物體在傳送帶上的運(yùn)動(dòng)剖析

孫建中

（句容市第三中學(xué) 江蘇 鎮(zhèn)江 212400）

傳送帶在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中有著廣泛的應(yīng)用．近年來與傳送帶有關(guān)的內(nèi)容成為高考的熱點(diǎn)，在各地高考中也出現(xiàn)很多．物體在傳送帶上運(yùn)動(dòng)問題的分析幾乎涉及力學(xué)的全部知識(shí)，如勻變速運(yùn)動(dòng)、牛頓運(yùn)動(dòng)定律、能量守恒以及功能關(guān)系等．本文就物體在傳送帶上的運(yùn)動(dòng)問題逐一展開論述．

1 傳送帶水平放置

設(shè)兩定滑輪之間的距離為L(zhǎng)，物體與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，物體m置于傳送帶一端，初速度為v0，傳送帶的速度為v帶．

情形一：v0＝0，如圖1所示．

圖1

物體剛置于傳送帶上時(shí)，由于受滑動(dòng)摩擦力作用，將做a＝μg的勻加速直線運(yùn)動(dòng)．假定物體一直勻加速運(yùn)動(dòng)到離開傳送帶右端，則其離開傳送帶時(shí)的速度，顯然：

情形二：v0≠0，且v0與v帶同向，如圖2所示．

圖2

（1）當(dāng)v0＜v帶時(shí)

同上可知，物體剛運(yùn)動(dòng)到帶上時(shí)，將做a＝μg的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，假定物體一直勻加速到離開傳送帶右端，則其離開傳送帶時(shí)的速度v＝，顯然：

（2）當(dāng)v0＝v帶時(shí)

物體將一直隨傳送帶一起做勻速直線運(yùn)動(dòng)直至從傳送帶的右端離開．

（3）當(dāng)v0＞v帶時(shí)

物體剛運(yùn)動(dòng)到傳送帶時(shí)，因v0＞v帶，將做a＝μg的勻減速直線運(yùn)動(dòng)，假定物體一直勻減速運(yùn)動(dòng)到離開傳送帶，則其離開傳送帶時(shí)的速度v＝，顯然：，物體在傳送帶上將一直勻減速運(yùn)動(dòng)直至從傳送帶的右端離開．

情形三：v0≠0，且v0與v帶反向，如圖3所示．

圖3

此種情形下，物體剛運(yùn)動(dòng)到傳送帶上時(shí)將做a＝μg的勻減速直線運(yùn)動(dòng)，假定物體一直勻減速到離開傳送帶的右端，則其離開傳送帶時(shí)的速度，顯然：

（1）若0＜v0≤v帶，物體將先沿v0方向做勻減速直線運(yùn)動(dòng)到速度為零，而后反向一直勻加速直線運(yùn)動(dòng)，直至從放入端離開傳送帶．

（2）若v0＞v帶，物體將先沿v0方向做勻減速直線運(yùn)動(dòng)到速度為零，而后反向勻加速直線運(yùn)動(dòng)到速度等于傳送帶速度，最后隨傳送帶一起勻速運(yùn)動(dòng)直至從放入端離開傳送帶．

2 傳送帶斜置 物體置于傳送帶下端

設(shè)傳送帶兩定滑輪間的距離為L(zhǎng)，傳送帶與水平面的夾角為θ，物體與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，物體m置于傳送帶的下端，初速度為v0，傳送帶的速度為v帶．

情形一：v0＝0，如圖4所示．

圖4

物體放到傳送帶的下端時(shí)，因v0＝0，顯然只有μmg cosθ－mg sinθ＞0，即μ＞tanθ時(shí)，物體才會(huì)隨傳送帶從下向上做a＝μg cosθ－g sinθ的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，假定物體一直勻加速運(yùn)動(dòng)到傳送帶上端，則物體在離開傳送帶時(shí)的速度

