“大”“小”兩原則取“元”求解物理學(xué)中的積分問(wèn)題

賀春元 劉丙國(guó) 劉振深

【摘要】如何選取合適的“元”是學(xué)生學(xué)習(xí)運(yùn)用積分方法求解物理問(wèn)題面臨的首要問(wèn)題。對(duì)于剛剛升入大學(xué)的學(xué)生來(lái)講，由于對(duì)微積分等知識(shí)的掌握還不夠純熟，導(dǎo)致遇到具體問(wèn)題時(shí)往往無(wú)從下手。本文針對(duì)大學(xué)物理中所涉及到的典型的積分問(wèn)題，首次提出了取“元”的“大”“小”兩原則，避免了高等數(shù)學(xué)中專業(yè)化的描述對(duì)學(xué)生造成的理解上的困惑，使學(xué)生能夠簡(jiǎn)潔、直觀、快速地選取出合適的元來(lái)求解問(wèn)題，大大地提高了學(xué)生解題的效率，同時(shí)也使學(xué)生能更容易掌握利用微積分解決問(wèn)題的思路和方法。

【關(guān)鍵詞】物理 ?積分

【課題項(xiàng)目】本課題受到河南理工大學(xué)教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目的支持（2014JG057）。

【中圖分類號(hào)】G64 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2014）10-0086-01

學(xué)習(xí)大學(xué)物理和高中物理最顯著的區(qū)別在于所用的數(shù)學(xué)工具的不同，由于在高中時(shí)學(xué)生所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)有限，因此只能夠處理一些相對(duì)簡(jiǎn)單的理想化的物理問(wèn)題。而進(jìn)入大學(xué)以后，隨著對(duì)矢量和微積分知識(shí)的學(xué)習(xí)，學(xué)生們可以處理更加復(fù)雜的物理問(wèn)題，但是如何利用高等數(shù)學(xué)的微積分理論來(lái)處理物理問(wèn)題卻是學(xué)生面臨的一大挑戰(zhàn)。一個(gè)簡(jiǎn)單的例子，力做功的問(wèn)題。在高中時(shí)學(xué)生解決的問(wèn)題只局限于恒力做功的情況，而到了大學(xué)，就需要利用矢量和微積分的知識(shí)來(lái)求解更具有實(shí)際意義的變力做功的問(wèn)題。

微積分思想被廣泛地用于處理大學(xué)物理中遇到的很多問(wèn)題，例如前面已經(jīng)提到的力學(xué)部分的變力做功問(wèn)題，還有轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算，以及電磁學(xué)部分電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)的求解，磁場(chǎng)強(qiáng)度的計(jì)算等等。微積分的應(yīng)用貫穿了整個(gè)大學(xué)物理的學(xué)習(xí)過(guò)程。不難發(fā)現(xiàn)，在運(yùn)用定積分來(lái)求解物理問(wèn)題的時(shí)候，其關(guān)鍵的問(wèn)題就是如何選擇一個(gè)合適的“元”。大學(xué)物理的知識(shí)體系中主要涉及三種元的選?。骸百|(zhì)量元”、“電荷元”和“電流元”，而這三種“元”最終實(shí)際上都?xì)w結(jié)到如何選擇“空間元”，即“線元”dl，“面元”ds和“體元”dv。當(dāng)這些“元”選取好后，接下來(lái)進(jìn)行的定積分運(yùn)算學(xué)生們?cè)诟邤?shù)的學(xué)習(xí)中都已經(jīng)掌握，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)不成問(wèn)題。問(wèn)題出在在具體的物理問(wèn)題中如何去選擇“空間元”，這是學(xué)生們最難解決的問(wèn)題。而在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中，對(duì)這一問(wèn)題數(shù)學(xué)老師給出的是非常專業(yè)的繁瑣晦澀的描述，并沒有教給學(xué)生一個(gè)容易理解且易操作的方法。

