線(xiàn)性代數(shù)教學(xué)中激發(fā)學(xué)生興趣的方法探索

姜琴 蔣劍紅

【摘要】線(xiàn)性代數(shù)是理工科專(zhuān)業(yè)的重要基礎(chǔ)課，邏輯性強(qiáng)，比較抽象，但授課課時(shí)少。本文從實(shí)際出發(fā)，結(jié)合豐富的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)一些激發(fā)學(xué)生興趣，提高教學(xué)質(zhì)量的方法。

【關(guān)鍵詞】線(xiàn)性代數(shù) ?興趣 ?實(shí)用性 ?實(shí)踐 ?探索

【資助項(xiàng)目】2013年南華大學(xué)船山學(xué)院教改重點(diǎn)課題（編號(hào)：2013CZ008）。

【中圖分類(lèi)號(hào)】G64 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2014）10-0056-01

線(xiàn)性代數(shù)是理工科學(xué)生尤其是電氣，電子，機(jī)械，計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)在后續(xù)專(zhuān)業(yè)學(xué)習(xí)中很重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。在很多本科院校，線(xiàn)性代數(shù)課時(shí)只有32課時(shí)。而這門(mén)課新的概念很多，比較抽象。按照國(guó)內(nèi)的一般教材編寫(xiě)的體系，學(xué)生很難對(duì)它感興趣。尤其是前兩章行列式和矩陣時(shí)，感覺(jué)太枯燥了，也不知道這些知識(shí)有什么用。學(xué)到向量組的線(xiàn)性相關(guān)性時(shí)，又覺(jué)得理論性太強(qiáng)了。而且，每周一次課，如果不復(fù)習(xí)，在上新課的時(shí)候，前一次課的知識(shí)要給學(xué)生復(fù)習(xí)十多分鐘。線(xiàn)性代數(shù)各章之間的關(guān)聯(lián)性很強(qiáng)，如果學(xué)生對(duì)它不感興趣，有幾次缺課，后面的知識(shí)就會(huì)聽(tīng)不懂。這樣就會(huì)產(chǎn)生惡性循環(huán)，對(duì)這門(mén)課就會(huì)越來(lái)越抵觸。如何在課堂上激發(fā)學(xué)生對(duì)線(xiàn)性代數(shù)的興趣變得尤為重要。

1.重視第一堂課

在教學(xué)計(jì)劃中可以把行列式的內(nèi)容放在矩陣后面。在第一堂課介紹線(xiàn)性方程組與矩陣，這樣可以讓學(xué)生知道線(xiàn)性代數(shù)的中心內(nèi)容和以后學(xué)習(xí)的重點(diǎn)。通過(guò)一個(gè)具體簡(jiǎn)單的有兩個(gè)方程的二元一次線(xiàn)性方程組引入矩陣的概念和矩陣的乘法運(yùn)算，讓學(xué)生初步掌握方程組的矩陣形式和向量形式，以及矩陣與列向量的乘法。Am×n（x1，…xn）T是矩陣A的列向量組的線(xiàn)性組合，如果A是二階方陣，學(xué)生可以很直觀的理解二元一次線(xiàn)性方程組。有了對(duì)矩陣的這些初步了解，就可以講解怎么用矩陣來(lái)描述高斯消元法。讓學(xué)生在第一堂課就知道矩陣的初等變換在線(xiàn)性代數(shù)中的重要性，繁瑣的消元過(guò)程能用精簡(jiǎn)的矩陣形式來(lái)描述。通過(guò)這些學(xué)習(xí)，學(xué)生不再認(rèn)為矩陣只是老師任意編造的一些無(wú)聊的數(shù)表。在第一堂課，學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到了線(xiàn)性代數(shù)的趣味性和實(shí)用性就能夠提高他們的興趣。不把這門(mén)課當(dāng)作記概念，背公式，做麻煩無(wú)聊的計(jì)算的一門(mén)抽象課。如果沒(méi)有興趣，很多學(xué)生學(xué)完課程后的感覺(jué)就是定義概念特別多，腦袋一片混亂甚至一些術(shù)語(yǔ)都不能熟練的說(shuō)出來(lái)。

2.對(duì)工科學(xué)生適當(dāng)介紹線(xiàn)性代數(shù)的實(shí)用性

為了讓學(xué)生更加充分認(rèn)識(shí)到矩陣的強(qiáng)大實(shí)用性和廣泛應(yīng)用性?？梢院?jiǎn)單介紹圖論中的鄰接矩陣，關(guān)聯(lián)矩陣，距離矩陣在化學(xué)和網(wǎng)絡(luò)中的具體應(yīng)用。例如，學(xué)習(xí)矩陣的乘法運(yùn)算時(shí)，如果A是一個(gè)無(wú)向簡(jiǎn)單圖G的鄰接矩陣，Ak中的元素aij就是圖G中點(diǎn)i到點(diǎn)j的長(zhǎng)度為k的路的數(shù)目。

例：下圖G中點(diǎn)A到點(diǎn)C的長(zhǎng)度為2的路的數(shù)目是2。圖G的鄰接矩陣為A=0111101011011010。A2中第一行第三列的元素就是2。

