基于坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的回轉(zhuǎn)表面形狀誤差最小二乘評(píng)定

陳磊磊 黃美發(fā) 肖萌萌 宮文峰

桂林電子科技大學(xué)，桂林，541004

0 引言

回轉(zhuǎn)表面是機(jī)械零件中常見的幾何要素，同時(shí)，回轉(zhuǎn)表面的形狀誤差直接關(guān)系到零件的尺寸精度和配合性能，因此回轉(zhuǎn)表面形狀誤差的評(píng)定是零件檢驗(yàn)過程中一項(xiàng)重要的內(nèi)容，對(duì)其進(jìn)行快速準(zhǔn)確地評(píng)定具有重要的研究意義。應(yīng)用三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)測(cè)量回轉(zhuǎn)體的形狀誤差時(shí)，需要在實(shí)際表面上依據(jù)一定規(guī)則提取一系列點(diǎn)，然后應(yīng)用特定的擬合方法得到理想特征，最后根據(jù)理想特征計(jì)算離散點(diǎn)包容區(qū)域，從而得到形狀誤差。其中擬合是評(píng)估過程中關(guān)鍵的一步，目前應(yīng)用較廣較成熟的擬合方法是最小二乘法。

目前，對(duì)于回轉(zhuǎn)表面的最小二乘擬合，主要有柱坐標(biāo)系內(nèi)擬合和直角坐標(biāo)系內(nèi)擬合兩類方法［1－2］。第一類方法的數(shù)學(xué)模型與算法比較完善，但要求測(cè)量過程中的安裝偏心小，且要求等角度間隔分層采樣。第二類方法通過測(cè)量被測(cè)特征的離散點(diǎn)坐標(biāo)值來建立最優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，經(jīng)過復(fù)雜的轉(zhuǎn)化過程，將非線性問題線性化，過程復(fù)雜，不易編程實(shí)現(xiàn)，對(duì)迭代初值的依賴性高，且通常不能擬合任意軸線方向的回轉(zhuǎn)表面［3－7］。

基于坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換，即通過坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)和平移，本文提出一種最小二乘擬合回轉(zhuǎn)表面的通用方法。實(shí)踐證明，該方法應(yīng)用范圍廣，對(duì)迭代初值依賴性小，可快速有效正確地評(píng)定任意軸線方向的回轉(zhuǎn)表面形狀誤差。本文主要以圓柱度、圓錐度、橢球面為例，研究回轉(zhuǎn)表面形狀誤差的評(píng)定方法。

1 圓柱擬合數(shù)學(xué)模型的建立

根據(jù)三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)在被測(cè)圓柱上提取的測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)初步確定決策變量的初值，對(duì)圓柱軸線和測(cè)點(diǎn)進(jìn)行剛體旋轉(zhuǎn)和平移，使得圓柱軸線與z軸重合，某些中間變量近似等于0，從而消去高階無窮小項(xiàng)，達(dá)到線性化的目的，然后應(yīng)用所建立的數(shù)學(xué)模型計(jì)算出決策變量增量，對(duì)決策變量進(jìn)行調(diào)整，再進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，計(jì)算增量，調(diào)整變量，依次迭代下去，直至達(dá)到終止迭代條件為止。

1.1 坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換

在圖1所示的直角坐標(biāo)系內(nèi)，為使圓柱C的軸線旋轉(zhuǎn)平移到與z軸重合的位置，首先將圓柱C平移到C′，然后繞z軸正旋轉(zhuǎn)φ角到C″，最后繞y軸正旋轉(zhuǎn)γ 角到C?。O1Q、O′1Q′、O′1Q?、O′1Q″″分別為圓柱C、C′、C″、C? 的軸線，Q″為Q′在Oxy平面內(nèi)的投影。φ等于x軸與OQ″的夾角，γ等于z軸與OQ?的夾角，從z軸正向觀察，如果OO″逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)φ角度后與x軸正向重合，則φ為正，反之φ為負(fù)；從y軸正向觀察，如果OO?逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)γ角度后與z軸正向重合，則γ為正，反之為負(fù)。根據(jù)被測(cè)圓柱軸線的位置方向，應(yīng)用圖1所示的操作，可得到坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣。測(cè)點(diǎn)的坐標(biāo)乘以該矩陣，即得到坐標(biāo)轉(zhuǎn)換后的測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)。設(shè)圓柱軸線空間矢量O1Q ＝ （a，b，c），O1坐標(biāo)為（x0，y0，z0），被測(cè)圓 柱 上 的 測(cè) 點(diǎn) 坐 標(biāo) 為 （xi，yi，zi），計(jì) 算 模 型如下：