定積分通常表示為f（x）dx，其中a，b分別代表積分的上，下限，f（x）為被積函數(shù)，x為積分變量，dx為積分變量的微小變化量。在具體的物理問(wèn)題中，x，f（x）都有確切的物理意義與之相對(duì)應(yīng)。在我們的討論問(wèn)題中dx即為“空間元”。對(duì)于剛接觸微積分的大學(xué)生來(lái)說(shuō)，微積分只是純粹的數(shù)學(xué)知識(shí)，并沒有很好地掌握微積分的思想，因此當(dāng)將這種數(shù)學(xué)工具應(yīng)用到處理具體的物理問(wèn)題時(shí)，特別是如何選取“空間元”，常常感覺無(wú)從下手。實(shí)際上總結(jié)起來(lái)，“空間元”的選取決定于兩個(gè)因素：研究對(duì)象本身的幾何特征以及涉及到的物理問(wèn)題。一個(gè)合適的“元”即要滿足定積分這種數(shù)學(xué)方法本身的要求，同時(shí)也要使得最終的計(jì)算盡量簡(jiǎn)單，便于求解。于是我們總結(jié)出了針對(duì)大學(xué)物理部分涉及到的“空間元”選擇的“大”“小”兩原則：“大”是指選取的“空間元”看上去占有的空間要大，這樣做的優(yōu)點(diǎn)是得到的最終的定積分會(huì)是一個(gè)非常簡(jiǎn)單的計(jì)算，比如可能只是一重積分。但同時(shí)由于定積分本身的特殊要求，該“元”也不能選的太大，即同時(shí)也要盡量的“小”，即如果將選擇的這個(gè)“大”的“空間元”分割成很多更小的“元”時(shí)，這些小“元”要具有完全相同的被積函數(shù)f（x）。同時(shí)滿足這兩個(gè)條件得到的“空間元”才是最完美的。

“大”“小”兩原則，不僅可以避免高等數(shù)學(xué)中專業(yè)化描述對(duì)學(xué)生造成的困惑，而且以非常直觀且易理解形式便于學(xué)生掌握，使學(xué)生能夠精準(zhǔn)快速地尋找到一個(gè)最合適的“空間元”。下面結(jié)合一個(gè)實(shí)例來(lái)體會(huì)“大”“小”兩原則的優(yōu)勢(shì)。

例：半徑為R的帶正電的球體，電荷體密度ρ=Ar（A>0，r

依據(jù)題意，該帶點(diǎn)球體的電場(chǎng)具有如下特征：在同一球面上的各點(diǎn)，電場(chǎng)強(qiáng)度的大小相等，電場(chǎng)的方向?yàn)檫^(guò)球心沿著半徑方向向外。于是可以利用高斯定理來(lái)求解電場(chǎng)強(qiáng)度。取球體內(nèi)半徑為r的一個(gè)閉合球面為高斯面，通過(guò)此高斯面的電通量為：

根據(jù)高斯定理，該電通量等于高斯面內(nèi)包含的凈電荷除以ε0。由于該帶點(diǎn)球體的電荷不是均勻分布的，因此需要用定積分來(lái)求高斯面內(nèi)包含的電荷量，即 ?=dq，dq即為在帶電體上選取的“電荷元”?！半姾稍钡谋磉_(dá)式通常有三種表達(dá)形式dq=ρdV，？滓dS，？姿dl，其中ρ，，分別代表電荷的體密度，面密度和線密度。具體取哪種形式要結(jié)合帶電體本身的特征。本題中帶電體為球體，故取dq=ρdv這種形式。求解本題的關(guān)鍵在于如何選取“體元”。如果不考慮計(jì)算量的話實(shí)際上我們完全可以選最小的“空間元”來(lái)進(jìn)行計(jì)算，即在球坐標(biāo)系的一個(gè)最小的體積空間，即dV=rsinθdrdθdφ，很明顯對(duì)這樣的一個(gè)體積元進(jìn)行積分是一個(gè)復(fù)雜的三重積分，這樣不會(huì)錯(cuò)，但效率較低，也就是說(shuō)在本題中這個(gè)“體元”實(shí)際上選小了，不是最合適的。合適的“元”應(yīng)該是以r為半徑，厚度為dr的球殼。該“體元”大小為dV=4πr2dr，最終的積分是一個(gè)簡(jiǎn)單的一重積分。很明顯這個(gè)“體元”要比前面取的“元”要“大”，但由于dr很小，而電荷的體密度只與r有關(guān)，因此可以認(rèn)為在這個(gè)球殼內(nèi)的所有點(diǎn)ρ是相同的，即如果將這個(gè)球殼切割成很多小塊的話，它們具有相同的被積函數(shù)，也就是說(shuō)這樣的一個(gè)球殼“體元”同時(shí)滿足了“大”“小”兩原則，因此是最好的一個(gè)“元”

“空間元”也可以有其他的形狀，如條、段、環(huán)、帶、扇、片、殼等，具體取什么形狀即要結(jié)合物體本身的形狀也要結(jié)合所討論的具體問(wèn)題。這就要求學(xué)生在透徹理解和掌握了“空間元”選擇的“大”“小”兩原則基礎(chǔ)上再通過(guò)做題來(lái)積累經(jīng)驗(yàn)，就可以快又好地應(yīng)用微積分的思想分寫解決很多實(shí)際的物理問(wèn)題了。

參考文獻(xiàn)：

[1]物理學(xué)，馬文蔚改編，東南大學(xué)等七所工科院校，高等教育出版社，ISBN 978-7-04-018253-8.

[2]力學(xué)，漆安慎，杜嬋英，高等教育出版社，ISBN 978-7-04-06624-8