超級畫板融于數(shù)學(xué)分析教學(xué)的探索

陳 娟

數(shù)學(xué)分析是大學(xué)階段數(shù)學(xué)專業(yè)最重要的一門基礎(chǔ)課程之一，歷時3個學(xué)期共有300多學(xué)時。該課程一直難教難學(xué)，國內(nèi)也有很多文獻分析了原因并給出了相應(yīng)的教學(xué)建議。其中有些文章是從數(shù)學(xué)建模角度進行分析的。數(shù)學(xué)分析中很多概念定理的來源就是為了解決現(xiàn)實問題而建立的。隨著科技的飛速發(fā)展，信息技術(shù)在建模中有著巨大的應(yīng)用。雖然信息技術(shù)在中小學(xué)數(shù)學(xué)教育中的應(yīng)用已有了廣泛的使用與研究，但是在大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)教學(xué)中還缺乏相關(guān)研究。隨著我國高等教育的普及，如今數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生數(shù)量比以前大大增加，生源質(zhì)量卻有所下降，面對這種情況，大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)教育中也要關(guān)注如何更好地利用信息技術(shù)，使得數(shù)學(xué)建模更加容易實現(xiàn)，從而促進數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)效果。

一、超級畫板及其優(yōu)點簡述

我國自主研發(fā)的《超級畫板》免費版，是基于動態(tài)幾何設(shè)計的智能教育平臺，功能完善，能夠滿足數(shù)學(xué)教學(xué)的日常需要，并且與使用廣泛的Matlab、Maple等相比安裝簡單，而比幾何畫板更容易學(xué)習(xí)和使用。[1]因此不但便于教師在課堂教學(xué)中演示，也有助于學(xué)生課下自學(xué)，進行探究。

數(shù)學(xué)分析課程的研究對象也是函數(shù)，函數(shù)是刻畫變量與變量之間依賴關(guān)系的模型，因此在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中要貫徹數(shù)學(xué)建模的思想，只有這樣，學(xué)生才能體會到數(shù)學(xué)分析課程中研究函數(shù)的性質(zhì)的必要性。數(shù)學(xué)分析研究的對象是函數(shù)，函數(shù)本身既有數(shù)的特征，又具有形的特點。而要研究函數(shù)的性質(zhì)，就離不開幾何直觀。

為什么要重視幾何直觀在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中的應(yīng)用呢？數(shù)學(xué)家徐利治先生將“幾何直觀”解釋為借助于見到或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對數(shù)量的直接感知。[2]幾何直觀是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究中的一種重要手段，對于數(shù)學(xué)分析來說，在教學(xué)中借助函數(shù)圖像，往往可以化繁為簡，使抽象的對象得到明白直觀的體現(xiàn)。如果在教學(xué)中不能很好地展示形的一面，不能很好地借助幾何直觀來幫助學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析，自然會影響教學(xué)效果。

幾何直觀除了能夠幫助學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)符號，另外一個功能則是培養(yǎng)學(xué)生的歸納猜想能力，進而提高學(xué)生的創(chuàng)新能力。作為師范專業(yè)的學(xué)生，學(xué)好數(shù)學(xué)分析的知識是基本任務(wù)，但是更重要的是學(xué)會其中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法，等師范生成為教師之后，才能將這些重要的數(shù)學(xué)思想方法融入日常教學(xué)中，而這也是數(shù)學(xué)教學(xué)的目標之一。

從學(xué)習(xí)動機的角度也可以很好地解釋超級畫板在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中的作用。如果不能通過數(shù)學(xué)本身來提高學(xué)生的興趣，那么學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動機可能來自擔憂考試不及格等，而如果能通過超級畫板更好地展示數(shù)學(xué)分析的特點，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)分析在解決實際問題中的重要性，體會數(shù)學(xué)建模的作用，感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是有巨大作用的，就能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，興趣是內(nèi)部動機最為核心的成分，是培養(yǎng)和激發(fā)學(xué)生內(nèi)部學(xué)習(xí)動機的基礎(chǔ)。[3]教師應(yīng)該讓學(xué)生堅信所學(xué)內(nèi)容的重要性和趣味性。而超級畫板正是能達到這個效果。

