確定的隨機分布來描述，這就造成眾多認(rèn)知不確定性存在于系統(tǒng)中。當(dāng)系統(tǒng)同時存在隨機不確定性和認(rèn)知不確定性時，需要將這兩種不確定性進(jìn)行分離，以分析各種不確定性對總響應(yīng)的貢獻(xiàn)程度。為了便于分析，首先認(rèn)為參數(shù)不具有時變性；然后針對該系統(tǒng)存在的混合不確定性，提出了隨機和認(rèn)知不確定性量化的置信區(qū)域法。

2 置信區(qū)域法

在t時刻，包含隨機和認(rèn)知不確定性質(zhì)量塊位移的函數(shù)可以表示為

x(t)=f(a|e)=f(a1,…,anA|e1,…,enE)

(5)

其中：x(t)為t時刻質(zhì)量塊位移；a=[a1,…,anA]為隨機不確定性變量；e=[e1,…,enE]為認(rèn)知不確定性變量。

為了書寫簡便，x(t)簡寫為x。Ξi為e中元素ei的可能的值，所有e的可能值的集合可以表示為

Ξ=Ξ1×Ξ2×…×ΞnE

(6)

(7)

其中

(8)

選取不同的e值，將得到結(jié)果x不同的分布。因此，當(dāng)e從集合Ξ中選取不同的值時，將得到關(guān)于結(jié)果x的一組認(rèn)知不確定性分布。

下面主要討論如下集合形式的不確定性結(jié)構(gòu)

(9)

(10)

(11)

取q=0,當(dāng)x=xd時，Prbq(x)=2.5%；取q=1,當(dāng)x=xu時，Prbq(x)=97.5%。定義[xdxu]為t時刻質(zhì)量塊位移的95%置信區(qū)間，且當(dāng)q∈[0 1]時，有以下特性：a.對于Prbq(xdq)=2.5%，有xdq≥xd；b.對于Prbq(xuq)=97.5%，有xu≥xuq。在時域分析中，每個時刻都能得到一個95%置信區(qū)間[xd(t)xu(t)]，所有時刻置信區(qū)間的上(下)邊界即構(gòu)成質(zhì)量塊位移響應(yīng)的95%置信區(qū)域上(下)邊界。

3 改進(jìn)的雙層循環(huán)蒙特卡羅法

目前，常采用雙層循環(huán)蒙特卡羅法抽樣技術(shù)[21]來處理同時存在隨機和認(rèn)知不確定性的問題。然而，傳統(tǒng)的雙層循環(huán)蒙特卡羅抽樣方法只能處理輸出結(jié)果為標(biāo)量的系統(tǒng)(如系統(tǒng)固有頻率，使用壽命等)，因此，筆者對雙層循環(huán)蒙特卡羅抽樣方法進(jìn)行了一些修改，使其能夠處理輸出為時間響應(yīng)的系統(tǒng)。

(12)

則xd?min{xd1,…，xdnSE}

張連長:“別攔他!誰也別攔他!我看他想怎么樣!路上我是你們帶隊,到了連隊我是你們連長!想跟連長打架,反教了!”

(13)

xu?max{xu1,…，xunSE}

(14)

圖2為改進(jìn)的雙層循環(huán)蒙特卡羅法抽樣技術(shù)的主要步驟，具體為：

圖2 改進(jìn)的雙層循環(huán)蒙特卡羅法抽樣技術(shù)Fig.2 Improved double-loop Monte Carlo sampling

1) 選擇處理認(rèn)知不確定性的抽樣數(shù)量M。當(dāng)采用拉丁超立方抽樣(latin hypercube sampling，簡稱LHS)進(jìn)行抽樣時，最小抽樣數(shù)量M可以根據(jù)[21]M=m3+2進(jìn)行估算，其中m為認(rèn)知不確定性的數(shù)量。當(dāng)m不是很大時，為了提高計算精度應(yīng)該適當(dāng)增大M。

