數(shù)值計(jì)算在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

耿發(fā)展

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數(shù)值計(jì)算在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

耿發(fā)展

摘要:高等數(shù)學(xué)的知識(shí)是數(shù)值計(jì)算的基礎(chǔ)，數(shù)值計(jì)算反過來又對(duì)高等數(shù)學(xué)的教學(xué)具有很好的作用。借助數(shù)值計(jì)算，可以使高等數(shù)學(xué)中的一些概念講解更直觀，更容易被學(xué)生理解，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而提高高等數(shù)學(xué)的教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞:數(shù)值計(jì)算；高等數(shù)學(xué)；教學(xué)

高等數(shù)學(xué)[1-3]是很多理工科專業(yè)(物理、化學(xué)、計(jì)算機(jī)、自動(dòng)化、通信工程、機(jī)械等)的公共基礎(chǔ)課，該課程的理論、方法和思想是解決很多工程實(shí)際問題的重要手段．?dāng)?shù)值分析[4]是一門比較綜合的課程，需要學(xué)生具備高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、泛函分析、微分方程等方面的基礎(chǔ)，所以，高等數(shù)學(xué)是數(shù)值計(jì)算的基礎(chǔ). 但是，很少有人關(guān)注數(shù)值計(jì)算對(duì)高等數(shù)學(xué)教學(xué)的影響，本文將就數(shù)值計(jì)算對(duì)高等數(shù)學(xué)教學(xué)的輔助作用，以及它們之間的聯(lián)系進(jìn)行簡(jiǎn)要的探討.

1數(shù)值計(jì)算在極限教學(xué)中的作用

眾所周知，極限是微積分的基礎(chǔ)，也是研究微積分的工具. 可以說，極限是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)非常重要的概念，是高等數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn). 但是，極限的概念非常難以理解，很多同學(xué)學(xué)過之后理解還是不到位，在這個(gè)內(nèi)容上很多老師花了很多的時(shí)間、精力，效果也不怎么理想. 下面我們將在教學(xué)中借助數(shù)值計(jì)算來幫助學(xué)生理解極限的概念.

1.1數(shù)列極限的定義

我們知道教科書上有兩種關(guān)于數(shù)列極限的定義，一種是籠統(tǒng)定義(直觀定義)，一種是嚴(yán)格定義. 直觀定義理解起來相對(duì)容易，對(duì)基礎(chǔ)不太好的學(xué)生這種定義比較適合.

直觀定義看似容易理解，但仔細(xì)想來，很籠統(tǒng)，不清楚，有下面的缺陷.

1)憑直觀做出的極限判斷是一種有限歸納，難以看清極限的無限變化過程

解通過數(shù)學(xué)軟件計(jì)算an的前100項(xiàng)，列表如下：

表1　an的前100項(xiàng)計(jì)算結(jié)果

通過前100項(xiàng)的計(jì)算，人為地進(jìn)行有限歸納會(huì)認(rèn)為極限值為0，但通過后面介紹的極限計(jì)算方法知極限的真實(shí)值是1.

2)有時(shí)候憑個(gè)人直覺做出的判斷并不可靠

例1.2一新進(jìn)員工進(jìn)入公司后，現(xiàn)在面臨兩種崗位選擇，崗位甲的底薪為每月1000元，每月加薪200元；崗位乙底薪為每月600元，每半月加薪60元，公司實(shí)行的是每半個(gè)月發(fā)一次薪水，問這名員工應(yīng)該作何種選擇呢？

解憑第一感覺，相信很多同學(xué)會(huì)認(rèn)為崗位甲較好. 事實(shí)怎樣呢，

通過數(shù)值計(jì)算，將兩種崗位的薪水以半月為單位列表如下

表2　兩種崗位的薪水的計(jì)算結(jié)果

通過上表可以看出，從第22個(gè)半月開始，崗位乙的工資就超過了崗位甲，因此，崗位乙錢景較好，這和我們的直覺是不符的.

從以上兩點(diǎn)可以看出，嚴(yán)格定義的必要性.

1.2函數(shù)極限的定義

根據(jù)函數(shù)f(x)在某一點(diǎn)x0處的極限定義可知，該極限研究的是當(dāng)自變量x無限接近于x0，但不等于x0的函數(shù)性態(tài)，因此，只和f(x)在點(diǎn)x0的很小的去心鄰域的性態(tài)有關(guān)，而和在x0處有無定義，以及取何值沒有任何關(guān)系.