圖1 坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)圖

1.2 數(shù)學(xué)模型

圓柱的基本參數(shù)包括軸線的方向矢量、軸線上的某一點(diǎn)坐標(biāo)和圓柱半徑。方向矢量的各分量之間、方向矢量與點(diǎn)的坐標(biāo)之間存在相關(guān)性，根據(jù)空間幾何知識(shí)可知：方向矢量中含有兩個(gè)獨(dú)立變量，點(diǎn)坐標(biāo)中含有兩個(gè)獨(dú)立變量。這樣，圓柱方程可以由5個(gè)獨(dú)立變量唯一確定。對(duì)于任意位置的圓柱，設(shè)其軸線的方向矢量V ＝ （a，b，1），軸線上一點(diǎn)P＝ （x0，y0，0），半徑為r，則圓柱的一般方程為

根據(jù)最小二乘擬合的定義，離散點(diǎn)到理想圓柱面的殘差平方和最小，得到目標(biāo)函數(shù)為

當(dāng)軸線與z軸重合時(shí)，a、b、x0、y0均接近0，因此其二次以上的代數(shù)項(xiàng)可視為無窮小而忽略不計(jì)。令r2＝E，則δi轉(zhuǎn)化為

為求極小值點(diǎn)，對(duì)式（2）求偏導(dǎo)，并令偏導(dǎo)等于0，即

經(jīng)化簡(jiǎn)得到一個(gè)五元一次方程組：

記上式為

則方程組的解為

通過式（3）得出的解是旋轉(zhuǎn)后圓柱的近似參數(shù)，因此可以作為5個(gè)決策變量的增量，對(duì)a、b、x0、y0、E進(jìn)行調(diào)整，然后進(jìn)行下一步的迭代。

2 圓錐擬合數(shù)學(xué)模型的建立

圓錐最小二乘擬合與圓柱最小二乘擬合基本類似，通過坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化，使某些中間變量近似等于0以達(dá)到線性化的目的，然后再求決策變量的增量，依次循環(huán)迭代下去。圓錐方程的基本參數(shù)包括軸線矢量、圓錐頂點(diǎn)坐標(biāo)、錐角。由于錐頂是唯一確定的，所以錐頂坐標(biāo)三個(gè)分量是獨(dú)立的，這樣圓錐方程由6個(gè)獨(dú)立變量唯一確定。如圖2所示，根據(jù)1.1節(jié)中給出的運(yùn)算公式，將圓錐軸線旋轉(zhuǎn)平移到與z軸同向且錐頂與坐標(biāo)原點(diǎn)接近重合的位置。這時(shí)垂直于軸線的截面圓半徑ri可以近似由離散點(diǎn)的z坐標(biāo)與錐角確定：ri≈zitanθ。

圖2 圓錐示意圖

設(shè)圓錐的錐頂坐標(biāo)為P ＝ （x0，y0，z0），軸線矢量為V＝（a，b，1），則空間任意位置圓錐的一般方程可以近似表示為

根據(jù)最小二乘擬合方法的定義，離散點(diǎn)到理想圓錐面的殘差平方和最小，得到目標(biāo)函數(shù)為

當(dāng)軸線與z軸重合時(shí)，a、b、x0、y0、z0均接近0，其二次以上的項(xiàng)均可視為無窮小，可以略去不計(jì)。令tanθ2＝D，則δi轉(zhuǎn)化為

同樣，對(duì)式（5）求偏導(dǎo)并令偏導(dǎo)為零，即

經(jīng)過化簡(jiǎn)可以得到一個(gè)五元一次方程組：

上式記為

則方程的解為

式（7）的解是坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換后圓錐的近似參數(shù)，可作為a、b、x0、y0、D 的增量，然后以a、b、x0、y0、D的增量為已知量，根據(jù)式（6）求解z0的增量，周而復(fù)始地迭代下去，直到滿足迭代終止條件。

3 圓柱（錐）度評(píng)定算法的設(shè)計(jì)

