可數(shù)連續(xù)格上的兩個擴張定理

占詩源，姜廣浩

（淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北 235000）

前人的研究中，Scott［1］第一次引入了連續(xù)格的概念.陸志軍等［2］給出了可數(shù)連續(xù)格的定義，并且證明了可數(shù)連續(xù)格與連續(xù)格有很多相類似的性質(zhì).覃鋒［3］給出了定向極小集的概念，并得到了連續(xù)格序同態(tài)的兩個擴張定理.本文受此啟發(fā)，引入可數(shù)定向極小集的概念，并得到了可數(shù)連續(xù)格序同態(tài)的兩個擴張定理.關(guān)于連續(xù)格、定向極小集以及序同態(tài)的相關(guān)理論可參考文獻［4－6］.文中的L，L1，L2都為完備格，Dc（L）為L中所有的可數(shù)定向子集所構(gòu)成的集合.

1 預(yù)備知識

定義1［2］設(shè)L為一個完備格，D?L，若對于任一可數(shù)集C?D，存在d∈D，使得對于?c∈C，c≤d，則稱D是可數(shù)定向集，即D是關(guān)于可數(shù)集C定向的.

定義2［2］設(shè)L為一個完備格，其中a，b∈L，如果對于L中任意一個可數(shù)定向集D，b≤sup D，存在d∈D，使a≤d，則稱a可數(shù)way－belowb，記作a?cb.

定義3［2］設(shè)L為一個完備格，若對于?a∈L，a＝sup｛b∈L｜b?ca｝，則稱L是一個可數(shù)連續(xù)格.

定義4［7］設(shè)L1，L2都為完備格，Dc（L1）為L1中所有的可數(shù)定向子集所構(gòu)成的集合，映射f：L1→L2稱為保可數(shù)定向sup的，如果對于?D∈Dc（L1），都有f（sup D）＝sup f（D）.

定義5［7］設(shè)L1，L2都為完備格，映射f：L1→L2稱為保?c的，如果a?cb，可推出f（a）?cf（b）.

定義6 如果對于A∈Dc（x）且supA∈X，有g(shù)（sup A）＝supg（A），則稱g：X→L2是?？蓴?shù)定向sup的.

定義7［7］設(shè)L1，L2都為完備格，如果映射f：L1→L2是保任意sup的，并且f－1是?？蓴?shù)定向sup的，其中f－1（b）＝sup｛a∈L1｜f（a）≤b｝，則稱f為序同態(tài).

定義8［7］設(shè)L為一個完備格，對于?a∈L，記?a＝｛x∈L｜x?ca｝，?c稱為可數(shù)逼近的，若對于?a∈L，有a＝sup?a.

定義9［7］設(shè)a∈L，B∈Dc（L），B 稱為a 的可數(shù)定向極小集，如果滿足：

1）sup B＝a；

2）當(dāng)D∈Dc（L）并且a≤sup D 時，對于?b∈B，有d∈D，使得b≤d.

注1 可數(shù)定向極小集可簡稱為可數(shù)極小集.

命題1［7］設(shè)a∈L，B∈Dc（L），B 為a 的可數(shù)極小集，當(dāng)且僅當(dāng)supB＝a并且B??a.

證 一方面，設(shè)B為a的可數(shù)極小集，設(shè)D∈Dc（L），a≤sup D.由定義9知，sup B＝a，且對?b∈B，存在d∈D，使得b≤d.再由定義2得，b?ca，故B??a.另一方面，設(shè)supB＝a且B??a，又設(shè)D∈Dc（L），a≤sup D，?b?ca，由定義2可知，存在d∈D，使得b≤d，故B為a的可數(shù)極小集.

定義10 設(shè)X?L，若對?a，b∈L，a?cb，有x∈X，使得a?cx?cb，那么稱X在L中是?c稠的.

注2 由上面定義可知，如果L中存在?c稠子集，那么?c在L上是滿足插入性質(zhì)的.若L為可數(shù)連續(xù)格，且X在L中是?c稠的，那么對于?a∈L，有a＝sup（ ? a∩X）.

