理解數(shù)學(xué)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

曹友毅

摘要：數(shù)學(xué)素養(yǎng)關(guān)系到學(xué)生的發(fā)展，走出懂而不會(huì)，真正體驗(yàn)數(shù)學(xué)，理解數(shù)學(xué)，應(yīng)用數(shù)學(xué)，提升自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：理解數(shù)學(xué);提升;數(shù)學(xué)素養(yǎng)

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1672-1578（2014）22-0202-02

數(shù)學(xué)素養(yǎng)關(guān)系到學(xué)生的發(fā)展，走出懂而不會(huì)，真正體驗(yàn)數(shù)學(xué)，理解數(shù)學(xué)，應(yīng)用數(shù)學(xué)，享受數(shù)學(xué)，提升自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)?？荚囌f明》中指出高考命題"著重考查考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)"，那什么是數(shù)學(xué)素養(yǎng)？平時(shí)教學(xué)該如何培養(yǎng)？數(shù)學(xué)素養(yǎng)屬于認(rèn)識(shí)論和方法論的綜合性思維形式，它具有概念化、抽象化、模式化的認(rèn)識(shí)特征。具有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的人善于把數(shù)學(xué)中的概念結(jié)論和處理方法推廣應(yīng)用于認(rèn)識(shí)一切客觀事物，具有這樣的哲學(xué)高度和認(rèn)識(shí)特征。具體說，一個(gè)具有"數(shù)學(xué)素養(yǎng)"的人在他的認(rèn)識(shí)世界和改造世界的活動(dòng)中，常常表現(xiàn)出以下特點(diǎn)： 在討論問題時(shí)，習(xí)慣于強(qiáng)調(diào)定義（界定概念），強(qiáng)調(diào)問題存在的條件; 在觀察問題時(shí)，習(xí)慣于抓住其中的（函數(shù)）關(guān)系，在微觀（局部）認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)上進(jìn)一步做出多因素的全局性（全空間）考慮; 在認(rèn)識(shí)問題時(shí)，習(xí)慣于將已有的嚴(yán)格的數(shù)學(xué)概念如對(duì)偶、相關(guān)、隨機(jī)、泛涵、非線性、周期性、混沌等等概念廣義化，用于認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)中的問題。因?yàn)槿魏螖?shù)學(xué)形式再復(fù)雜，總有它簡單的思想實(shí)質(zhì)。建模能力的基礎(chǔ)就是數(shù)學(xué)素養(yǎng)。學(xué)數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)，對(duì)它始終有興趣，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的好條件、好方法、好場所。數(shù)學(xué)的思想方法中嚴(yán)格推理，它屬于"演繹"的范疇，其實(shí)，數(shù)學(xué)修養(yǎng)中也有對(duì)偶的一面――"歸納"，稱之為"合情推理"或"常識(shí)推理"，它要求我們培養(yǎng)和運(yùn)用靈活、猜想和活躍的思維習(xí)慣。本文將利用一道例子談點(diǎn)看法：

在不等式第二講的比較法中的例2：若用akg白糖制出bkg糖溶液，則糖的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為ab.若在上述不飽和溶液中再添加mkg白糖，此時(shí)糖的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為a+mb+m.將這個(gè)事實(shí)抽象為數(shù)學(xué)問題，并給出證明。

1.感受、體驗(yàn)

創(chuàng)設(shè)舒適的情境，可讓學(xué)生更好的參與到課堂的教學(xué)過程，感受數(shù)學(xué)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的生成，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的發(fā)生，發(fā)展過程。這種數(shù)學(xué)問題情境來源于現(xiàn)實(shí)生活。

體驗(yàn)1：由生活經(jīng)驗(yàn)，我們知道糖水是越加糖越甜的?？蓪W(xué)生比較難以完成這個(gè)由具體到抽象概括，"提煉相關(guān)的數(shù)量關(guān)系，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并加以解決"，這是著名的加糖不等式，設(shè)a為糖，b為水（滿足a0）的糖后糖水中糖的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，因?yàn)樘堑馁|(zhì)量分?jǐn)?shù)大?。舛却笮。┛梢灾庇^地由甜度來反映，在數(shù)學(xué)式子上，就是a+mb+m>ab。這就是：雪劍定理：已知a，b，m都是正數(shù)，且aab。

