淺談MATLAB在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用

王鵬+馬澤龍+姚姍姍

摘 要：數(shù)學(xué)建模是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并解決實(shí)際問題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)手段，是數(shù)學(xué)與各個(gè)領(lǐng)域溝通的橋梁，本文先介紹了數(shù)學(xué)建模的概念，然后對(duì)MATLAB軟件相關(guān)特點(diǎn)做出介紹，其次從數(shù)學(xué)建模實(shí)例出發(fā)，說明了MATLAB軟件在數(shù)學(xué)建模中的重要作用，結(jié)果表明MATLAB軟件可以使數(shù)學(xué)建模效率提高，結(jié)果清晰、明確，同時(shí)在數(shù)學(xué)教學(xué)方面也有重大意義。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模；MATLAB；數(shù)學(xué)模型；數(shù)值計(jì)算

21世紀(jì)的今天，我們生活在“大數(shù)據(jù)”時(shí)代里，數(shù)據(jù)信息隱藏于各行各業(yè)，如互聯(lián)網(wǎng)、股市、勘探、軍工、商業(yè)等，可以說我們每天都在跟數(shù)據(jù)打交道，因此高效的數(shù)據(jù)處理方式顯得尤為重要。數(shù)學(xué)建模是聯(lián)系實(shí)際問題與數(shù)學(xué)之間的橋梁，建模的思想與以往解決問題的思路有很大的不同，我們以往求解數(shù)學(xué)問題時(shí)，都有明確的目標(biāo)和已知條件，我們只要通過合理的方法，進(jìn)行多次的數(shù)學(xué)運(yùn)算，便能得到問題的解析解，但在現(xiàn)實(shí)生活中，很多實(shí)際問題是很難得到解析解的，甚至求解的問題和結(jié)果的范圍都是模糊不清的，數(shù)學(xué)建模主要就是解決這樣的問題，我們以實(shí)際問題出發(fā)，根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)已有的數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)的分析、處理，通過合理的簡化，建立合適的模型，再求解模型，最終會(huì)得到結(jié)果，這種方法行之有效，在實(shí)際生活中，通過建模已經(jīng)解決了大量難題，近年來，隨著科技的飛速發(fā)展，很多數(shù)學(xué)軟件應(yīng)運(yùn)而生，如MATLAB、Mathematic、Maple等，目前應(yīng)用最為廣泛的數(shù)學(xué)軟件便是MATLAB，它是1984年由美國MathWork公司推出的商業(yè)數(shù)學(xué)軟件，用于算法開發(fā)，數(shù)據(jù)可視化、數(shù)值計(jì)算的高級(jí)計(jì)算語言和交互式環(huán)境，憑借計(jì)算功能強(qiáng)大、操作簡便的特點(diǎn)在數(shù)學(xué)軟件中脫穎而出，使得很多人在建模中選擇該軟件。

為了說明MATLAB軟件能夠提高數(shù)學(xué)建模的效率和質(zhì)量，本文將以2014年高教杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽A題為例，來演示MATLAB軟件在數(shù)學(xué)建模中的作用，下面首先對(duì)數(shù)學(xué)建模做簡要介紹。

1 數(shù)學(xué)建模簡介

1.1 數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)建模一詞出現(xiàn)的時(shí)間并不是很長，大概可以追溯到30年前，它的出現(xiàn)是基于科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，尤其近半個(gè)世紀(jì)以來，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的進(jìn)步和發(fā)展，數(shù)學(xué)建模便應(yīng)運(yùn)而生，并得到迅速的發(fā)展，直到現(xiàn)在已經(jīng)大致形成了體系，在我國，數(shù)學(xué)建模比賽也有20多年的時(shí)間了，建模參考書籍越來越多，內(nèi)容越來越完備，不同的書籍對(duì)數(shù)學(xué)建模的定義雖然有所不同，但大致可以歸納位：對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行分析，做出簡化假設(shè)，分析其內(nèi)在規(guī)律，并運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)和數(shù)學(xué)語言將規(guī)律描述出來，再用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)稱為數(shù)學(xué)模型，建立數(shù)學(xué)模型的過程叫做數(shù)學(xué)建模。

應(yīng)用數(shù)學(xué)去解決實(shí)際問題時(shí)，建立數(shù)學(xué)模型是至關(guān)重要的一步，也是比較困難的一步，建立數(shù)學(xué)模型的過程，就是把一個(gè)實(shí)際問題進(jìn)行合理的簡化，并對(duì)相關(guān)信息進(jìn)行調(diào)查、收集、整理，分析出問題的內(nèi)在規(guī)律，并用數(shù)學(xué)符號(hào)將這種隱含的規(guī)律表達(dá)出來，然后運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法對(duì)其進(jìn)行分析、計(jì)算，最終解決問題，這一步對(duì)建模者的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)要求比較高，要求建模者有較為完善的數(shù)學(xué)體系，并且還要有敏銳的想象力和洞察力，數(shù)學(xué)建模的作用越來越受到數(shù)學(xué)工程界的普遍認(rèn)可，它以成為現(xiàn)代科技者的必備技能之一。