2) 選擇處理隨機不確定性的抽樣數(shù)量N。為了準(zhǔn)確描述系統(tǒng)響應(yīng)的分布，N一般要求較大。

3) 從每一個認(rèn)知不確定性(區(qū)間參數(shù))中選擇一個樣本。因為采用LHS進(jìn)行抽樣，所以選擇的抽樣數(shù)量M相對比較少。

4) 在給定認(rèn)知不確定性樣本點的條件下，從隨機不確定性分布中選擇一組樣本。

5) 采用完整的抽樣序列計算系統(tǒng)響應(yīng)。

6) 判斷隨機不確定性的N個樣本是否已經(jīng)完成。如果否，回到步驟4)；如果是，繼續(xù)步驟7)。

7) 基于隨機不確定性計算得到的N個系統(tǒng)響應(yīng)，求各時刻系統(tǒng)響應(yīng)的95%(置信度2.5%～97.5%)置信區(qū)間。所有時刻置信區(qū)間上(下)邊界即構(gòu)成選定認(rèn)知不確定性樣本點情況下隨機不確定性樣本的95%置信區(qū)域上(下)邊界。

8) 判斷認(rèn)知不確定性的M個樣本是否已經(jīng)完成。如果是，繼續(xù)步驟9)，否則回到步驟3)。

9) 將M對置信區(qū)域上、下邊界線畫在同一張圖上，以顯示具有一定置信度的所有系統(tǒng)響應(yīng)邊界的全體。每一對邊界線顯示對應(yīng)的每個認(rèn)知不確定性樣本點的系統(tǒng)響應(yīng)的一個置信區(qū)域。

10) 對所有置信區(qū)域，分別找出上邊界的最大值和下邊界的最小值，該最大上邊界和最小下邊界圍成的區(qū)域即為同時考慮隨機和認(rèn)知不確定性時的95%置信區(qū)域。

11) 將系統(tǒng)響應(yīng)的最大上邊界和最小下邊界畫在同一張圖上，以顯示混合不確定性的影響。

4 數(shù)值仿真

筆者僅考慮系統(tǒng)參數(shù)的不確定性，假設(shè)m,c,k和kf相互獨立。對不確定性參數(shù)m,c,k和kf根據(jù)實驗數(shù)據(jù)掌握情況分3種不確定性工況，分別研究質(zhì)量塊位移響應(yīng)的不確定性分布。在工況1中參數(shù)m,c,k和kf屬于隨機不確定性，假設(shè)其服從正態(tài)分布，給定均值和方差。在工況2中,參數(shù)m,c,k和kf屬于認(rèn)知不確定性，給定分布區(qū)間。在工況3中,參數(shù)k和kf屬于隨機不確定性，假設(shè)其服從正態(tài)分布，給定均值和方差，而m和c屬于認(rèn)知不確定性，給定分布區(qū)間。這3種工況的具體取值如表1所示。由于僅考慮系統(tǒng)參數(shù)的不確定性，取Y=10，ω=1。初始時刻，質(zhì)量塊位移和速度都為0。

表1 不同工況下參數(shù)的不確定性取值

在工況1中，由于參數(shù)m，c，k和kf都屬于隨機不確定性，采用傳統(tǒng)的蒙特卡羅抽樣技術(shù)對其抽樣1 000次。質(zhì)量塊位移的95%置信區(qū)域的邊界如圖3所示。在工況2中，由于參數(shù)m，c，k和kf都屬于認(rèn)知不確定性，給定參數(shù)的區(qū)間參數(shù)，所以得到的響應(yīng)也是區(qū)間數(shù)。這里采用LHS抽樣方法進(jìn)行抽樣1 000次，再將樣本點分別代入動力學(xué)方程求響應(yīng)。最后，求出響應(yīng)的最大值和最小值，如圖4所示。在工況3中,由于參數(shù)m和c屬于認(rèn)知不確定性，而k和kf屬于隨機不確定性，用改進(jìn)的雙層循環(huán)蒙特卡羅法抽樣技術(shù)對該系統(tǒng)進(jìn)行不確定性分析。外層循環(huán)對應(yīng)于質(zhì)量和阻尼的認(rèn)知不確定性進(jìn)行抽樣，內(nèi)層循環(huán)對應(yīng)于線性剛度和非線性剛度的隨機不確定性進(jìn)行抽樣。質(zhì)量塊位移的95%置信區(qū)域邊界以及混合邊界如圖5所示。

