基于MCMC算法的貝葉斯面板單位根檢驗

李素芳，朱慧明，李 榮

(1. 湖南大學(xué) 工商管理學(xué)院, 湖南 長沙 410082；2. 中南財經(jīng)政法大學(xué) 統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院, 湖北 武漢 430073)

基于MCMC算法的貝葉斯面板單位根檢驗

李素芳1,2?，朱慧明1，李 榮1

(1. 湖南大學(xué) 工商管理學(xué)院, 湖南 長沙 410082；2. 中南財經(jīng)政法大學(xué) 統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院, 湖北 武漢 430073)

針對面板單位根檢驗存在檢驗勢不穩(wěn)定和原假設(shè)設(shè)置主觀選擇的問題，提出基于面板數(shù)據(jù)分位自回歸模型，選擇非對稱Laplace分布的似然函數(shù)對模型進行貝葉斯分位回歸分析.結(jié)合參數(shù)的完全條件分布設(shè)計MCMC抽樣算法，進行貝葉斯分位單位根檢驗，并利用Monte Carlo模擬實驗研究了貝葉斯分位單位根檢驗的有效性與可行性.研究結(jié)果表明,基于面板數(shù)據(jù)分位自回歸模型的貝葉斯單位根檢驗方法解決了檢驗勢不穩(wěn)定以及原假設(shè)主觀設(shè)置的問題，能夠給出更全面穩(wěn)健的單位根檢驗判斷.

面板數(shù)據(jù)；貝葉斯方法；分位數(shù)；單位根；仿真

許多經(jīng)濟金融時間序列的建模方法都以經(jīng)濟平穩(wěn)這一假設(shè)為基礎(chǔ)，但在實際中，經(jīng)濟金融時間序列數(shù)據(jù)通常呈現(xiàn)出非平穩(wěn)性，如利率、匯率或資產(chǎn)價格序列等，單位根檢驗是計量經(jīng)濟學(xué)中檢驗時間序列數(shù)據(jù)平穩(wěn)性的最重要工具.隨著面板數(shù)據(jù)的出現(xiàn)與不斷發(fā)展，非平穩(wěn)時間序列理論在面板數(shù)據(jù)體系下得以進一步開發(fā)與深化，面板單位根則是利用面板數(shù)據(jù)研究面板時間序列出具的非平穩(wěn)特征，同時綜合了截面維度和時間維度的數(shù)據(jù)信息，以進行更準確的單位根檢驗.

近年來，面板數(shù)據(jù)的動態(tài)特征研究，特別是圍繞非平穩(wěn)性檢驗進行的研究，受到諸多學(xué)者的關(guān)注.Shin和Jhee[1]利用帶MTAR項的面板模型，首次研究了面板數(shù)據(jù)方面的非平穩(wěn)動態(tài)非對稱性問題.而Shin和Lee[2]則利用工具變量方法消除了誤差項之間的截面相依，進行面板MTAR模型的單位根檢驗.Beyaert和Camacheo[3]研究了面板TAR模型的單位根檢驗，并用bootstrap方法考察了截面相依條件下的面板TAR單位根檢驗，并進行了面板指數(shù)平滑轉(zhuǎn)換自回歸(ESTAR)模型的單位根檢驗．與其類似的工作還有Cerrato等[4]和Chi-Keung[5]的相關(guān)研究，他們都是將Kapetanios等[6]的非線性單位根檢驗推廣到面板背景下以檢驗面板中每個時間序列的平穩(wěn)性.Chiang等[7]依據(jù)自回歸參數(shù)和轉(zhuǎn)換速度在各個個體間是一樣還是不一樣，并將ESTAR面板模型分為同質(zhì)和異質(zhì)，同時研究了同質(zhì)性面板ESTAR和異質(zhì)性面板ESTAR中的單位根檢驗，并應(yīng)用到實際匯率數(shù)據(jù)中以檢驗購買力平價假說.