二、案例分析

1.常見函數(shù)模型

理解函數(shù)的一個重要方式就是要幫助學(xué)生在其頭腦中建立一些具體的函數(shù)模型。比如可以用指數(shù)函數(shù)模型來描述人口增長、放射性元素的衰變等。因此學(xué)生必須了解函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、周期性等性質(zhì)，這樣遇到具體問題時，才能選擇合適的函數(shù)模型。而數(shù)學(xué)分析研究的基本對象正是定義在實數(shù)集上的函數(shù)，因此課程一開始要介紹一些常見的基本初等函數(shù)。但是2003年高中數(shù)學(xué)課程標準頒布之后，高中數(shù)學(xué)已經(jīng)刪去了余切函數(shù)與反三角函數(shù)等，而這些又是在數(shù)學(xué)分析中常用的函數(shù)，因此有必要給學(xué)生補充相關(guān)知識。其實掌握這些函數(shù)模型的最好辦法就是借助圖像，因為枯燥的解析式往往使得學(xué)生望而生畏，即使教師把性質(zhì)講解得再透徹，學(xué)生有時也不明就里。剛?cè)雽W(xué)的大學(xué)生很可能就會因為這些枯燥的解析式而厭煩數(shù)學(xué)。而借助超級畫板，通過直觀的圖像可以使學(xué)生更容易接受新知識，同時雖然高中刪去了很多相關(guān)知識，但是大學(xué)里數(shù)學(xué)分析的總學(xué)時并沒有增加，還有減少的趨勢，因此更要求提高課堂教學(xué)效率。

2.定積分模型

由數(shù)學(xué)史可知，定積分就是為了解決很多實際問題（如曲邊梯形、變力做功、水壓、旋轉(zhuǎn)體體積等）而建立的數(shù)學(xué)模型。因此在教學(xué)過程中一定要體現(xiàn)出這個建模思想。傳統(tǒng)教學(xué)中教師一般都是通過求曲邊梯形的面積引入，這樣做自然是符合數(shù)學(xué)建模思想的。但是傳統(tǒng)的引入方式，教師只能在黑板上利用粉筆畫出曲邊梯形，然后再對曲邊梯形進行分割，但是這種分割有一定的限制，即n的取值不能過大，而且分割完后進行上和和下和的計算比較麻煩，學(xué)生計算會耽誤一定時間，如果時間耗費過多的話，會將學(xué)生的精力過多地牽扯在計算上，反而影響了建模思想的滲透。如果借助超級畫板則可以輕松解決這個問題。利用超級畫板不但能對n任意取值，并且能夠由超級畫板計算出上和與下和的面積，這樣可以直觀顯示出隨著n的增大上和與下和的面積不斷接近。這樣既能直觀地展現(xiàn)求曲面梯形面積的過程，也使得學(xué)生了解了以直代曲這種重要的模型思想，極大地提高了課堂教學(xué)效率。

學(xué)生通過對動態(tài)圖像的觀察，在教師的引導(dǎo)下，感受到了以直代曲這種數(shù)學(xué)建模思想的重要性。這樣教師在進行下面的黎曼和、可積準則等相關(guān)理論推導(dǎo)時，學(xué)生才不會感到枯燥，才會更容易抓住問題的本質(zhì)，才會使學(xué)生知道定積分的相關(guān)理論不是從天而降，而是有著深刻的幾何背景和現(xiàn)實背景。在教學(xué)中教師要善于引導(dǎo)學(xué)生，鼓勵學(xué)生大膽提出猜想，可以從如下幾個方面入手：一是引導(dǎo)學(xué)生去猜想通過分割曲面梯形去求面積，另一個則是讓學(xué)生猜想上和與下和的關(guān)系，并對能夠猜想出結(jié)論的學(xué)生進行表揚，即使回答錯了，也要鼓勵。這就是心理學(xué)中的正強化，通過給學(xué)生提供正強化，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的動機。這樣的教學(xué)方式也符合最近發(fā)展區(qū)理論，因為這些函數(shù)圖形學(xué)生都是了解的，矩形的面積、梯形的面積學(xué)生也是會求的。但是如果沒有教師的引導(dǎo)，學(xué)生很難進一步深入研究問題，很難想到可以利用分割曲邊梯形，通過求矩形面積來逼近曲面梯形的面積，進而得出定積分如此重要的數(shù)學(xué)模型。而在教師的指導(dǎo)幫助下，學(xué)生通過自己的努力，一步一步的嘗試，最終提出猜想，體會到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的成就感。這樣學(xué)生認知結(jié)構(gòu)中已有的知識和新知識才能發(fā)生非人為的實質(zhì)性聯(lián)系，這樣的學(xué)習(xí)才是有意義的學(xué)習(xí)?？梢娺@樣的教學(xué)既能將知識傳授給學(xué)生，也能教給學(xué)生思維方式，培養(yǎng)出的師范生才能在日后的教學(xué)中不僅僅教授學(xué)生知識，而是傳授學(xué)生思想方法，教給學(xué)生如何去獲得概念、發(fā)現(xiàn)定理，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和信心。

