輪換對稱性在積分中的應用

秦勇

(常州工學院理學院，江蘇常州213002)

?

輪換對稱性在積分中的應用

秦勇

(常州工學院理學院，江蘇常州213002)

利用對稱性計算積分在一般“高等數學”的教材中均未提及，主要在一些考研數學輔導書或數學競賽輔導書上有介紹。了解用對稱性計算積分對改進“高等數學”的教學、簡化積分的計算過程及提高學生的解題運算能力都有著實際的意義。對稱性計算積分主要包括兩方面[1]：一是積分區(qū)域關于坐標面、坐標軸和原點對稱情況下被積分函數具有奇偶性的積分；二是積分區(qū)域關于積分變量具有輪換對稱性情況下的積分。對于第1種情況比較好理解，因為多元函數的積分可以視為定積分在對稱區(qū)間上積分的推廣，而對于第2種情況則沒有簡單的理解方法且有關的結論也沒有給出證明。

本文給出積分區(qū)域關于積分變量具有輪換對稱性情況下積分的有關結論并給出證明，最后介紹其在計算積分中的一些應用。

1定理

定義設Ω?R3，如果?(x,y,z)∈Ω，都有(z,x,y),(y,z,x)∈Ω，則稱區(qū)域Ω關于變量x,y,z具有輪換對稱性。

引理設區(qū)域Ω關于變量x,y,z具有輪換對稱性，則存在Ω上的一個一一變換[2]。

證明因為Ω關于x,y,z具有輪換對稱性，所以?(x,y,z)∈Ω，有(z,x,y),(y,z,x)∈Ω，定義σ(x,y,z)=(z,x,y)∈Ω。?(x1,y1,z1)，(x2,y2,z2)∈Ω,若(x1,y1,z1)=(x2,y2,z2)，則有x1=x2，y1=y2，z1=z2，從而(z1,x1,y1)=(z2,x2,y2)，即σ(x1,y1,z1)=σ(x2,y2,z2)，所以σ是Ω到Ω的一個映射，從而σ是Ω上的一個變換。?(x1,y1,z1),(x2,y2,z2)∈Ω，若σ(x1,y1,z1)=σ(x2,y2,z2)，即(z1,x1,y1)=(z2,x2,y2)，從而有z1=z2，x1=x2，y1=y2，故(x1,y1,z1)=(x2,y2,z2))，所以σ是Ω到Ω的單射。?(x,y,z)∈Ω，因為Ω關于x,y,z具有輪換對稱性，所以(z,x,y),(y,z,x)∈Ω，因而存在(y,z,x)∈Ω，使σ(y,z,x)=(x,y,z)，所以σ是Ω到Ω的滿射，從而σ是Ω到Ω的雙射，因此σ是Ω上的一一變換。

定理1設積分區(qū)域Ω關于x,y,z具有輪換對稱性，則有

因此

推論設積分區(qū)域Ω關于x,y,z具有輪換對稱性，則有

命題區(qū)域D關于變量x,y具有輪換對稱性的充分必要條件是區(qū)域D關于直線y=x是對稱的。

證明充分性：因為?(x,y)∈D，點(x,y)關于直線y=x對稱的點為(y,x)，又D關于直線y=x對稱，所以(y,x)∈D，因此D關于變量x,y具有輪換對稱性。

必要性：若D關于變量x,y具有輪換對稱性，則?(x,y)∈D，有(y,x)∈D，又點(x,y)與點(y,x)關于直線y=x是對稱的，所以區(qū)域D關于直線y=x對稱。

由定理1和命題可得以下定理。

定理2[3]設區(qū)域D關于變量x,y具有輪換對稱性，則有

②設區(qū)域D位于直線y=x的上半部分為D1，下半部分為D2，則：

對于第1類曲線和曲面積分，同理可得定理3。

定理3設曲線Γ關于變量x,y,z具有輪換對稱性，則有

定理4[3]設平面曲線L關于變量x,y具有輪換對稱性，則有

②設平面曲線L在直線y=x的上半部分為L1，下半部分為L2，則:

定理5設曲面∑關于變量x,y,z具有輪換對稱性，則有

需要指出：由于第2類曲線積分中的曲線與第2類曲面積分中的曲面都是有向的，所以輪換對稱性的有關結論對于第2類曲線積分與第2類曲面積分類似的結論是不成立的。

2應用

解：因為積分區(qū)域Ω關于x,y,z具有輪換對稱性，由定理1，得

解：因為積分區(qū)域D關于變量x,y具有輪換對稱性，由定理2，得

例3設函數f(x)在區(qū)間[0,2]上連續(xù)，并設∫20f(x)dx=a，求∫20dx∫2xf(x)f(y)dy。

解：因為曲線積分Γ關于變量x,y,z具有輪換對稱性，由定理3，得

解：因為積分曲線L關于變量x,y具有輪換對稱性，由定理4，得

解：因為曲面積分∑關于變量x,y,z具有輪換對稱性，由定理5，得

[參考文獻]

[1]毛綱源.最新考研數學(一)?？碱}型解題方法技巧歸納[M].武漢：華中科技大學出版社,2008：164-171.

[2]張禾瑞,郝鈵新.高等代數[M].4版.北京：高等教育出版社,2000.

[3]秦勇.再談輪換對稱性[J].高等數學研究,2007,10(2)：20-22.

責任編輯：周澤民

本刊聲明

為適應我國信息化建設，擴大本刊及作者知識信息交流渠道，本刊已許可中國學術期刊(光盤版)電子雜志社在中國知網及其系列數據庫產品中，以數字化方式復制、匯編、發(fā)行、信息網絡傳播本刊全文。作者文章著作權使用費與稿酬本刊一并支付。作者向本刊提交文章發(fā)表的行為即視為同意本刊上述聲明。中國學術期刊(光盤版)電子雜志社將免費提供作者文章引用統計分析資料。如作者不同意文章被收錄，請在投稿時告知本刊，本刊將適當處理。

謝謝合作！

摘要：證明了輪換對稱性的有關結論，并闡述了其在積分中的一些應用。

關鍵詞：輪換對稱性；積分；區(qū)域；變量；雙射

Application of Cyclosymmetric Property in IntegralQIN Yong

(School of Science,Changzhou Institute of Technology,Changzhou 213002)

Abstract：This article has proved some conclusions about cyclosymmetric property and introduced applications of cyclosymmetric property in integral.

Key words：cyclosymmetric property；integral；range；variable；bijection

中圖分類號：O172

文獻標志碼：A

文章編號：1671-0436(2015)03-0062-04

作者簡介：秦勇(1958—)，男，副教授。

收稿日期：2015-03-16

doi:10.3969/j.issn.1671-0436.2015.03.015