然而，這些面板單位根檢驗統(tǒng)計量的漸進性質(zhì)主要依賴于個體數(shù)N和時期數(shù)T趨向無窮的假設(shè)，而實際應(yīng)用中的面板數(shù)據(jù)的個體數(shù)和時期數(shù)一般都有限，從而導(dǎo)致面板單位根檢驗水平歪曲(size distortion)和檢驗勢(power)不穩(wěn)定的問題；同時，傳統(tǒng)面板單位根是基于原假設(shè)為存在單位根或原假設(shè)為不存在單位根而進行的假設(shè)檢驗，因此，它是在原假設(shè)成立的條件下進行的假設(shè)檢驗過程，從而存在原假設(shè)設(shè)置的主觀選擇問題，影響了單位根檢驗的準確性.采用貝葉斯方法進行面板單位根檢驗?zāi)軌蚪鉀Q檢驗勢不穩(wěn)定和原假設(shè)設(shè)置主觀選擇的問題，利用后驗概率比來比較原假設(shè)和備擇假設(shè)的可能性，從而獲得更客觀可靠的判斷.因此，從貝葉斯角度研究面板單位根檢驗具有現(xiàn)實和理論意義.應(yīng)用貝葉斯方法進行面板單位根檢驗分析的研究目前還極少，主要有Meligkotsidou等[8]研究了截面相依面板模型的貝葉斯單位根檢驗方法，并將其用于研究G-7國家的GDP面板數(shù)據(jù)問題；Jung和Shin[9]研究了面板數(shù)據(jù)MTAR模型的貝葉斯分析，并進行了非對稱和單位根檢驗.本文在面板數(shù)據(jù)自回歸模型的基礎(chǔ)上，利用貝葉斯分位回歸方法，設(shè)計MCMC抽樣算法進行貝葉斯分位推斷和貝葉斯分位單位根檢驗，并進行模擬實驗研究.

1 模型結(jié)構(gòu)分析

設(shè)Z為分布函數(shù)FZ的隨機變量，τ為0和1之間的實數(shù)，記qZ(τ)為FZ的第τ分位數(shù)，從而有：

FZ(q)=τ．

即

(1)

qZ(τ)被稱為Z的τ分位點，它完全刻畫了隨機變量Z的性質(zhì).Koenker和Bassett于1978年提出了分位回歸方法，是對傳統(tǒng)分位點方法的一種擴展.假設(shè)yit是一個面板時間序列變量，考慮如下自回歸模型：

yit=α1i+φ1iyi,t-1+μit.

(2)

(3)

其中，假設(shè)誤差項εit的τ分位數(shù)為0，φi=1表明yit服從單位根過程，|φi|<1表明yit是一個平穩(wěn)序列；而φi>1則表示yit具有突增特性.

根據(jù)分位回歸的思想，可以通過最小化非對稱加權(quán)絕對離差得到分位自回歸模型的參數(shù)估計，即

(4)

pAL(εit)=τ(1-τ)exp {-ρτ(εit)}.

(5)

其中，ρτ(·)的定義與前面一致.從而，很容易證明εit的τ分位數(shù)為0，均值與方差分別為:

2 貝葉斯分析

依據(jù)Kobayashi等[12]的觀點，在貝葉斯框架中，為了利用Gibbs抽樣算法進行模型估計，將假設(shè)誤差項εit服從非對稱Laplace分布的如下位置——尺度混合形式：

(6)

此處，ξ=(1-2τ)/(τ(1-τ))，θ2=2/[τ(1-τ)]，且vit～exp (1)與uit～N(0,1)相互獨立.從而，面板數(shù)據(jù)自回歸模型對應(yīng)的面板分位自回歸模型變?yōu)?

(7)

如果設(shè)模型的參數(shù)空間為Θ(τ)=[αi(τ),φi(τ),vit(τ)]或者Θ，可以得到面板分位自回歸模型的似然函數(shù)為:

(8)

由于參數(shù)的聯(lián)合后驗分布與似然函數(shù)、先驗分布的乘積成正比，所以，通過參數(shù)的先驗分布設(shè)置可以得到參數(shù)相應(yīng)的條件后驗分布.設(shè)Θ-w表示參數(shù)空間Θ中除去w的其他參數(shù)的集合，下面討論面板分位自回歸模型參數(shù)的后驗條件分布.

1)αi的完全條件后驗分布.由條件概率的定義，?i=1,2,…,N，參數(shù)αi的條件后驗分布之間相互獨立，則αi關(guān)于參數(shù)Θ-α的完全條件分布為:

(9)

其中：

2)φi的完全條件后驗分布.類似地，由條件概率的定義，?i=1,2,…,N，自回歸參數(shù)φi的條件后驗分布之間相互獨立，φi的完全條件后驗分布為:

(10)

其中：

3)根據(jù)條件概率的定義，參數(shù)vit關(guān)于Θ-v=[αi(τ),φi(τ)]的完全條件后驗分布可以看作服從廣義逆高斯分布，即

(11)

d2x)}，x>0，-∞

(12)

在此，Kq(·)是第三類修正的Bessel函數(shù).

