走向結(jié)構(gòu)：低年級學(xué)生數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)的積累

曹磊

[摘? 要] 積累數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)性基本活動經(jīng)驗(yàn)，更有助于學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)提取、經(jīng)驗(yàn)激活、經(jīng)驗(yàn)應(yīng)用，等等。結(jié)構(gòu)性知識是結(jié)構(gòu)性活動經(jīng)驗(yàn)的根基，遷移性方法是結(jié)構(gòu)性活動經(jīng)驗(yàn)的核心，學(xué)習(xí)性策略是結(jié)構(gòu)性活動經(jīng)驗(yàn)的關(guān)鍵。通過結(jié)構(gòu)性的活動經(jīng)驗(yàn)積累，能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。讓學(xué)生的基本活動經(jīng)驗(yàn)走向結(jié)構(gòu)，應(yīng)當(dāng)是小學(xué)低年級數(shù)學(xué)教學(xué)的至真追求。

[關(guān)鍵詞] 小學(xué)數(shù)學(xué);基本活動經(jīng)驗(yàn);經(jīng)驗(yàn)積累

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，從某種意義上說就是要促使學(xué)生形成整體性、結(jié)構(gòu)性、系統(tǒng)性的基本活動經(jīng)驗(yàn)。當(dāng)下，許多教師的課堂教學(xué)尤其是低年級的課堂教學(xué)，盡管注重基本活動經(jīng)驗(yàn)積累，但卻是零散、瑣碎的，沒有結(jié)構(gòu)性、系統(tǒng)性。積累數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)性基本活動經(jīng)驗(yàn)，更有助于學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)提取、經(jīng)驗(yàn)激活、經(jīng)驗(yàn)應(yīng)用，等等。讓學(xué)生的基本活動經(jīng)驗(yàn)走向結(jié)構(gòu)，應(yīng)當(dāng)是小學(xué)低年級數(shù)學(xué)教學(xué)的至真追求。

一、結(jié)構(gòu)性知識：積累結(jié)構(gòu)性活動經(jīng)驗(yàn)的根基

數(shù)學(xué)知識具有整體性、結(jié)構(gòu)性特質(zhì)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要有意識地引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)整體性、系統(tǒng)性、結(jié)構(gòu)性知識。一般來說，低年級數(shù)學(xué)知識具有生長性，往往具有“種子”的特質(zhì)。作為教師，要瞻前顧后、左顧右盼，從整體上把握知識結(jié)構(gòu)。尤其是，教師要著眼于學(xué)生的可持續(xù)性發(fā)展，對相關(guān)的內(nèi)容進(jìn)行鋪墊。

從低年級開始，教師就應(yīng)當(dāng)運(yùn)用美國著名教育家布魯納的“學(xué)科結(jié)構(gòu)論”指引自己，立足于“高觀點(diǎn)”“大視角”來考量教學(xué)內(nèi)容。引導(dǎo)學(xué)生掌握結(jié)構(gòu)性知識，關(guān)鍵是要引導(dǎo)學(xué)生深刻領(lǐng)悟數(shù)學(xué)基本概念，把握概念的內(nèi)涵與外延;引導(dǎo)學(xué)生把握概念之間的關(guān)聯(lián)，尤其是概念與概念之間的鏈接點(diǎn)、融合點(diǎn)等;引導(dǎo)學(xué)生明晰上位概念、下位概念等，助推學(xué)生建立概念體系，等等。比如教學(xué)蘇教版二年級下冊《有余數(shù)的除法》這部分內(nèi)容，筆者不僅要引導(dǎo)學(xué)生深刻理解、掌握“余數(shù)”的概念，更要引導(dǎo)學(xué)生掌握“余數(shù)和除數(shù)的關(guān)系”。換言之，不僅要引導(dǎo)學(xué)生形成對概念的本質(zhì)性認(rèn)知，更要引導(dǎo)學(xué)生對概念形成關(guān)系性認(rèn)知。教學(xué)中，筆者創(chuàng)設(shè)了兩個(gè)活動：一是讓學(xué)生用小棒擺三角形、四邊形、五邊形等。通過小棒總數(shù)不變，擺的圖形的變化，讓學(xué)生直觀地發(fā)現(xiàn)擺出的圖形的個(gè)數(shù)以及所剩下的小棒的根數(shù)的動態(tài)變化，從而幫助學(xué)生建立商和余數(shù)的概念，并初步認(rèn)識到商、余數(shù)與除數(shù)的大小有關(guān)。二是讓學(xué)生用小棒擺三角形等，通過小棒總數(shù)的變化，讓學(xué)生直觀地發(fā)現(xiàn)擺出的圖形的個(gè)數(shù)以及所剩下的小棒的根數(shù)的動態(tài)變化，從而幫助其鞏固商和余數(shù)的概念，并初步認(rèn)識到商、余數(shù)與被除數(shù)的大小的關(guān)聯(lián)性。這相當(dāng)于兩個(gè)對比實(shí)驗(yàn)，這樣的對比實(shí)驗(yàn)充分調(diào)動了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性，發(fā)掘了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的創(chuàng)造性。