根據(jù)上述模型，可以確定出圓柱、圓錐的理想軸線，進(jìn)而根據(jù)離散點(diǎn)與軸線的距離函數(shù)確定出圓柱（錐）度誤差。

設(shè)軸線（包括圓柱、圓錐）上一點(diǎn)坐標(biāo)為P＝（x0，y0，z0），軸線的方向矢量為V ＝ （a，b，c），則離散點(diǎn)到軸線的距離為

圓柱度誤差為

根據(jù)圓錐度的定義，可以得到圓錐度誤差評(píng)定的目標(biāo)函數(shù)：

根據(jù)上文建立的回轉(zhuǎn)體形狀誤差評(píng)定模型，可以設(shè)計(jì)出評(píng)定算法，其中圓柱度評(píng)定算法計(jì)算流程如圖3所示。圓錐度評(píng)定模型只是應(yīng)用的公式不同：根據(jù)式（7）計(jì)算a、b、x0、y0、D 的增量，根據(jù)式（6）求解z0的增量，評(píng)定圓錐度誤差時(shí)，將a、b、x0、y0、D 代入式（10）。

圖3 圓柱最小二乘擬合程序流程圖

4 其他回轉(zhuǎn)體

除了常見的圓柱、圓錐外，本模型也適用于球面、橢球面、雙曲面、橢圓拋物面、雙曲拋物面等其他一般的二次曲面最小二乘擬合。這類曲面的一個(gè)共同特點(diǎn)是：垂直于回轉(zhuǎn)軸的平面與二次曲面的交線滿足特定函數(shù)關(guān)系。根據(jù)這個(gè)函數(shù)關(guān)系可以建立與圓柱圓錐擬合類似的最小二乘擬合模型。下面以橢球面為例進(jìn)行簡(jiǎn)單的說明。在回轉(zhuǎn)軸與z重合的位置，橢球面的方程［8］如下：

5 實(shí)例驗(yàn)證

將一個(gè)圓柱體隨意放置在三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)（?？怂箍担吞?hào)為global 07－10－07）上，并分別在圓柱體表面上隨意提取32個(gè)測(cè)點(diǎn)，按照?qǐng)D3中設(shè)計(jì)的算法，計(jì)算出圓柱的特征參數(shù)以及形狀誤差，并與現(xiàn)有的三坐標(biāo)軟件的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較。計(jì)算結(jié)果見表1，其中，P0、V0分別為軸線上一點(diǎn)與軸線方向矢量的迭代初值，P、V分別為軸線上一點(diǎn)與軸線方向矢量的最優(yōu)值。

對(duì)于圓錐，采用相同的方式，提取39個(gè)測(cè)點(diǎn)。應(yīng)用所給出的數(shù)學(xué)模型與算法進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果如表2所示。

表1 圓柱擬合結(jié)果

表2 圓錐擬合結(jié)果

分析表1、表2結(jié)果可知：①圓柱和圓錐擬合過程中，迭代初值都嚴(yán)重偏離最優(yōu)值，說明迭代初值對(duì)計(jì)算結(jié)果的依賴性不大。②本文所提算法的計(jì)算結(jié)果與三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的評(píng)價(jià)結(jié)果相比，相差不大，說明本模型具有很強(qiáng)的實(shí)用價(jià)值。③比較圓柱圓錐的形狀誤差和擬合后的殘差和，說明本算法擬合精度高。④圓柱和圓錐擬合耗時(shí)分別為0.031s、0.047s，迭代次數(shù)分別為14、20，說明本算法擬合收斂性好，運(yùn)行效率高。

本模型運(yùn)用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的手段進(jìn)行線性化，然后令偏導(dǎo)等于0，獲得收斂最快的迭代方向，因此，算法在穩(wěn)定性、擬合精度、收斂性、運(yùn)行效率、對(duì)初值的依賴性等方面都獲得了理想結(jié)果。

6 結(jié)束語(yǔ)

本文基于坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的思想，提出了一種回轉(zhuǎn)表面形狀誤差評(píng)定的通用算法。計(jì)算實(shí)例表明：本模型簡(jiǎn)單，易于編程實(shí)現(xiàn)，對(duì)測(cè)點(diǎn)的分布沒有特殊要求，對(duì)迭代初值的依賴性小，魯棒性強(qiáng)，且可以求解任意放置的回轉(zhuǎn)表面形狀誤差，應(yīng)用范圍廣，具有很高的應(yīng)用價(jià)值。

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