顯然：

情形二：v0≠0，且v0與v帶同向，如圖5所示．

圖5

（1）v0＜v帶時(shí)

1）若μ＞tanθ，物體剛運(yùn)動(dòng)到帶上時(shí)，因v0＜v帶，則其將沿傳送帶向上做a＝μg cosθ－g sinθ的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，假定物體一直做勻加速運(yùn)動(dòng)，則物體離開傳送帶上端時(shí)的速度為

顯然：

2）若μ＝tanθ，物體將以v0沿傳送帶一直做勻速直線運(yùn)動(dòng)直至從傳送帶的上端離開．

3）若μ＜tanθ，物體剛運(yùn)動(dòng)到帶上時(shí)，因v0＜v帶，故物體將沿傳送帶向上做a＝g sinθ－μg cosθ的勻減速直線運(yùn)動(dòng)．假定物體一直做勻減速運(yùn)動(dòng)直至離開傳送帶，則物體離開傳送帶上端時(shí)速度為

顯然：

（2）v0＞v帶時(shí)

1）若μ＞tanθ，物體剛運(yùn)動(dòng)到傳送帶上時(shí)，因v0＞v帶，故物體將沿傳送帶向上做a＝g sinθ＋μg cosθ的勻減速直線運(yùn)動(dòng)，假定物體一直做勻減速運(yùn)動(dòng)直至離開傳送帶上端，則物體離開傳送帶時(shí)速度為

顯然：

2）若μ＝tanθ，物體將以v0沿傳送帶一直做勻速直線運(yùn)動(dòng)直至從傳送帶的上端離開．

3）若μ＜tanθ，物體剛運(yùn)動(dòng)到帶上時(shí)，因v0＞v帶，故物體將沿傳送帶向上做a＝g sinθ＋μg cosθ的勻減速直線運(yùn)動(dòng)．假定物體一直做勻減速運(yùn)動(dòng)直至離開傳送帶，則物體離開傳送帶上端時(shí)速度為

顯然：

1）先向上做a＝g sinθ＋μg cosθ的勻減速運(yùn)動(dòng)到速度等于傳送帶速度，而后向上做a＝g sinθμg cosθ的勻減速運(yùn)動(dòng)，直至離開傳送帶上端．

2）先向上做a＝g sinθ＋μg cosθ的勻減速運(yùn)動(dòng)到等于傳送帶速度，而后向上做a＝g sinθ－μg cosθ的勻減速運(yùn)動(dòng)到速度為零，最后反向做a＝g sinθμg cosθ的勻加速運(yùn)動(dòng)直至從傳送帶下端離開．

情形三：v0≠0，且v0與v帶反向，如圖6所示．

圖6

物體剛運(yùn)動(dòng)到傳送帶下端時(shí)，物體將做a＝g sinθ＋μg cosθ的勻減速直線運(yùn)動(dòng)，假定物體一直做勻減速運(yùn)動(dòng)直至離開傳送帶上端，則其離開上端時(shí)速度為顯然：

（1）當(dāng)μ＞tanθ時(shí)，物體將先沿傳送帶向上做勻減速運(yùn)動(dòng)到速度為零，而后向下做a＝g sinθ＋μg cosθ的勻加速運(yùn)動(dòng)到速度等于傳送帶速度，最后隨傳送帶一起做勻速運(yùn)動(dòng)直至從傳送帶下端離開．

（2）當(dāng)μ＜tanθ時(shí)，物體將先沿傳送帶向上做勻減速運(yùn)動(dòng)到速度為零，而后向下做a＝g sinθ＋μg cosθ的勻加速運(yùn)動(dòng)到速度等于傳送帶速度，最后沿傳送帶向下做a＝g sinθ－μg cosθ的勻加速運(yùn)動(dòng)直至從傳送帶下端離開．

3 傳送帶斜置 物體置于傳送帶上端

設(shè)傳送帶兩定滑輪間的距離為L(zhǎng)，傳送帶與水平面的夾角為θ，物體與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，物體m置與傳送帶的上端，初速度為v0，傳送帶的速度為v帶．

