用“變”與“不變”思想進(jìn)行數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)

王少平

摘? ?要：數(shù)學(xué)是運(yùn)動(dòng)變化的，且在運(yùn)動(dòng)變化中顯示“變”與“不變”的獨(dú)特魅力，彰顯其內(nèi)在的規(guī)律性，體現(xiàn)知識(shí)間的前后聯(lián)系?！白儭迸c“不變”作為一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想應(yīng)在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中予以滲透，以便學(xué)生領(lǐng)悟并能運(yùn)用知識(shí)間的聯(lián)系建構(gòu)系統(tǒng)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。在復(fù)習(xí)課中滲透“變”與“不變”思想，有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識(shí)間的聯(lián)系，對(duì)知識(shí)進(jìn)行整理和重組，將“變”與“不變”思想轉(zhuǎn)化為解決問(wèn)題的一種模式，利于知識(shí)的保持、遷移和運(yùn)用，從而促進(jìn)數(shù)學(xué)思維提升，提高問(wèn)題解決能力。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)復(fù)習(xí);“變”與“不變”;教學(xué)策略

中圖分類(lèi)號(hào)：G623.5? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? 文章編號(hào)：1009-010X（2019）28-0021-03

“萬(wàn)物皆變”，這是哲學(xué)基本理念。既有“變”，就有“不變”。在數(shù)學(xué)中以“變”與“不變”為主線(xiàn)，鎖定主要教學(xué)內(nèi)容，既有利于創(chuàng)設(shè)良好的認(rèn)知環(huán)境，又能讓學(xué)生多一些哲學(xué)高度的思考。拿數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課來(lái)說(shuō)，復(fù)習(xí)課的主旨就在于讓學(xué)生透過(guò)變化的情境和信息去抓住其中不變的本質(zhì)。復(fù)習(xí)課上利用“變”與“不變”的關(guān)系引導(dǎo)學(xué)生透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，讓其立足哲學(xué)的視野進(jìn)行理性地思考：體悟、描述“變”與“不變，探尋、應(yīng)用“變”與“不變”。促使他們養(yǎng)成對(duì)事物、對(duì)生活的態(tài)度：千變?nèi)f化的事物存在怎樣的聯(lián)系？這些聯(lián)系可以幫助我們有哪些新發(fā)現(xiàn)？這樣的復(fù)習(xí)課讓學(xué)生從繁雜的機(jī)械訓(xùn)練中走出來(lái)，借助數(shù)學(xué)問(wèn)題、數(shù)學(xué)關(guān)系、數(shù)學(xué)特點(diǎn)吸引學(xué)生，建構(gòu)清晰的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，讓數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課煥發(fā)出應(yīng)有的數(shù)學(xué)魅力。

再者，復(fù)習(xí)課中教師本應(yīng)幫助學(xué)生建立起一個(gè)具有聯(lián)系性的知識(shí)體系，使之成為個(gè)人內(nèi)部知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的一部分，這樣才更利于學(xué)生知識(shí)的長(zhǎng)久保持、遷移和運(yùn)用。然而，很多教師在上復(fù)習(xí)課時(shí)總是占用大量時(shí)間讓學(xué)生回憶“學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)”，讓其在帶有明確指向性的問(wèn)題牽引下，將已學(xué)的知識(shí)點(diǎn)一一說(shuō)出。在這種復(fù)習(xí)中，知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系主要表現(xiàn)為線(xiàn)性的、單向的，無(wú)法建立完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，無(wú)法讓學(xué)生的思維向縱深處發(fā)展，且像這種碎片化的知識(shí)點(diǎn)羅列，會(huì)阻礙知識(shí)的深度理解和遷移運(yùn)用。

本文以小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)“立體圖形的復(fù)習(xí)”為例，談一談教師如何從“變”與“不變”的角度引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)空間推理，尋找新舊知識(shí)間的內(nèi)在關(guān)聯(lián);如何在“變”中尋求“不變”，促進(jìn)知識(shí)的整理和重組，建構(gòu)立體的知識(shí)網(wǎng)絡(luò);如何抓住“不變”探尋解決問(wèn)題的思路，構(gòu)建問(wèn)題解決的策略，提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

一、在運(yùn)動(dòng)變化中引發(fā)聯(lián)想，體悟“變”與“不變”

【案例描述】教師用PPT出示長(zhǎng)方體、正方體、圓柱體、圓錐體這幾個(gè)立體圖形，提問(wèn)：這幾個(gè)立體圖形分別可以用什么樣的平面圖形通過(guò)何種運(yùn)動(dòng)方式轉(zhuǎn)化而來(lái)？立體圖形與平面圖形之間有什么聯(lián)系？學(xué)生思考回答并結(jié)合PPT的動(dòng)態(tài)演示，借助透視圖（見(jiàn)下圖）進(jìn)行空間想象，

