高考中的傳送帶問題

馬志偉

（衡水中學(xué) 河北 衡水 053000）

傳送帶模型是高中物理中比較成熟的模型，在高中物理中占有十分重要的地位，而高考中又經(jīng)常涉及到此類問題.為此，筆者對傳送帶問題的求解方法進(jìn)行了總結(jié)，現(xiàn)歸納如下.

1 水平傳送帶

【例1】水平傳送裝置如圖1所示，在載物臺左端給物塊一個(gè)初速度v0，當(dāng)它通過如圖示方向轉(zhuǎn)動(dòng)的傳送帶所用時(shí)間為t1.當(dāng)皮帶輪改為與圖示相反的方向傳送時(shí)，通過傳送帶的時(shí)間為t2.當(dāng)皮帶輪不轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，通過傳送帶的時(shí)間為t3，則

A.t1一定小于t2B.t2＞t3＞t1

C.可能有t3＝t2＝t1D.一定有t1＝t2＜t3

圖1

解析：傳送帶不動(dòng)時(shí)，物塊做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，傳到右端時(shí)間為t3，若傳送帶順時(shí)針轉(zhuǎn)，但物塊速度大于帶速時(shí)，物塊仍可能一直減速，則t1＝t3，同理傳送帶逆時(shí)轉(zhuǎn)，物塊傳到右端速度未減為零時(shí)t2＝t3，故應(yīng)選C.

12成.兩輪軸心相距L＝8.0m，輪與傳送帶不打滑.現(xiàn)用此裝置運(yùn)送一袋面粉，已知面粉袋與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ＝0.4.面粉可不斷地從袋中滲出.（g＝10m／s2）

（1）當(dāng)傳送帶以v0＝4.0m／s的速度勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，將這袋面粉由左端O2正上方的A點(diǎn)輕放在傳送帶上后，這袋面粉由A端運(yùn)送到O1正上方的B端所用時(shí)間為多少？

（2）要想盡快將這袋面粉由A端送到B端（設(shè)袋的初速度仍為零），傳送帶的速度至少應(yīng)為多大？

（3）由于面粉的滲漏，在運(yùn)送這袋面粉的過程中會在深色傳送帶上留下白色的面粉的痕跡.這袋面粉在傳送帶上留下的痕跡最長能有多長（設(shè)袋的初速度仍為零）？此時(shí)傳送帶的速度至少應(yīng)為多大？

圖2

解析：（1）設(shè)面粉袋的質(zhì)量為m，其在與傳送帶產(chǎn)生相對滑動(dòng)的過程中所受的摩擦力f＝μmg.

故而其加速度為

若傳送速帶的速度v帶＝4.0m／s，則面粉袋加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

在t1時(shí)間內(nèi)的位移為

其后以v＝4.0m／s的速度做勻速運(yùn)動(dòng)

解得t2＝1.5s，運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為

（2）要想時(shí)間最短，m 應(yīng)一直向B端做加速運(yùn)動(dòng)，由

可得

此時(shí)傳送帶的運(yùn)轉(zhuǎn)速度為

（3）傳送帶的速度越大，“痕跡”越長.當(dāng)面粉的痕跡布滿整條傳送帶時(shí)，痕跡達(dá)到最長.即痕跡長為

在面粉袋由A端運(yùn)動(dòng)到B端的時(shí)間內(nèi)，傳送帶運(yùn)轉(zhuǎn)的距離

又由第（2）問中已知

此時(shí)傳送帶的運(yùn)轉(zhuǎn)速度為

2 傾斜傳送帶

【例3】如圖3所示，物塊M 在靜止的傳送帶上以速度v勻速下滑時(shí)，傳送帶突然啟動(dòng)，方向如圖箭頭所示，若傳送帶的速度大小也為v，則傳送帶啟動(dòng)后

A.M 靜止在傳送帶上

B.M 可能沿斜面向上運(yùn)動(dòng)

C.M 受到的摩擦力不變

D.M 下滑的速度不變

圖3

解析：物塊M 在靜止的傳送帶上勻速下滑，則Ff＝mgsinθ.當(dāng)傳送帶突然啟動(dòng)向上運(yùn)動(dòng)時(shí)物塊M 受到方向沿傳送帶向上的滑動(dòng)摩擦力、重力和支持力.由前面條件可知著3個(gè)力的合力為零，所以物塊M的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不變，繼續(xù)以速度v勻速下滑.答案為選項(xiàng)C，D.

【例4】如圖4所示，傳送帶與地面成夾角θ＝30°，以10m／s的速度逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，在傳送帶上端輕輕地放一個(gè)質(zhì)量m＝0.5kg的物體，它與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.6，已知傳送帶從A到B的長度L＝16m，則物體從A到B需要的時(shí)間為多少？（g＝9.8m／s2）

圖4

解析：該題目的關(guān)鍵就是要分析好各階段物體所受摩擦力的大小和方向，μ＞tanθ＝，第二階段物體將和傳送帶相對靜止一起向下勻速運(yùn)動(dòng).