情形一：v0＝0，v帶向上，如圖7所示．

圖7

物體剛放到傳送帶的上端時(shí)，因v0＝0，顯然只有mg sinθ－μmg cosθ＞0，即μ＜tanθ時(shí)，物體才能沿傳送帶從上往下做a＝g sinθ－μg cosθ的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，且物體將一直勻加速運(yùn)動(dòng)到傳送帶下端，物體離開傳送帶時(shí)的速度為

情形二：v0≠0，且v0與v帶反向，如圖8所示．

圖8

（1）若μ＜tanθ時(shí)，物體將一直沿傳送帶做勻加速直線運(yùn)動(dòng)到傳送帶下端離開傳送帶．物體離開傳送帶時(shí)的速度為v＝

（2）若μ＞tanθ時(shí)，物體剛運(yùn)動(dòng)到傳送帶上后將沿傳送帶從上往下做a＝μg cosθ－g sinθ的勻減速直線運(yùn)動(dòng)，假定物體一直勻減速到下端，則物體離開傳送帶時(shí)的速度為

顯然：

1）若v0≤v帶，物體將一直做勻加速運(yùn)動(dòng)直至從傳送帶上端離開．

2）若v0＞v帶，物體將先勻加速運(yùn)動(dòng)到速度等于傳送帶速度，而后隨傳送帶一起勻速運(yùn)動(dòng)直至從傳送帶上端離開．

情形三：v0＝0，v帶向下，如圖9所示．

圖9

物體剛放到帶的下端時(shí)，因v0＝0，物體在傳送帶帶動(dòng)下，從上而向下做a＝g sinθ＋μg cosθ的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，假定物體一直勻加速運(yùn)動(dòng)到傳送帶的下端，則物體在離開傳送帶時(shí)的速度為

顯然：

1）若μ＜tanθ，物體將繼續(xù)做a＝g sinθμg cosθ的勻加速運(yùn)動(dòng)從傳送帶下端離開．

2）若μ＞tanθ，物體將隨傳送帶一起勻速運(yùn)動(dòng)直至從傳送帶下端離開．

情形四：v0≠0，v帶向下，如圖10所示．

圖10

（1）v0＜v帶時(shí)

1）若μ＞tanθ，物體剛運(yùn)動(dòng)到帶上時(shí)，因v0＜v帶，則其將做a＝μg cosθ＋g sinθ的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，假定物體一直做勻加速運(yùn)動(dòng)，物體離開傳送帶下端時(shí)的速度為

顯然：

2）若μ＜tanθ物體剛運(yùn)動(dòng)到傳送帶上時(shí)，因v0＜v帶，物體將做a＝g sinθ＋μg cosθ的勻加速直線運(yùn)動(dòng)．假定物體一直做勻加速運(yùn)動(dòng)直至離開傳送帶，則物體離開傳送帶上端時(shí)速度為

顯然：

（2）v0＞v帶時(shí)

1）若μ＞tanθ，物體剛運(yùn)動(dòng)到帶上時(shí)，因v0＞v帶，故物體將做a＝μg cosθ－g sinθ的勻減速直線運(yùn)動(dòng)，假定物體一直做勻減速運(yùn)動(dòng)，則物體離開傳送帶下端時(shí)速度為

顯然：

2）若μ＜tanθ，物體剛運(yùn)動(dòng)到帶上時(shí)，因v0＞v帶，故物體將一直做a＝g sinθ－μg cosθ的勻加速直線運(yùn)動(dòng)．運(yùn)動(dòng)到離開傳送帶下端時(shí)速度為

上面依據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律、勻變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律對(duì)物體在傳送帶上的運(yùn)動(dòng)特征進(jìn)行了分析，實(shí)際上還可根據(jù)能量觀點(diǎn)對(duì)其進(jìn)行分析，限于篇幅，本文在這里不再贅述．