鄰接矩陣也用在Google搜索技術(shù)中，假設(shè)Google數(shù)據(jù)庫(kù)中網(wǎng)頁(yè)的集合為H， 該集合元素的個(gè)數(shù)為N。為了描述這些網(wǎng)頁(yè)之間的關(guān)系，定義一個(gè)N×N的方陣G=a，如果從網(wǎng)頁(yè) 到網(wǎng)頁(yè)有超鏈接，則aij=1，否則為0。顯然是G巨大的但非常稀疏的矩陣，其中非零元素的總數(shù)即是網(wǎng)頁(yè)之間超鏈接的總數(shù)。互聯(lián)網(wǎng)是一張有向圖，集合中的每一個(gè)網(wǎng)頁(yè)是圖的一個(gè)頂點(diǎn)，網(wǎng)頁(yè)間的每一個(gè)超鏈接是圖的一個(gè)邊。矩陣稱(chēng)為該圖的鄰接矩陣。

學(xué)習(xí)完向量組的線(xiàn)性相關(guān)性和線(xiàn)性方程組的解后，可以通過(guò)有向圖的關(guān)聯(lián)矩陣跟工科學(xué)生講解矩陣在基爾霍夫定律中的應(yīng)用。

學(xué)習(xí)特征值與特征向量的定義時(shí)，可以通過(guò)一些生動(dòng)的例子幫助學(xué)生深刻記住定義式。例如：隨著地球的自轉(zhuǎn)，每個(gè)從地心往外指的箭頭都在旋轉(zhuǎn)，除了在轉(zhuǎn)軸上的那些箭頭?？紤]地球在一小時(shí)自轉(zhuǎn)后的變換：地心指向地理南極的箭頭是這個(gè)變換的一個(gè)特征向量，并且因?yàn)橹赶驑O點(diǎn)的箭頭沒(méi)有被地球的自轉(zhuǎn)拉伸，它的特征值是1。但是從地心指向赤道任何一處的箭頭不會(huì)是一個(gè)特征向量。對(duì)于信息與計(jì)算科學(xué)的學(xué)生，可以介紹特征值與特征向量在特征臉，Google搜索技術(shù)中的Pagerank算法。通過(guò)介紹這些應(yīng)用性很強(qiáng)的實(shí)例，學(xué)生會(huì)對(duì)重要的定義留下深刻的印象，也不會(huì)覺(jué)得這些數(shù)學(xué)定義是憑空捏造并且枯燥無(wú)味的。

3.用生動(dòng)的語(yǔ)言幫助學(xué)生記憶

對(duì)某些結(jié)論和公式，我們可以用一些口訣和日常生活中的事物幫助學(xué)生記憶。例如，兩個(gè)矩陣的乘法，可以讓學(xué)生記住中間相同，取前后。兩個(gè)可逆矩陣乘積的逆矩陣，兩個(gè)矩陣乘積的轉(zhuǎn)置，矩陣的次序要倒過(guò)來(lái)，這與生活中的先穿襪子再穿鞋子的逆操作先脫鞋子再脫襪子類(lèi)似。

4.用數(shù)學(xué)家的故事激發(fā)學(xué)生的興趣

線(xiàn)性代數(shù)比較抽象，因而數(shù)學(xué)課堂的內(nèi)容相對(duì)比較枯燥，如果加入一些數(shù)學(xué)史的知識(shí)或數(shù)學(xué)故事等，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)展、演變，了解數(shù)學(xué)家們是如何發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)原理并學(xué)習(xí)他們的治學(xué)態(tài)度，可以使課堂內(nèi)容具有一定的趣味性。例如在講授矩陣時(shí)可以給學(xué)生介紹一下對(duì)矩陣?yán)碚撟鞒鲐暙I(xiàn)的數(shù)學(xué)家，如矩陣論的創(chuàng)立者英國(guó)數(shù)學(xué)家凱萊，用余子式展開(kāi)計(jì)算行列式的法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯，引入了行列式的概念，并提出了有關(guān)行列式的某些理論的德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲，首先使用行列式這個(gè)名詞，并采用兩豎線(xiàn)記號(hào)表示行列式的柯西。這樣不但可以幫助學(xué)生了解名人凡人本質(zhì)的一面，又可激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)線(xiàn)性代數(shù)的興趣，提高課堂教學(xué)效益、提升數(shù)學(xué)課堂的文化品位、還原數(shù)學(xué)課堂的文化本質(zhì)。

5.讓學(xué)生成為課堂的主體

在課堂上對(duì)“很好”“對(duì)”等詞匯不能過(guò)于吝嗇。在我們煞費(fèi)苦心地引導(dǎo)學(xué)生一步步深入到概念的本質(zhì)的過(guò)程中，只要學(xué)生能根據(jù)老師的引導(dǎo)，哪怕是有零星的想法或結(jié)論出現(xiàn)，我們都要恰到好處的加以表?yè)P(yáng)。學(xué)生的探索過(guò)程和發(fā)現(xiàn)過(guò)程成為了課堂教學(xué)的一部分，學(xué)生真正成為了認(rèn)知的主體，學(xué)習(xí)興趣自然被激發(fā)起來(lái)了。在向量組的線(xiàn)性相關(guān)性這一部分，一些教材已經(jīng)寫(xiě)得很詳細(xì)的定理，老師可以只介紹證明的思路和方法，沒(méi)有必要花很多時(shí)間講解。

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