3 MCMC算法

面板數(shù)據(jù)單位根檢驗即是進行假設(shè)檢驗H0:φi=1?H1:φi<1.在分位回歸模型框架下，利用分位單位根檢驗方法進行單位根檢驗具有現(xiàn)實的意義，例如，在中位數(shù)水平下的單位根過程則意味著大多數(shù)個體服從單位根過程或者較少的個體具有單位根，因此，分位數(shù)水平下的檢驗是一個反應(yīng)檢驗?zāi)康牡母眠x擇.一般地，第τ分位水平下的單位根假設(shè)為H0:φi(τ)=1，如果-1<φi(τ)<1，則說明在第τ分位水平下yit是平穩(wěn)過程.在此，主要考察中位數(shù)水平下的面板數(shù)據(jù)單位根檢驗，即對H0:φi(0.5)=1?H1:φi(0.5)<1進行貝葉斯假設(shè)檢驗.在貝葉斯理論中，一般采用貝葉斯因子進行模型選擇和假設(shè)檢驗，貝葉斯因子的計算一般比較復(fù)雜，通常需要通過邊緣似然函數(shù)來計算貝葉斯因子；而對于嵌套模型，應(yīng)用廣義Savage-Dickey密度比(SDDR)計算貝葉斯因子使得計算簡化，避免了計算每個假設(shè)下相應(yīng)模型的邊緣似然函數(shù).在此，令單位根檢驗的貝葉斯因子為B10=P(H1|Data)/P(H0|Data)，通過MCMC算法得到模型參數(shù)的后驗分布的樣本，利用這些樣本獲得參數(shù)的后驗密度估計，從而可以計算貝葉斯因子以及各個假設(shè)的后驗概率，以得到更加詳細的后驗判斷.

重復(fù)步驟1～3，直至迭代分布收斂到參數(shù)的目標分布，Markov鏈達到平穩(wěn)狀態(tài)時則停止，為了消除初始值的影響，可以舍棄掉開始的若干次抽樣，根據(jù)遍歷性定理，從而可以用舍棄掉初始若干次抽樣樣本后的抽樣序列，對面板數(shù)據(jù)自回歸模型參數(shù)進行分位估計，并利用這些抽樣樣本計算貝葉斯因子和后驗概率比，以檢驗面板時間序列在各個分位水平下的單位根性質(zhì).

由于貝葉斯假設(shè)檢驗可以看作一個貝葉斯決策問題，從而貝葉斯理論中常用貝葉斯因子和后驗概率比進行模型選擇和假設(shè)檢驗，如果有若干個假設(shè){H0,H1,H2,…,Hs}可供選擇，則可以利用現(xiàn)有數(shù)據(jù)，應(yīng)用各個假設(shè)對應(yīng)的模型對數(shù)據(jù)擬合的優(yōu)劣進行比較來對這些假設(shè)進行檢驗.設(shè)Mi和Mj分別為假設(shè)Hi和Hj對應(yīng)的模型，假設(shè)Hi和Hj條件下的參數(shù)分別為θi和θj，π(θi)和π(θj)分別為θi和θj的先驗分布密度函數(shù)，也即分別代表先驗?zāi)Ｐ透怕师?Mi)和π(Mj)，l(θi|x)和l(θj|x)分別為樣本x=(x1,x2,…,xn)在Hi和Hj下的邊緣似然函數(shù)，則假設(shè)Hi相對于假設(shè)Hj進行檢驗的后驗概率比為：

(13)

π(M0|x)+π(M1|x)=1.

(14)

從而可以得到假設(shè)H0和H1的后驗概率為：

π(H1|x)=π(M1|x)=1-π(M0|x).

(15)

當假設(shè)Hi和Hj對應(yīng)的模型的先驗?zāi)Ｐ透怕师?Mi)=π(Mj)時，先驗概率比等于1，所以，后驗概率比簡化為邊緣似然的比，即所謂的貝葉斯因子.

而在貝葉斯協(xié)整分析中，主要是應(yīng)用貝葉斯因子、后驗概率比來進行協(xié)整檢驗.貝葉斯因子的計算一般比較復(fù)雜，通常需要通過邊緣似然函數(shù)來計算貝葉斯因子；而對于嵌套模型，應(yīng)用廣義Savage-Dickey密度比(SDDR)計算貝葉斯因子，使得計算簡化，避免了計算每個假設(shè)下相應(yīng)模型的邊緣似然函數(shù).在此，令協(xié)整檢驗的貝葉斯因子為B10=P(H1|Data)/P(H0|Data)，通過MCMC算法得到模型參數(shù)的后驗分布的樣本，利用這些樣本獲得參數(shù)的后驗密度估計，從而可以計算貝葉斯因子以及各個假設(shè)的后驗概率.

