一類新的集合及其應(yīng)用

2015-01-02 10:35:34張兆遠

張兆遠

(伊犁師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，新疆伊寧835000)

眾所周知，集合中元素的個數(shù)是大于或等于零的，元素個數(shù)為零的集合稱為空集.那么，集合中元素的個數(shù)是否可以小于零?如果存在元素個數(shù)小于零的集合，會對集合論公理體系產(chǎn)生什么樣的影響?帶著這些問題我們進行如下論述.

1 引入新公理

在ZF公理系統(tǒng)基礎(chǔ)上引入一個新的公理，即負集存在公理.它允許集合中的元素個數(shù)為負數(shù).

負集存在公理構(gòu)造一個集合，使它含有負元素.所謂負元素就是這個集合欠著的元素.符號化為(-B)(-x)∈B)，其中，槇x∈B表示x欠于B，B欠著x.稱x是正元素，槇x是負元素;x與槇x為一對互反的元素，即x的負元素是，槇x的負元素是x.

一個集合中可以同時含有一對互反的元素.我們舉一個形象的例子來說明，甲身無分文，可為了生存他借了9萬元錢做生意.這時他擁有9萬元，同時又欠別人9萬元.即9∈甲且槇9∈甲，其中槇9表示他欠債9萬元.

定義1 含有負元素的集合叫做負集合.

定義2 只含負元素的集合叫做純負集合，反之叫純正集合.

規(guī)定用正整數(shù)表示正元素的個數(shù)，用負整數(shù)表示負元素的個數(shù).

定義3 一個集合的負元素個數(shù)與正元素個數(shù)之和叫做這個集合的絕對元素個數(shù)，記作CardA;負元素個數(shù)的絕對值與正元素個數(shù)之和叫做這個集合的相對元素個數(shù)，記作∣CardA∣.

例2A={槇1，2，槇3，4，5}的CardA=1，∣CardA∣=5.

例3A={槇1，2，4}含有兩個正元素和兩個負元素，它的絕對元素個數(shù)是2+(－2)=0.

我們知道，空集的元素個數(shù)為零，即空集不含任何元素，并且空集是唯一的.例3與此產(chǎn)生了矛盾，因為A是一個含有元素的空集，并且不唯一.為了解決這個矛盾下面給出一個新的空集存在公理.

空集存在公理存在元素個數(shù)為零的集合.符號化為(-B)(槇x)(y)(槇x∈B y∈B)，其中x，y為正元素.

下面我們重新定義空集.

定義4 把元素個數(shù)為零的集合叫做空集.

定義5 把不含任何元素的集合叫做純空集合，記為Φ.

顯然，空集不是唯一的.但是，純空集是唯一的.

在新公理體系下，重新給出集合間的加減法運算法則和整數(shù)的定義.

定義6 A，B是集合，函數(shù)

則A+B={z|z=x∨z=y(x)(y)(x∈A∧y∈B∧φ(x，y))}，A+B讀作A加B.

這樣，我們就定義了集合之間的加法運算，那么A－B就可以看作A+．把A－B讀作A減去B．這樣就定義了集合之間的減法．顯然，減法是加法的逆運算．

我們利用后續(xù)運算定義自然數(shù)

0= Φ，1= Φ+=0+，2=1+= Φ++，3=2+= Φ+++，…

利用后續(xù)運算結(jié)合負集公理來定義負整數(shù).

－1= Φ－，－2=－1－= Φ－－，－3=－2－= Φ－－－，…

…－3= Φ－－－，－2= Φ－－，－ 1= Φ－，0= Φ，1= Φ+，2= Φ++，3= Φ+++，…

定義7設(shè)集合A，若A滿足:(1)Φ∈A，Φ槇∈A，(2)如果a∈A，則a+∈A，則稱A為歸納集.

例如A={…Φ－－，Φ－，Φ，Φ+，Φ++，…}為歸納集，B={…b－－，b－，b，b+，b++，…}，當b≠Φ或b≠Φ時不是歸納集，因為ΦB.

定義8 一個整數(shù)是屬于每一個歸納集的集合.

有了以上定義，我們可以將全體整數(shù)集合ω定義成:

x∈ωx是一個整數(shù)x屬于每一個歸納集。

引進記號D={v|v是歸納集}，(D不是集合，而是真類)，進行如下定義.

定義9 ω=∩D=∩{v|v是歸納集}.

綜上所述，我們在集合論的ZF公理系統(tǒng)中添入了負集存在公理，又給出了新的空集存在公理，把原來的空集存在公理更名為純空集存在公理.這樣我們就得到了一個新的ZF公理系統(tǒng).在新公理體系下必然會產(chǎn)生新的性質(zhì)，在后續(xù)的論文中將繼續(xù)研究.

［1］耿素云，屈婉玲.集合論導(dǎo)引［M］.北京:北京大學(xué)出版社，1990.

［2］P.W.齊納，R.L.約翰遜.集合論初步［M］.北京:科學(xué)出版社，1986.

［3］王子興.數(shù)學(xué)方法論——問題解決的理論［M］.2版.長沙:中南大學(xué)出版社，2002.