結(jié)構(gòu)性的知識教學(xué)，不僅著眼于數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)內(nèi)涵，更著眼于數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系。在上述“有余數(shù)的除法”教學(xué)中，筆者不僅注重引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“除數(shù)”“余數(shù)”的誕生過程，感受、體驗(yàn)“除數(shù)”“余數(shù)”的本質(zhì)內(nèi)涵，更引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識“余數(shù)與除數(shù)的關(guān)系”。這樣的教學(xué)，能幫助學(xué)生積累結(jié)構(gòu)性的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，使得學(xué)生潛移默化地感悟到概念學(xué)習(xí)的方法，即不僅把握概念的本質(zhì)內(nèi)涵，更把握概念的關(guān)系內(nèi)涵。

二、遷移性方法：積累結(jié)構(gòu)性活動經(jīng)驗(yàn)的核心

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，要幫助學(xué)生積累結(jié)構(gòu)性活動經(jīng)驗(yàn)。其中，結(jié)構(gòu)性知識的建構(gòu)是根基，而遷移性方法的建構(gòu)則是核心。遷移性方法，從某種意義上說，是學(xué)生可以“帶得走的知識”。遷移性方法是鏈接數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)思想的橋梁，是學(xué)生的數(shù)學(xué)探索的確證與表征。只有通過遷移性方法的教學(xué)，數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的積累才是有效的。遷移性方法不是簡單模仿，更不是依樣畫葫蘆、濫竽充數(shù)等。

比如蘇教版一年級上冊的《20以內(nèi)的進(jìn)位加法》這部分內(nèi)容，其教學(xué)重點(diǎn)一是要突出算法的多樣化，二是要突出算法的優(yōu)化。因此，這部分內(nèi)容不僅是后續(xù)口算的基礎(chǔ)，也是后續(xù)學(xué)習(xí)“20以內(nèi)退位減法”的基礎(chǔ)。其中，最為重要的是要讓學(xué)生掌握“湊十法”，“湊十法”不僅有助于學(xué)生掌握20以內(nèi)的進(jìn)位加法，它更是后續(xù)簡便運(yùn)算“湊整法”的基礎(chǔ)。如筆者在教學(xué)《9加幾》的過程中，從學(xué)生已有知識經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生借助具有齊性特質(zhì)的學(xué)具——小棒，自主建構(gòu)算法。學(xué)生通過自主思考、探究，形成了“數(shù)數(shù)法”“湊十法”等算法。在深度比較、研究“湊十法”的過程中，學(xué)生不僅認(rèn)識到“湊十”的方便、快捷，更通過觀察、比較、操作等，形成了“湊十法”的一般化操作思路。因此，聚焦于“湊十法”，就能讓學(xué)生感悟其本質(zhì)內(nèi)涵、操作方式。只有當(dāng)學(xué)生掌握了“湊十法”，積累了相關(guān)的“湊十法”的方法經(jīng)驗(yàn)之后，學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)“20以內(nèi)的退位減法”時(shí)，才能積極主動地遷移，從而建構(gòu)出“破十法”的操作模型;只有當(dāng)學(xué)生掌握了“湊十法”，積累了相關(guān)的“湊十法”的方法經(jīng)驗(yàn)之后，學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)“簡便運(yùn)算”時(shí)，才能在加法交換律、結(jié)合律和分配律的運(yùn)用中自覺地想到“湊整法”。顯然，“湊十法”之于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有普遍性的功能和意義。