并語(yǔ)言描述：平面圖形經(jīng)平移或旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)后，其運(yùn)動(dòng)軌跡形成了一個(gè)立體圖形，平面圖形成了立體圖形的一部分。并且原來(lái)的平面圖形與轉(zhuǎn)化后的立體圖形之間存在著諸多聯(lián)系。圖1：長(zhǎng)方形成了長(zhǎng)方體中的一個(gè)側(cè)面，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)成了長(zhǎng)方體的高，長(zhǎng)方形的寬成了長(zhǎng)方體的寬，長(zhǎng)方形的面積成了長(zhǎng)方體側(cè)面（左或右）的面積，長(zhǎng)方形向右平移的距離就是長(zhǎng)方體的長(zhǎng);圖2：原來(lái)的正方形成了正方體中的一個(gè)面，正方形向右平移的距離等于正方體的棱長(zhǎng)，正方形的邊長(zhǎng)與正方體棱長(zhǎng)相等;圖3：圓向下平移的距離就是圓柱體的高，圓成了圓柱體的底面，圓的半徑就是圓柱體的底面半徑;圖4：原來(lái)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)成了圓柱體的高，長(zhǎng)方形的寬成為了圓柱體的底面半徑，長(zhǎng)方形的面積是圓柱體縱切面面積的一半;圖5：直角三角形中作為軸的一條直角邊成了圓錐體的高，另一條直角邊成為了圓錐體的底面半徑，三角形的面積是圓錐體縱切面面積的一半……

【案例評(píng)析】 學(xué)生通過(guò)空間想象與直觀(guān)透視圖的觀(guān)察，明晰了二維的平面圖形轉(zhuǎn)化為三維的立體圖形后，圖形的形狀雖然變了，但轉(zhuǎn)化后的立體圖形并不是孤立的個(gè)體存在，而是與原來(lái)的平面圖形有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系。這個(gè)“聯(lián)系”就是學(xué)生在“變”的表象背后所看到的“不變”。這些“不變”的聯(lián)系從一維的邊線(xiàn)到二維的平面、再到三維的立體，均在學(xué)生的腦中、眼中、口中一一呈現(xiàn)。這一過(guò)程既讓學(xué)生初步感知了二維的平面圖形轉(zhuǎn)化為三維的立體圖形后的“變”與“不變”，激發(fā)起學(xué)生的空間想象，又溝通了新舊知識(shí)間的聯(lián)系，利于架構(gòu)一個(gè)立體的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，同時(shí)也潛移默化地融入了“數(shù)學(xué)”是發(fā)展變化的這一本質(zhì)內(nèi)涵。

二、在操作變化中尋求聯(lián)系，描述“變”與“不變”

上一環(huán)節(jié)是讓學(xué)生在運(yùn)動(dòng)變化中直觀(guān)感知由平面到立體的聯(lián)系，這一環(huán)節(jié)則是結(jié)合一定情境將“操作”與“面、體的計(jì)算”相融合，讓學(xué)生在自主選擇操作方式中實(shí)現(xiàn)變式練習(xí)，明晰“變”與“不變”相互依存，滲透辯證思想。

【案例描述】師：在學(xué)習(xí)立體圖形時(shí)，我們經(jīng)常會(huì)通過(guò)“切”“削”“拼”“熔”的操作，將立體圖形“變形”，從而產(chǎn)生很多新問(wèn)題。比如：將兩個(gè)完全一樣的正方體拼成一個(gè)長(zhǎng)方體、將一個(gè)圓柱體削成一個(gè)最大的圓錐體、將一塊正方體形狀的方鋼鍛造熔鑄成一塊圓柱體形狀的鋼柱……變形之后的立體圖形與原來(lái)的立體圖形之間有什么聯(lián)系？請(qǐng)選擇“切”“削”“拼”“熔”中的一種方法將一個(gè)立體圖形變形，然后再說(shuō)一說(shuō)變形前后“什么變了，什么沒(méi)變？”

學(xué)生1：用“削”的辦法，把圓柱削成和它等底等高的圓錐，形狀變了，體積只是原來(lái)的三分之一，但底與高不變。

學(xué)生2：選用“切”的辦法，在長(zhǎng)方體中切出一個(gè)最大的正方體，體積變了，但切出的正方體的棱長(zhǎng)是原長(zhǎng)方體中最短的一條棱的長(zhǎng)度。

學(xué)生3：采用“拼”的方法，把兩個(gè)一樣的正方體拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，形狀變了，長(zhǎng)方體的體積是原來(lái)正方體的2倍，正方體的面成了長(zhǎng)方體中的側(cè)面。

學(xué)生4：用“熔”的方法，把一個(gè)正方體方鋼鍛造成一個(gè)長(zhǎng)方體，形狀變了，體積沒(méi)變。

【案例評(píng)析】這一環(huán)節(jié)中的“切、削、拼、熔……”不僅僅是外在的操作方式，還轉(zhuǎn)化為用來(lái)傳意的工具，學(xué)生據(jù)此進(jìn)行表達(dá)和交流，靈活運(yùn)用已有知識(shí)進(jìn)行題型變換，讓學(xué)生對(duì)立體圖形中“表面積與體積的計(jì)算”知識(shí)進(jìn)行了整體回顧與把握。

