基于近似因子分解法的鑄造充型過程數(shù)值模擬研究

牛曉峰 王冠乾 梁 偉 侯 華

1.太原理工大學(xué)，太原，030024 2.中北大學(xué)，太原，030051

0 引言

鑄造充型過程被認(rèn)為是一個(gè)不可壓縮流的非定常流動(dòng)現(xiàn)象，其液態(tài)金屬流動(dòng)時(shí)所遵循的質(zhì)量守恒定律和牛頓第二定律采用連續(xù)性方程、動(dòng)量方程描述。目前求解Navier－Stokes方程的主要方法有SIMPLE法、MAC法和SOLA法等。SOLA法是最常用的方法，但求解壓力場和速度場時(shí)，需要在連續(xù)性方程和動(dòng)量方程之間進(jìn)行多次迭代，計(jì)算效率不高［1－4］。

本文為提高計(jì)算效率，采用近似因子分解法進(jìn)行壓力場和速度場的計(jì)算，由于這一過程的每一步均可采用托馬斯算法求解三對角方程，所以計(jì)算簡單，計(jì)算效率較高。建立了基于有限差分法（FDM）的流動(dòng)場數(shù)值模擬程序，采用重力砂型鑄造，鑄件材質(zhì)為純鋁，針對Benchmark件進(jìn)行充型過程流動(dòng)場數(shù)值模擬，并將模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比對，驗(yàn)證了數(shù)學(xué)模型的正確性。

1 理論分析

鑄造充型過程的守恒型控制方程如下［5-8］：

式中，u、v、w分別為三個(gè)坐標(biāo)軸方向的速度分量；t為時(shí)間；ρ為流體的密度；p為壓力；gx、gy、gz分別為重力加速度在三個(gè)坐標(biāo)軸方向上的分量；τxx、τyy、τzz為正應(yīng)力；τxy、τxz、τyx、τyz、τzx、τzy分別為不同方向上的切應(yīng)力。

根據(jù)梯形法則及式（1），通過第n個(gè)時(shí)間段和第n＋1個(gè)時(shí)間段的平均，建立如下隱式差分方程：

式（2）是一個(gè)非線性差分方程，根據(jù)Beam－Warming方法［5］將其線性化，具體過程如下：

由于ρ、gx、gy和gz保持不變，故有Jn＋1＝Jn。

引入單位矩陣，式（6）可以寫為

根據(jù)Beam－Warming方法，將式（7）表達(dá)為因子形式，即

如果將式（8）左右兩邊的兩個(gè)因子相乘，將會(huì)發(fā)現(xiàn)式（8）與式（7）并不完全相同，多出的項(xiàng)包含因子（Δt）3，不影響式（7）所具有的二階精度，于是我們用式（8）替代式（7），在式（8）中出現(xiàn)的因子形式稱為近似因子分解。

引入記號ΔUn≡Un＋1－Un，則式（8）可寫為

式（9）為增量形式，通過求解式（9），得到ΔUn，然后由Un＋1＝ΔUn＋Un得到下一時(shí)間段上Un＋1的值。具體過程如下：

2 算例分析與驗(yàn)證

構(gòu)造鑄件三維實(shí)體模型如圖1所示，投影圖如圖2所示，網(wǎng)格剖分圖（網(wǎng)格尺寸：2.0mm×2.0mm×2.0mm）如圖 3 所 示［9－11］。 鑄 件 材質(zhì)為純鋁，重力砂型鑄造， 澆 注 速 度 為0.7m／s，澆注溫度為700℃，其他參數(shù)見表1。計(jì)算效率見表2。

圖1 三維實(shí)體模型

表1 物理參數(shù)

表2 計(jì)算效率

圖2 鑄件投影圖

圖3 網(wǎng)格剖分結(jié)果圖

鑄件充型過程數(shù)值模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對比如圖4～圖7所示。

圖4 0.83s鑄件充型過程數(shù)值模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對比

圖5 1.43s鑄件充型過程數(shù)值模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對比

對比圖4～圖7發(fā)現(xiàn)，模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)觀察結(jié)果基本吻合，說明本文所開發(fā)的基于FDM充型過程流動(dòng)場數(shù)值模擬程序是正確的。由表2可知，由于計(jì)算過程中每一步均可采用托馬斯算法求解三對角方程，計(jì)算簡單，所需計(jì)算時(shí)間較短。

圖6 1.93s鑄件充型過程數(shù)值模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對比

圖7 2.51s鑄件充型過程數(shù)值模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對比

3 結(jié)語

應(yīng)用近似因子分解法進(jìn)行速度場和壓力場的計(jì)算，將式（1）所描述的非定常三維問題在每個(gè)時(shí)間步上分解為三個(gè)獨(dú)立的一維問題，由于過程的每一步均可采用托馬斯算法求解三對角方程，所以計(jì)算簡單，可有效提高計(jì)算效率。

本文建立了基于有限差分法的流動(dòng)場數(shù)值模擬程序，為驗(yàn)證計(jì)算模型的正確性，采用重力砂型鑄造，鑄件材質(zhì)為純鋁，針對Benchmark件進(jìn)行充型過程流動(dòng)場數(shù)值模擬，并將模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比對，發(fā)現(xiàn)模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)觀察結(jié)果基本吻合，說明本文所開發(fā)的基于FDM充型過程流動(dòng)場數(shù)值模擬程序是正確的。

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