為了讓學(xué)生掌握遷移性方法，教師要引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想，用思想駕馭方法，從而讓學(xué)生能整體性、結(jié)構(gòu)性地掌握數(shù)學(xué)知識。正如日本著名數(shù)學(xué)教育家米山國藏所認(rèn)為，“在學(xué)校所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，進(jìn)入社會后不到一兩年就忘記了……，唯獨(dú)思想方法卻深深地銘刻在心里，并且時(shí)時(shí)刻刻發(fā)揮作用”。遷移性方法，就是學(xué)生基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的核心組成，能對學(xué)生數(shù)學(xué)可持續(xù)性發(fā)展發(fā)揮重要作用。

三、學(xué)習(xí)性策略：積累結(jié)構(gòu)性活動經(jīng)驗(yàn)的關(guān)鍵

積累學(xué)生結(jié)構(gòu)性基本活動經(jīng)驗(yàn)，不僅需要讓學(xué)生掌握結(jié)構(gòu)性知識，從而便于學(xué)生提取經(jīng)驗(yàn)、激活經(jīng)驗(yàn);還需要學(xué)生掌握遷移性方法，從而便于學(xué)生的數(shù)學(xué)問題解決;而且更需要學(xué)習(xí)性策略。學(xué)習(xí)性策略，是積累學(xué)生結(jié)構(gòu)性活動經(jīng)驗(yàn)的關(guān)鍵。正所謂“授人以魚不如授人以漁”，通過學(xué)習(xí)性策略，學(xué)生能夠積極地、主動地應(yīng)用已有知識經(jīng)驗(yàn)。

學(xué)習(xí)性策略，不僅包括一般性的學(xué)習(xí)性策略，還包括特殊性、具體性的學(xué)習(xí)性策略。比如小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的內(nèi)容可以分為“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”“綜合與實(shí)踐”四大板塊。這四大板塊的內(nèi)容的學(xué)習(xí)策略就是不同的。因此，從低年級開始，教師就必須引導(dǎo)學(xué)生掌握相應(yīng)板塊的學(xué)習(xí)策略。比如在學(xué)習(xí)《圖形與幾何》中的《角的初步認(rèn)識》（蘇教版二年級下冊）時(shí)，筆者引導(dǎo)學(xué)生從“要素”入手，即從角的“頂點(diǎn)”和“邊”入手。這種“要素分析法”如果能種植在低年級學(xué)生的心中，對學(xué)生今后圖形的認(rèn)識具有十分重要的意義。比如在長方形、正方形、平行四邊形、三角形和梯形等線段圖形的認(rèn)識中，學(xué)生就會主動地從邊、角兩個(gè)要素展開分析;在學(xué)習(xí)圓時(shí)，盡管沒有邊和角，但學(xué)生也會提取一些要素，比如從直徑、半徑、圓心等角度進(jìn)行認(rèn)知。因此，從某種意義上說，研究數(shù)學(xué)知識的策略比數(shù)學(xué)知識本身更為重要。在《角的初步認(rèn)識》這一部分內(nèi)容的教學(xué)中，筆者從角的研究要素入手，首先讓學(xué)生研究角的外顯特征，對角進(jìn)行靜態(tài)描述，即“從一點(diǎn)引出兩條射線”;接著對角進(jìn)行動態(tài)刻畫，即“一條射線繞端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)”。通過動態(tài)性的描述，能為學(xué)生后續(xù)比較“角的大小”奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要不斷豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，積累學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。這樣的研究策略，同樣有助于學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，即研究數(shù)學(xué)概念，不僅要從靜態(tài)的視角進(jìn)行研究，而且要從動態(tài)的視角進(jìn)行研究。只有將靜態(tài)描述與動態(tài)描述結(jié)合起來，才能掌握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)特征。

史寧中教授等人認(rèn)為，數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)包括“實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)”和“思維的經(jīng)驗(yàn)”，并強(qiáng)調(diào)日常數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主要應(yīng)該獲得“思維的經(jīng)驗(yàn)”。思維的經(jīng)驗(yàn)，在筆者看來就是以知識經(jīng)驗(yàn)為根基、以方法經(jīng)驗(yàn)為核心、以策略經(jīng)驗(yàn)為關(guān)鍵的經(jīng)驗(yàn)。思維經(jīng)驗(yàn)就是結(jié)構(gòu)性的經(jīng)驗(yàn)，對提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)發(fā)揮著支撐性的作用。只有讓經(jīng)驗(yàn)充滿結(jié)構(gòu)性，才能讓經(jīng)驗(yàn)成為活的、靈動的經(jīng)驗(yàn)。培育、積累學(xué)生的結(jié)構(gòu)性經(jīng)驗(yàn)，是小學(xué)低年級數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)有之義和應(yīng)然之舉！