1.2 數(shù)學(xué)建模的一般步驟

下面結(jié)合數(shù)學(xué)建模的幾個(gè)環(huán)節(jié)和數(shù)學(xué)建模實(shí)例，簡要介紹MATLAB在數(shù)學(xué)建模中的一般步驟，模型準(zhǔn)備：在建模前要了解問題的實(shí)際背景，搜索問題信息，明確求解目的，從而確定用何種數(shù)學(xué)方法和建立何種數(shù)學(xué)模型；模型假設(shè)：根據(jù)實(shí)際對(duì)象的特征和建模的目的，抓住問題的主要因素，對(duì)問題進(jìn)行合理簡化，用精確的語言提出恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)；模型建立：在假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用合理的數(shù)學(xué)工具刻畫各變量、常量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)；④模型求解：利用獲取的數(shù)據(jù) 和已有的數(shù)學(xué)方法，來求解上一步的數(shù)學(xué)問題，對(duì)模型的參數(shù)進(jìn)行相應(yīng)計(jì)算⑤模型分析：對(duì)所建立的模型的思路進(jìn)行闡述，對(duì)所得的結(jié)果進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析；⑥模型檢驗(yàn)：將模型與實(shí)際情況進(jìn)行比較，以此來檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臏?zhǔn)確性、合理性，如果不符合實(shí)際情況需重新建立模型；⑦模型的推廣：在現(xiàn)有的模型基礎(chǔ)上，對(duì)模型進(jìn)行更加全面的考慮，使模型更能反映實(shí)際情況。

2 建模實(shí)例

由于MATLAB軟件具有很強(qiáng)的數(shù)據(jù)處理和數(shù)據(jù)可視化功能，同時(shí)具備有操作方便的特點(diǎn)，所以當(dāng)把MATLAB軟件運(yùn)用在數(shù)學(xué)建模里時(shí)，必將提高數(shù)學(xué)建模的質(zhì)量和效率，并能起到事倍功半的效果，下面以2014年高教杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽A題為例來說明MATLAB軟件在數(shù)學(xué)建模里的重要作用。

2014年高教杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽題目A題是嫦娥三號(hào)軟著陸軌道設(shè)計(jì)與優(yōu)化問題，嫦娥三號(hào)是中國國家航天局嫦娥工程第二階段的登月探測器，包括著陸器和玉兔號(hào)月球車，嫦娥三號(hào)在高速飛行的情況下，要保證準(zhǔn)確地在月球預(yù)定區(qū)域內(nèi)實(shí)現(xiàn)軟著陸，關(guān)鍵問題是著陸軌道與控制策略問題。在衛(wèi)星著路的過程中，不考慮主減速段，完全由姿態(tài)調(diào)整發(fā)動(dòng)機(jī)控制水平運(yùn)動(dòng)的階段為粗避障和精避障段，為了節(jié)省燃料，應(yīng)盡量減少衛(wèi)星在空中的懸停時(shí)間。題目中附件三、附件四分別是距月球表面2400米和100米的高程圖，根據(jù)高程圖中的數(shù)據(jù)信息，我們可以確定最佳的降落位置。我們可以運(yùn)用MATLAB軟件對(duì)于高程圖的進(jìn)行處理，首先用MATLAB軟件軟件中imread命令將其轉(zhuǎn)化為矩陣形式，然后分別做出月球表面立體的三維圖和等高線二維平面圖，建立數(shù)值地形的不同區(qū)域，我們可以通過三維圖很直觀的觀察到月球表面具體地形、地貌，通過等高線二維圖形，我們可以清楚地看到月球表面地勢高低變化成度，從而確定衛(wèi)星降落地最佳地點(diǎn)。本文只以100米高程圖作為例子演示，具體地操作程序以及輸出結(jié)果如下：

g=imread（‘附件4距100m處的高程圖.tif）；

% 用imread函數(shù)讀取圖片信息，注意路徑要以電腦中圖片的實(shí)際路徑為準(zhǔn)

gg=double（g）；

% 將圖片中的信息轉(zhuǎn)化為數(shù)值矩陣信息以便以MATLAB軟件進(jìn)行后期處理

gg=gg-1/255；

% 將彩色值轉(zhuǎn)為0-1的漸變值以便于觀察

[x，y]=size（gg）；

% 取原圖大小

[X，Y]=meshgrid（1：y，1：x）；

% 以原圖大小構(gòu)建網(wǎng)格

mesh（X，Y，gg）；

% 呈現(xiàn)三維地貌圖

contour（X，Y，gg）；

% 呈現(xiàn)月球表面等高線圖

grid on

3 結(jié)論

從本文數(shù)學(xué)建模實(shí)例可以看出，在建模時(shí)，當(dāng)需要對(duì)圖片、表格、數(shù)據(jù)進(jìn)行處理時(shí)，我們可以運(yùn)用MATLAB軟件進(jìn)行解決，MATLAB憑借其豐富的庫函數(shù)和工具箱，能夠非常方便的解決這些問題，并且將數(shù)據(jù)可視化，結(jié)果清晰明了，顯示出其他軟件無法比擬的優(yōu)勢，除此之外，MATLAB軟件在數(shù)據(jù)分析、數(shù)值計(jì)算以及規(guī)劃、預(yù)測等多方面數(shù)學(xué)問題都占有絕對(duì)的優(yōu)勢，因此，我們提倡將MATLAB軟件引入教學(xué)中去，讓更多的學(xué)生在建模前了解其相關(guān)知識(shí)，進(jìn)行軟件操作，這不僅能夠激發(fā)學(xué)生的建模積極性，而且可以使學(xué)生掌握一項(xiàng)技能，同時(shí)也提高學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐能。

參考文獻(xiàn)

[1] 卓金武.MATLAB在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用（第二版）北京航空航天大學(xué)出版社 2014

[2] 姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)模型（第四版）高等教育出版社 2011