解通過數(shù)值計(jì)算把f(x)在x=1附近的函數(shù)值列表如下：

表3　f(x)在x=1附近的函數(shù)值

雖然該極限值并不難求出，但通過數(shù)值計(jì)算可以直觀清楚地看出f(x)在x=1附近的變化趨勢(shì)，從上表可以看出，當(dāng)x從1的左右兩側(cè)越來越接近1時(shí)，函數(shù)f(x)也越來越接近2，通過簡(jiǎn)單的計(jì)算，可以猜測(cè)到正確的極限值.

2數(shù)值計(jì)算在無窮小、無窮大中的作用

無窮小、無窮大的比較比較抽象，但通過數(shù)值計(jì)算可以更直觀地理解和把握它們之間的比較.

例2.1x→0時(shí)，x,sinx,tanx,tanx2的比較

解我們知道x→0時(shí)，x,sinx,tanx,tanx2都是無窮小量，但它們趨向于0的速度如何呢，利用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行計(jì)算列表如下：

表4　x,sinx,tanx,tanx2的計(jì)算結(jié)果

從上表可以很直觀的看出x→0時(shí)，x,sinx,tanx都是等價(jià)無窮小量，而tanx2是比它們高階的無窮小.

例2.2無窮大量對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)lnx,x3,2x的增長(zhǎng)速度比較

表5　lnx,x3,2x的計(jì)算結(jié)果

3通過數(shù)值計(jì)算加深對(duì)零點(diǎn)定理、微分和泰勒公式的認(rèn)識(shí)

解(1)作為微分的應(yīng)用，可以用來求函數(shù)的近似值，

這里可以看出算出的近似值精度并不高，主要是因?yàn)?15和100之間的相對(duì)距離偏大。

(2)利用Taylor公式，在x0=100進(jìn)行n項(xiàng)泰勒展開，利用該泰勒多項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算，利用Mathematic[5]軟件編程實(shí)現(xiàn)如下：

g[x_]=Normal[Series[Sqrt[x],{x,100,n}]]

g[115]//N

n取不同值時(shí)結(jié)果如下表：

表6　Taylor公式的計(jì)算結(jié)果

從上表可以看出，利用泰勒公式不需要展開很多項(xiàng)就可以得到很好的近似值。

二分法的Mathematic軟件編程實(shí)現(xiàn)如下：

n取不同值時(shí)結(jié)果如下表：

表7　二分法的計(jì)算結(jié)果

實(shí)際上可以達(dá)到我們想要的任意精度，二分法的優(yōu)點(diǎn)是算法簡(jiǎn)單，要求低，只要求左端函數(shù)連續(xù)即可，缺點(diǎn)是收斂速度慢，無法求偶重根。

[參考文獻(xiàn)]

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系. 高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社,2007: 1-145.

[2]郭鏡明，韓云端，張棟恩. 微積分教材精粹選編[M]. 北京：高等教育出版社,2012:1-40.

[3]Finney R L, Weir M D,Giordano F R. Thomas’ Calculus[M]. 北京：高等教育出版社, 2004: 1-240.

[4]李慶陽，王能超，易大義.數(shù)值分析[M]. 北京：清華大學(xué)出版社,2001: 1-200.

責(zé)任編輯：王與

[5]嘉木工作室. Mathematica應(yīng)用實(shí)例教程[M]. 北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2002:1-200.

Effect of Numerical Computation in the Instruction of Higher Mathematics

Geng Fazhan

Abstract:Higher mathematics is the basis of numerical analysis. On the other hand, numerical computation plays an important role in the instruction of higher mathematics. Students can understand more easily the definition and concept in higher mathematics by using numerical computation. This can improve the effect of instruction on higher mathematics.

Key words:numerical computation; higher mathematics; instruction

收稿日期：2015-03-19

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué) (11201041)

作者簡(jiǎn)介：耿發(fā)展，常熟理工學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院副教授，博士，研究方向：逼近論，再生理論及其應(yīng)用(江蘇 常熟 215500)。

中圖分類號(hào):G642.3

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1673-1794(2015)05-0097-03