3.傅里葉級數(shù)模型

自然界中周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)描述就是周期函數(shù)，最簡單的周期現(xiàn)象，如單擺的擺動、音叉的振動等，都可以用正弦函數(shù)或余弦函數(shù)表示，但是復(fù)雜的周期現(xiàn)象，如熱傳導(dǎo)、電磁波以及機械振動等，就不能僅用一個正弦函數(shù)或余弦函數(shù)表示，甚至要用很多個甚至無限多個正余弦函數(shù)的疊加來表示。[4]這個建模思想要在教學(xué)之初就滲透給學(xué)生，而不要一開始就向?qū)W生講授三角級數(shù)的正交性以及相關(guān)的黎曼引理、收斂定理等，否則學(xué)生可能陷于抽象的理論證明，而不了解傅里葉級數(shù)的來源，更不能了解傅里葉級數(shù)的巨大用處。國內(nèi)已有研究從數(shù)學(xué)史的角度來進行教學(xué)設(shè)計，[5]但是較少有借助信息技術(shù)進行輔助教學(xué)的。下面以一個常見的函數(shù)模型為例進行說明——如何利用超級畫板進行教學(xué)設(shè)計。在沒有學(xué)習(xí)傅里葉級數(shù)之前，學(xué)生很難想象到上面這個函數(shù)居然可以由無窮多個正弦函數(shù)疊加表示。因此教師在教學(xué)時，可以通過一個具體問題，得出這個函數(shù)模型，然后提問學(xué)生是否能夠想到這個函數(shù)可以由正弦函數(shù)疊加而成，這樣就引起了學(xué)生極大的學(xué)習(xí)興趣。然后就可以自然地用超級畫板來展示這一過程。這是傳統(tǒng)的黑板加粉筆的教學(xué)所不能達到的。傳統(tǒng)的教學(xué)，如果教師在黑板上畫圖的話，最多只能展開幾項，不可能展開到幾十項，更談不上無限項了。而超級畫板則可以輕松做到這一點，并且可以展現(xiàn)隨著n不斷增大，圖像變化的動態(tài)過程，讓學(xué)生去直觀感受傅里葉級數(shù)表示函數(shù)的過程，這樣也極大提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。另外，傳統(tǒng)教學(xué)中，這些內(nèi)容往往安排在理論證明之后，在教學(xué)中可以適當做些調(diào)整，先向?qū)W生講授傅里葉級數(shù)可以表示某些函數(shù)，展現(xiàn)其功能強大，同時向?qū)W生展示數(shù)學(xué)強大的創(chuàng)造能力，展示數(shù)學(xué)之美，降低學(xué)習(xí)難度，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，學(xué)生帶著問題去學(xué)習(xí)，再學(xué)相關(guān)定理時才會有興趣。

三、結(jié)論與建議

數(shù)學(xué)分析難教難學(xué)的重要原因之一就是因為抽象程度大大高于中學(xué)，另外教材編寫與教師教學(xué)過程中過于重視邏輯推理，較少強調(diào)滲透在其中的數(shù)學(xué)建模思想，使得學(xué)生陷于邏輯推理中而看不到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值。雖然很多知識有直觀的幾何背景，但是由于教材編寫的原因，以及教學(xué)中過于重視邏輯推理能力的訓(xùn)練，使得學(xué)生對數(shù)學(xué)產(chǎn)生了恐懼感以及厭煩感。通過上述案例分析，可以發(fā)現(xiàn)在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模的思想，既可以使學(xué)生了解數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，又可以使學(xué)生了解邏輯推理是保證建模應(yīng)用的理論基礎(chǔ)。而利用超級畫板的動態(tài)性可以使抽象的數(shù)學(xué)知識以直觀的形式出現(xiàn)，能夠更好地幫助學(xué)生思考知識間的聯(lián)系，促進新的認知結(jié)構(gòu)的形成。計算機的動態(tài)變化可以將形數(shù)有機結(jié)合起來，把運動和變化展現(xiàn)在學(xué)生面前，使學(xué)生由形象的認識提高到抽象的概括，對于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣會起到很好的效果。這就是超級畫板在輔助數(shù)學(xué)分析教學(xué)中的作用，合理有效地使用超級畫板不僅能幫助教師很好地完成教學(xué)任務(wù)，還能培養(yǎng)學(xué)生的探究能力，提高興趣，潛移默化中滲透數(shù)學(xué)的思維方式。

[1]張景中，彭翕成.動態(tài)幾何教程[M].北京:科學(xué)出版社,2007.

[2]徐利治.談?wù)勎业囊恍?shù)學(xué)治學(xué)經(jīng)驗[J].數(shù)學(xué)通報,2000（ 5）：1.

[3]莫雷.教育心理學(xué)[M].北京：教育科學(xué)出版社，2007:276.

[4]張永鳳.HPM視角下對傅里葉級數(shù)的教學(xué)設(shè)計[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2012（ 12）:128-134.

[5]李海東.構(gòu)建新技術(shù)支持下的中學(xué)數(shù)學(xué)課程[J].課程·教材·教法，2001（ 3）:11-14.