體驗(yàn)2：我們也可從已有的認(rèn)知：分?jǐn)?shù)的角度分析：寫出任意2個(gè)正的真分?jǐn)?shù)，給每個(gè)分?jǐn)?shù)的分子和分母同加上一個(gè)正數(shù)得到2個(gè)新的分?jǐn)?shù)：比較每個(gè)分?jǐn)?shù)與對(duì)應(yīng)新分?jǐn)?shù)的大小，是否可以得出下面的結(jié)論：一個(gè)真分?jǐn)?shù)是ab（均為正數(shù)），給其分子，分母同加一個(gè)正數(shù)，得a+mb+m，則2個(gè)分?jǐn)?shù)的大小是a+mb+m>ab？當(dāng)a

體驗(yàn)3：如果我們繼續(xù)用淺顯的例子：若a是學(xué)校的女生人數(shù)，然后b是全校學(xué)生人數(shù)，那么a / b是女生比例;那么如果某一天新轉(zhuǎn)來m個(gè)女生，這個(gè)時(shí)候原來的男生們一定會(huì)覺得欣喜若狂，因?yàn)榕壤齛+mb+m又大了 ，在愉悅中感受著"數(shù)學(xué)是自然地"是很有人情味的。也可借此從另外一個(gè)角度兩個(gè)數(shù)的大小清楚地說明男生開心的原因了。進(jìn)一步讓學(xué)生體驗(yàn)到："數(shù)學(xué)是有用的""數(shù)學(xué)是清楚地"。在不同的問題情景中給學(xué)生。

2.理解、消化

從該問題屬于比較大小，可引導(dǎo)學(xué)生"從一個(gè)有網(wǎng)絡(luò)化的知識(shí)體系中提取相關(guān)的信息，有效的解決問題"：

理解1：比較法：證明：

，因?yàn)閍，b，m都是正數(shù)，且a0，不等式a+mb+m-ab成立。

理解2：分析法，證明：要證a+mb+m>ab，由于a，b，m都是正數(shù)，去分母，只要證ab+mb>ab+ma。等價(jià)化簡，即證mb>ma，因?yàn)閙>0，即證b>a。這已經(jīng)由題目給出，是題目的條件，又由于分析過程中均為恒等變形，步步均可逆，所以原不等式得證。

理解3：數(shù)形結(jié)合法：由分式聯(lián)系斜率，證明：畫一個(gè)矩形OABC，長b寬a，然后將這個(gè)矩形的長寬都延長m，得到一個(gè)大矩形ODEF。連接BE，則有：線段BE的斜率為1，線段OB的斜率為a/b ，線段OE的斜率a+mb+m，因?yàn)?，aab

理解4：單調(diào)性法，構(gòu)造函數(shù)F（x）=a+xb+x=b+x+（a-b）b+x=1+a-bb+x，F(xiàn)（x）在（0，∞）是增函數(shù)，得證

3.應(yīng)用、拓展

有關(guān)部門規(guī)定，居民住宅窗戶面積必須小于地板面積，但按采光標(biāo)準(zhǔn)，窗戶面積與地板面積的比應(yīng)不小于百分之十，并且這個(gè)比值越大采光越好，現(xiàn)有一居民宅窗戶為a，地板面積為b（a小于b），若同時(shí)增加相等的窗戶和地板的面積m（m大于0）. 問住宅采光條件是變好還是變壞了？請(qǐng)運(yùn)用相關(guān)知識(shí)分析。

分析：窗戶面積與地板面積的比應(yīng)不小于百分之十即：ab≥0.1，采光條件變好還是變壞取決于a+mb+m與ab的大小關(guān)系，其實(shí)還是前面已證明的不等式而已。

拓展1：若aab，則m的取值范圍

提示：a+mb+m>ab，a+mb+m-ab>0，m（b-a）b（b+m）>0，因?yàn)閍

所以有m（b+m）<0，所以有m>0且b+m<0，或m<0且b+m>0（該情況不存在）所以只能有m>0且m<-b所以m的取值范圍為{m|0

拓展2：a1，a2，b1，b2，∈R+，a1b1

拓展3：對(duì)于任意自然數(shù)n，若a1b1

4.享受、欣賞

利用浩瀚的知識(shí)和信息，使數(shù)學(xué)知識(shí)條理化，深入淺出，循序漸進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生牢固掌握知識(shí)，在邊看，邊聽，邊思中使學(xué)生產(chǎn)生利用已有知識(shí)積極尋求解題方法的欲望。在歸納，聯(lián)想，推理，直覺判斷等思維享受"科學(xué)發(fā)現(xiàn)"的喜悅。設(shè)置情境讓學(xué)生全面，開闊視野感受到生活處處事數(shù)學(xué)，使自己越學(xué)越有興趣。享受自己成功的喜悅。欣賞數(shù)學(xué)的簡約美、對(duì)稱美。讓學(xué)生自有學(xué)習(xí)樂在其中，提升自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。