物體放上傳送帶以后，開始一段時(shí)間，其運(yùn)動(dòng)加速度

這樣的加速度只能維持到物體的速度達(dá)到10 m／s為止，其對應(yīng)的時(shí)間和位移分別為

以后物體受到的摩擦力變?yōu)檠貍魉蛶蛏希浼铀俣却笮榱悖ㄒ驗(yàn)閙gsinθ＜μmgcosθ）.

設(shè)物體完成剩余的位移s2所用的時(shí)間為t2，則

解得

所以

3 涉及能量的問題

求傳送帶對物體所做的功、物體和傳送帶由于相對滑動(dòng)而產(chǎn)生的熱量、因放上物體而使電動(dòng)機(jī)多消耗的電能等，常依據(jù)功能關(guān)系或能量守恒定律求解.

【例5】如圖5所示，繃緊的傳送帶與水平面的夾角θ＝30°，皮帶在電動(dòng)機(jī)的帶動(dòng)下，始終保持v0＝2m／s的速率運(yùn)行.將一質(zhì)量m＝10kg的工件（可看為質(zhì)點(diǎn)）輕輕放在皮帶的底端A點(diǎn)，工件能被傳送到頂端B點(diǎn).已知工件與皮帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ，A點(diǎn)與B點(diǎn)的高度差h＝2m，取g＝10m／s2.

求：因運(yùn)送此工件，電動(dòng)機(jī)需多消耗的電能E.

圖5

解析：

工件運(yùn)動(dòng)的加速度為

工件上升長度

工件能加速上升的總長度為

加速總時(shí)間為

加速時(shí)間為傳送帶移動(dòng)距離為

工件摩擦產(chǎn)生的熱量為

電動(dòng)機(jī)額外做的功為

【例6】如圖6所示，以A，B和C，D為斷點(diǎn)的兩半圓形光滑軌道固定于豎直平面內(nèi)，一滑板靜止在光滑的地面上，左端緊靠B點(diǎn)，上表面所在平面與兩半圓分別相切于B，C兩點(diǎn)，一物塊（視為質(zhì)點(diǎn)）被輕放在水平勻速運(yùn)動(dòng)的傳送帶上E點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)剛好與傳送帶速度相同，然后經(jīng)A點(diǎn)沿半圓軌道滑下，再經(jīng)B點(diǎn)滑上滑板，滑板運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)被牢固粘連.物塊可視為質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量為m，滑板質(zhì)量為M＝2m，兩半圓半徑均為R，板長l＝6.5R，板右端到C點(diǎn)的距離L在R＜L＜5R范圍內(nèi)取值，E點(diǎn)距A點(diǎn)的距離s＝5R，物塊與傳送帶、物塊與滑板間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ＝0.5，重力加速度g已知.

（1）求物塊滑到B點(diǎn)的速度大??；

（2）求物塊滑到B點(diǎn)時(shí)所受半圓軌道的支持力的大小；

（3）物塊在滑板上滑動(dòng)過程中，當(dāng)物塊與滑板達(dá)到共同速度時(shí)，測得它們的共同速度為v＝試討論物塊從滑上滑板到離開右端的過程中，克服摩擦力做的功Wf與L的關(guān)系；并判斷物塊能否滑到CD軌道的中點(diǎn).

圖6

解析：（1）設(shè)物塊滑到B點(diǎn)的速度大小為vB，對物體從E到B過程，根據(jù)動(dòng)能定理，得

解得

（2）物塊在B點(diǎn)時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律，得

解得

（3）物塊從B滑上滑板后開始做勻速運(yùn)動(dòng)，此時(shí)滑板開始做勻速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)物塊與滑板達(dá)共同速度時(shí)，二者開始做勻速運(yùn)動(dòng).由題意知它們的共同速度為

此過程，對物塊根據(jù)動(dòng)能定理，得

解得 s1＝8R

此過程，對滑板根據(jù)動(dòng)能定理，得

解得

由此可知物塊在滑板上滑過s1－s2＝6R時(shí)，二者就具有共同速度了.因?yàn)?R＜6.5R，所以物塊并沒有從滑板上滑下去.

討論：

（1）當(dāng)R＜L＜2R時(shí)，物塊在滑板上一直做勻減速運(yùn)動(dòng)至右端，運(yùn)動(dòng)的位移為6.5R＋L，克服摩擦力做的功

設(shè)滑上C點(diǎn)的速度為vC，對物塊根據(jù)動(dòng)能定理得

解得所以物塊不可能滑到CD軌道的中點(diǎn).

（2）當(dāng)2R≤L＜5R時(shí)，物塊的運(yùn)動(dòng)的勻減速運(yùn)動(dòng)8R，勻速運(yùn)動(dòng)L－2R，再勻減速運(yùn)動(dòng)0.5R，克服摩擦力做的功

解得

所以物塊不能滑到CD軌道的中點(diǎn).

在求解傳送帶問題時(shí)，一定要看清題目給定的條件，具體問題具體分析，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行解題，千萬不要盲目地亂套公式.