2 主要結(jié)論

定理1 設(shè)L1與L2都為可數(shù)連續(xù)格，X在L1中是?c稠的，對于?a∈X，?a∩X是X 中的可數(shù)定向集，并且g：X→L2是?？蓴?shù)定向sup的和保?c的映射，那么g可以擴張成一個?？蓴?shù)定向sup的和保?c的映射f：L1→L2，且擴張滿足唯一性.

證 對于?a∈L1，令f（a）＝sup g（ ? a∩X）.

1）當(dāng)a∈X時，由于g是?？蓴?shù)定向sup的，并且 X 在L1中 是 ?c稠 的，則 有 f（a）＝g （sup（ ? a∩X ））＝g（a），

2）證明f是保序的.對于?a，b∈L1并且a≤b，有?a∩X??b∩X，從而得到g（ ? a∩X）?g（ ? b∩X）.又由f的定義知f（a）≤f（b）.

3）證明f是?？蓴?shù)定向sup的.設(shè)A∈Dc（L）且supA＝a.由于f是保序的，只需要證明f（a）≤sup f（a）.對于?x∈?a∩X，由于x?ca，則存在ax∈A，使得x≤ax，從而有g(shù)（x）＝f（x）≤f（ax）≤sup f（a），所以f（a）≤sup f（a）.

4）證明f是保?c的.設(shè)a，b∈L1且a?cb.由于X在L1中是?c稠的，則存在m，n∈X，使得a?cm?cn?cb.又由于f是保序的，且g是保?c的，則有f（a）≤f（m）＝g（m）?cg（n）.再由f的定義可得g（n）≤g（b）＝f（b），所以f（a）?cf（b）.

5）證明擴張滿足唯一性.假設(shè)g還有一個擴張h，由上述的證明過程可知，對于?s∈X，總有f（s）＝g（s）＝h（s），即h＝f.證畢.

定理2 設(shè)L1與L2都為可數(shù)連續(xù)格，并且X是L1中的?c稠子集.對于?a∈X，?a∩X是X中的可數(shù)定向集，映射g：X→L2滿足：對于?x∈X，有g(shù)把x的X 可數(shù)極小集映射成為g（x）的可數(shù)極小集，則g可擴張為一個?？蓴?shù)定向sup的和保?c的映射f：L1→L2，且擴張滿足唯一性.

證 由定理1，只需要證明g：X→L2是?？蓴?shù)定向sup的和保?c的.

設(shè)?a，b∈X，a?cb，則有a∈?b∩X.因為g（ ? b∩X）是g（b）的可數(shù)極小集，利用命題1有g(shù)（ ? b∩X）??g（b），所以g（a）?cg（b）.

又設(shè)A∈Dc（X）且x＝sup A∈X，對于?a∈X，由于g （? a∩X）是g（a）的可數(shù)極小集，所以有g(shù)（a）＝sup g（ ? a∩X），從而有

由定義7、定理1及定理2可得：

定理3 設(shè)L1與L2都為可數(shù)連續(xù)格，并且X為L1中的?c稠子集.對于?a∈X，?a∩X是X中的可數(shù)定向集.f：L1→L2為保有限sup的映射，那么下面的結(jié)果等價：

1）f是序同態(tài)；

2）f是?？蓴?shù)定向sup的，且f在X 中是保?c的；

3）f是?？蓴?shù)定向sup的，且對于?x∈X，f把x的X 可數(shù)極小集映成f（x）的可數(shù)極小集.

［1］Scott D S.Continuous lattices［M］／／Lawvere F W.Toposes，algebraic geometry and logic.Berlin：Springer，1972：97－136.

［2］陸志軍，尤飛.可數(shù)連續(xù)格與局部 Lindel?f空間［J］.徐州師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2008，26（3）：57.

［3］覃鋒.連續(xù)格的序同態(tài)［J］.江西師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2000，24（2）：126.

［4］Gierz G，Hofmann K H，Keimel K，et al.Continuous lattices and domains［M］.Cambridge：Camb Univ Press，2003.

［5］王戈平.完全分配格上的弱輔助序與廣義序同態(tài)［J］.數(shù)學(xué)季刊，1988，3（4）：76.

［6］劉龍章，楊志輝，段龍松.關(guān)于定向極小集若干結(jié)果［J］.科技通報，2007，23（5）：626.

［7］占詩源，姜廣浩.可數(shù)連續(xù)格的序同態(tài)［J］.淮北師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2014，35（2）：7.