4 模擬分析

yit=α+φyi,t-1+εit.

(16)

由MCMC算法可以得到各個參數(shù)的邊緣后驗分布，并且根據(jù)MCMC抽樣可以計算出φ<1的后驗概率.在模型運行過程中, 一共迭代了15 000 次,首先對每個參數(shù)進行5 000次迭代，進行退火，以保證參數(shù)的收斂性，然后舍棄原來的迭代，再進行10 000次迭代，用5 001次到15 000次迭代得到的MCMC樣本來估計參數(shù).表1給出了不存在單位根時的后驗概率，即φ<1的后驗概率.從表中結(jié)果可知，當φ=0.5，即序列平穩(wěn)時，貝葉斯方法在不同分位數(shù)水平下不存在單位根的后驗概率為1.

表1 貝葉斯分位單位根檢驗?zāi)Ｐ挺?1的后驗概率

5 結(jié) 論

本文利用非對稱Laplace分布結(jié)合面板數(shù)據(jù)自回歸模型，構(gòu)建貝葉斯框架下的面板數(shù)據(jù)分位自回歸模型，并進行參數(shù)的貝葉斯分位推斷，從而提出貝葉斯分位單位根檢驗方法.設(shè)計了MCMC抽樣算法進行參數(shù)后驗估計和不同分位數(shù)水平下的貝葉斯單位根檢驗，解決了貝葉斯方法在應(yīng)用中遇到的高維數(shù)值計算問題.在此基礎(chǔ)上，通過 Monte Carlo模擬實驗分析了貝葉斯分位單位根檢驗方法的有效性和可行性，發(fā)現(xiàn)貝葉斯分位單位根檢驗?zāi)軌蛱峁└臃€(wěn)健的單位根檢驗判斷.因此，在對面板時間序列進行分析時，貝葉斯分位單位根檢驗方法能夠克服傳統(tǒng)面板數(shù)據(jù)單位根檢驗方法中檢驗勢不穩(wěn)定的缺陷，同時可以避免單位根檢驗由于原假設(shè)設(shè)置主觀選擇導(dǎo)致的檢驗偏誤問題，進而為實際經(jīng)濟管理問題中面板時間序列非平穩(wěn)性的判斷提供更加穩(wěn)健全面的信息和決策指導(dǎo).

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Bayesian Unit Root Tests in Panel Data by Using MCMC Algorithm

LI Su-fang1,2?, ZHU Hui-ming1, LI Rong1

(1. College of Business Administration, Hunan Univ, Changsha, Hunan 410082, China; 2. School of Statistics and Mathematics, Zhongnan Univ of Economics and Law, Wuhan, Hubei 430073, China)

Because the test power of the traditional panel unit root tests is unstable and the choice of the null hypothesis of traditional panel unit root tests is subjective, this paper proposed a Bayesian quantile unit root test for panel data based on asymmetric Laplace distribution. On the basis of quantile autoregression panel data model, the full conditional distributions of parameters were inferred and MCMC algorithm was designed. And then, Bayesian quantile unit root tests were conducted. Numerical results were produced via a combination of Monte Carlo simulation, from which we find that Bayesian quantile unit root tests are noticeably efficient and feasible. As a result, it is shown that Bayesian quantile unit root tests solve unstable power problems and the subjective choice of the null hypothesis. Furthermore, the tests are more robust and can provide more complete information.

panel data; Bayesian methods; quantile; unit root; simulation

1674-2974(2015)01-0136-05

2013-09-30

國家自然科學(xué)基金資助項目(71301166),National Natural Science Foundation of China(71301166)；教育部人文社會科學(xué)青年項目(13YJC910007)；中國博士后科學(xué)基金資助項目(2013M540623，2014T70766)；2013年中南財經(jīng)政法大學(xué)基本科研業(yè)務(wù)費青年教師創(chuàng)新項目(2013084)；中南財經(jīng)政法大學(xué)引進人才科研啟動金項目(31541211204)

李素芳(1983-)，女，湖南邵陽人，湖南大學(xué)博士后，博士，講師?通訊聯(lián)系人，E-mail: bbs8.8@163.com

O212.8

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