圖3 質(zhì)量塊位移的置信區(qū)域邊界以及標(biāo)準(zhǔn)模型響應(yīng)Fig.3 Statistics of mass block displacement: boundaries of confidence region and response of the nominal model

圖4 質(zhì)量塊位移的響應(yīng)區(qū)域邊界以及標(biāo)準(zhǔn)模型響應(yīng)Fig.4 Statistics of mass block displacement: boundaries of the response and response of the nominal model

圖5 質(zhì)量塊位移的置信區(qū)域邊界以及混合邊界Fig.5 Statistics of mass block displacement: boundaries of confidence region for aleatory uncertainty and mixed-uncertainty

由圖3～圖5可知，工況1中參數(shù)為隨機不確定性，因為假設(shè)參數(shù)為正態(tài)分布，所以能夠得到每個時刻質(zhì)量塊位移的概率分布，從而得到每個時刻質(zhì)量塊位移的95%置信區(qū)間和質(zhì)量塊位移的95%置信區(qū)域。工況2中參數(shù)為認(rèn)知不確定性，因為假設(shè)參數(shù)為區(qū)間數(shù)，所以同樣采用區(qū)間數(shù)即可描述質(zhì)量塊位移的不確定性。工況3中，由于參數(shù)同時存在隨機和認(rèn)知不確定性，無法用傳統(tǒng)的方法進(jìn)行不確定性分析，采用改進(jìn)的雙層循環(huán)蒙特卡羅法抽樣技術(shù)對其進(jìn)行不確定性分析，得到每個時刻質(zhì)量塊位移的概率邊界，再由概率邊界得到95%置信區(qū)間,進(jìn)而得到95%置信區(qū)域?？梢姡紤]參數(shù)存在隨機不確定性或混合不確定性時，得到質(zhì)量塊位移的響應(yīng)為置信區(qū)域，該響應(yīng)結(jié)果存在一定的置信度。考慮參數(shù)存在認(rèn)知不確定性時，得到質(zhì)量塊位移的響應(yīng)區(qū)域。通過圖5可以看出,僅考慮隨機不確定性所得到的系統(tǒng)響應(yīng)的95%置信區(qū)域包含于混合不確定性的95%置信區(qū)域內(nèi)。

5 結(jié)束語

為了對同時存在隨機和認(rèn)知不確定性的非線性機械系統(tǒng)進(jìn)行分析，筆者提出了隨機和認(rèn)知不確定性量化的置信區(qū)域法。該方法不僅能夠在整個時間域內(nèi)單獨分析隨機不確定性和認(rèn)知不確定性對響應(yīng)的影響，而且還能夠得到混合不確定性對響應(yīng)的影響。由數(shù)值仿真可知，同時考慮參數(shù)的隨機和認(rèn)知不確定性得到的置信區(qū)域邊界比只考慮隨機不確定性時的邊界要寬。因此，在對非線性機械系統(tǒng)進(jìn)行分析時考慮這兩種不確定性的影響，將使系統(tǒng)工作時更加安全。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2015.05.017

*重慶大學(xué)科研啟動基金資助項目(0240001104412)

2013-10-25；

2013-11-21

TB114; TH113

孫東陽，男，1985年6月生，博士、講師。主要研究方向為多體系統(tǒng)動力學(xué)建模及控制。曾發(fā)表《Model reduction of a multibody system including a very flexible beam element》(《Journal of Mechanical Science and Technology》2014,Vol.28,No.28)等論文。 E-mail：sundongyang@cqu.edu.cn