三、在情境中聚焦“不變”，探尋問(wèn)題解決的突破口

【案例描述】 教師出示圓柱（圖6），底面直徑4分米，高16分米。出示下列問(wèn)題：

問(wèn)題1：把這個(gè)圓柱削成一個(gè)

最大的圓錐，應(yīng)該削去多少？

問(wèn)題2：把這段圓柱沿底面直

徑縱切一刀，表面積增加多少？

問(wèn)題3：給這個(gè)圓柱形拼接上

10分米長(zhǎng)的一段，表面積增加多少？

問(wèn)題4：把它鍛造成一個(gè)等底的圓錐，圓錐的高是多少？

師提問(wèn)，找出每道題中圖形變化前后的聯(lián)系，即“不變”的地方，并說(shuō)說(shuō)解題的思路。

學(xué)生思考后回答，摘錄如下：

問(wèn)題1：削成的圓錐與圓柱等底等高，所以圓柱體積的■就是削去的量。

問(wèn)題2：縱切面的長(zhǎng)和寬就是圓柱的高和底，16×4×2就是增加的表面積。

問(wèn)題3：拼接上的底面與圓柱的底面相等，用底面周長(zhǎng)乘拼接的長(zhǎng)就是增加的表面積。

問(wèn)題4：圓柱和圓錐的體積與底面積相等，利用圓錐的體積計(jì)算公式即可算出圓錐的高。

【案例評(píng)析】教師通過(guò)設(shè)計(jì)有聯(lián)系的題組，先讓學(xué)生尋找問(wèn)題中“不變”的地方，依托“不變”，挖掘出圓柱變化前后的“聯(lián)系”，找到解決問(wèn)題的思路。尋求“變化”背后的“不變”，才是解決問(wèn)題的突破口?！白儭迸c“不變”作為一種數(shù)學(xué)思想已內(nèi)化為認(rèn)知思維中問(wèn)題解決的策略，喚醒了學(xué)生解決問(wèn)題的策略意識(shí)。在尋找“變與不變”中，各個(gè)知識(shí)點(diǎn)也在學(xué)生頭腦中連成線(xiàn)、織成網(wǎng)，促成知識(shí)結(jié)構(gòu)重組，從而達(dá)到復(fù)習(xí)的目的。

四、應(yīng)用中內(nèi)化“變”與“不變”思想，構(gòu)建解決問(wèn)題的模型

【案例描述】 PPT出示：“將一個(gè)玻璃瓶子正立（圖7），底面直徑是8厘米，水的高度是10厘米;再將玻璃瓶倒立，空著部分的高度是4厘米。這個(gè)玻璃瓶的容積是多少？”

學(xué)生思考交流：不管瓶子是“正立”還是“倒立”，瓶子中水的形狀變了，但是水的體積不變。討論匯報(bào)：第一個(gè)瓶子中水的體積加上第二個(gè)瓶子中空的部分的體積，就是整個(gè)瓶子的容積。補(bǔ)充：因?yàn)樗捏w積不變，第一個(gè)瓶子中空白部分是不規(guī)則的，所以用第一個(gè)瓶子中水的體積加上第二個(gè)瓶子空的部分的體積。

【案例評(píng)析】學(xué)生無(wú)需教師的指導(dǎo)和點(diǎn)撥，自覺(jué)運(yùn)用“變”與“不變”思想找到了解決問(wèn)題的思路。在語(yǔ)言表述中學(xué)生思路清晰、縝密。顯然，在“變”中尋求“不變”，已作為一種問(wèn)題解決的策略被學(xué)生吸納和運(yùn)用。在語(yǔ)言表述中學(xué)生思維的主動(dòng)性和嚴(yán)謹(jǐn)性無(wú)疑是策略意識(shí)外化的表現(xiàn)。

縱觀(guān)本節(jié)課，將“聯(lián)系”的觀(guān)點(diǎn)貫穿始終，跳出了傳統(tǒng)復(fù)習(xí)課“單純回憶”的怪圈，也不再是大量的機(jī)械訓(xùn)練，而是讓學(xué)生一直在“變”與“不變”中進(jìn)行理性思辨，打通了一維的邊線(xiàn)、二維的平面和三維的立體圖形間的聯(lián)系。學(xué)生形成了運(yùn)用“變與不變”思想解決問(wèn)題的策略，提升了數(shù)學(xué)思維品質(zhì)和解決問(wèn)題能力。同時(shí)，他們學(xué)會(huì)了運(yùn)用運(yùn)動(dòng)變化的觀(guān)點(diǎn)去審視周?chē)氖挛?，透過(guò)“變化”的表象去深究事物內(nèi)在的本質(zhì)聯(lián)系，于潛移默化中提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，這應(yīng)該是本節(jié)課教學(xué)的真正價(jià)值所在。