一類具分?jǐn)?shù)階積分條件的分?jǐn)?shù)階微分方程組解的存在唯一性

李耀紅，張海燕

（宿州學(xué)院 智能信息處理實(shí)驗(yàn)室，安徽 宿州234000）

0 引 言

分?jǐn)?shù)階微積分理論廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)和工程技術(shù)等領(lǐng)域，目前已成為許多數(shù)學(xué)工作者的研究熱點(diǎn)［1－6］.分?jǐn)?shù)階微分方程組邊值問題也受到廣泛關(guān)注［7－12］.特別地，文獻(xiàn)［7－8］利用Schauder不動點(diǎn)定理分別研究了分?jǐn)?shù)階方程組兩點(diǎn)和三點(diǎn)邊值問題正解的存在性；文獻(xiàn)［9］利用錐拉伸和壓縮不動點(diǎn)定理研究了混合分?jǐn)?shù)階方程組兩點(diǎn)邊值問題正解的存在性；文獻(xiàn)［10］利用重合度理論研究了振動情形下分?jǐn)?shù)階方程組多點(diǎn)邊值問題的可解性.基于此，本文考慮一類具分?jǐn)?shù)階積分邊值條件且包含Caputo型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的分?jǐn)?shù)階微分方程組邊值問題：

其中：CD0＋是Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)；1＜α，β＜2；0＜ρ，θ＜1；f，g：［0，1］×?×?→?.

與已有結(jié)果不同，本文積分邊值條件依賴Riemann－Liouville分?jǐn)?shù)階積分，包含整數(shù)積分條件和局部多點(diǎn)邊值條件，因此本文研究的邊值問題（1）更具有一般性.具積分邊值條件的常微分邊值問題廣泛應(yīng)用于種群動態(tài)模型、血液流動模型、熱傳導(dǎo)、化學(xué)化工和等離子物理等領(lǐng)域［11－12］.本文首先將問題（1）轉(zhuǎn)化為等價的積分方程組，獲得了相應(yīng)的格林函數(shù)，然后利用Banach壓縮映射原理，得到了該問題存在唯一解的充分條件，并給出了應(yīng)用實(shí)例.

1 預(yù)備知識

引理1［1］設(shè)α＞0，u（t）∈C（0，1），則齊次分?jǐn)?shù)階微分方程u（t）＝0有一般解

其中ci∈?，i＝1，2，…，n，n＝［α］＋1，［α］表示α的整數(shù)部分.

引理2［1］設(shè)p＞q＞0，f∈L［a，b］，則對?t∈［a，b］，有

下也是一個Banach空間.顯然，（X×Y，‖·‖X×Y）在范數(shù)‖·‖X×Y＝max｛‖u‖X，‖v‖Y｝下是一個Banach空間.

引理3 設(shè)1＜α＜2，0＜θ＜1，u（t）∈C（0，1），則分?jǐn)?shù)階微分方程積分邊值問題：

進(jìn)一步由引理2有

將式（6）代入式（4），有

證畢.

同理，邊值問題CDv（t）＝y(tǒng)（t），v（0）＝0，v（1）＝v（1）也有唯一解

其中K2（t，s）通過將K1（t，s）中α置換為β，θ置換為ρ得到.

定義積分算子T：X×Y→X×Y 如下：T（u，v）（t）＝（T1v（t），T2u（t）），其中：

引理4 設(shè)f，g∈C（［0，1］×?×?，?），則（u，v）∈X×Y 是分?jǐn)?shù)階微分方程組邊值問題（1）的解當(dāng)且僅當(dāng)T（u，v）（t）＝（u，v）（t），?t∈［0，1］.

證明：設(shè)（u，v）是邊值問題（1）的解，且令

由式（7）知

由引理2知

易證（m，n）滿足邊值問題（1）的邊值條件，則（m，n）是邊值問題（1）的解，且（m，n）＝（u，v）.

2 主要結(jié)果

且

則分?jǐn)?shù)階微分方程組邊值問題（1）在X×Y中存在唯一解，其中：

于是，結(jié)合條件（9）有

因此

于是，利用假設(shè)條件（9）可知

再注意到

將式（14）代入式（13），則有

由范數(shù)的定義，并結(jié)合式（12），（15）知

同理，有

從而由式（16），（17）知

故由式（18）并結(jié)合式（11）可知，算子T是一個壓縮映射，因此算子T在X×Y中有一個唯一不動點(diǎn)，即分?jǐn)?shù)階微分方程組邊值問題（1）在X×Y中存在唯一解.

3 應(yīng)用實(shí)例

例1 考慮如下分?jǐn)?shù)階微分方程組邊值問題：

于是f（t，x，y）＝0.01x＋0.012 5y＋t2，g（t，x，y）＝0.005x＋0.01y＋sin t，1＜α＝1.5＜2，1＜β＝1.25＜2，0＜ρ＝0.5＜1，0＜θ＝0.25＜1，則易知a＝0.01，b＝0.012 5，c＝0.005，d＝0.01，從而通過直接計(jì)算可得：M1＝0.280 280，M2＝0.354 460，N1＝0.104 323，N2＝0.135 117，M1＋M2＜1，N1＋N2＜1.因此，由定理1可知方程組邊值問題（19）在X×Y中存在唯一解.

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