“截圖”技術(shù)——解決立體幾何問題的法寶

曹沈華

摘 要：“立體幾何”是大部分中職學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，尤其是“立體幾何”中有關(guān)“線線、線面、面面”各種位置關(guān)系定理的判斷、證明，以及各種位置關(guān)系性質(zhì)的應(yīng)用，不但困擾著學(xué)生，也困擾著教師。本文介紹如何以“截圖”技術(shù)，破解這一難題。

關(guān)鍵詞：截圖 立體幾何 數(shù)學(xué)教學(xué)

一、中職學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何典型障礙分析

就學(xué)生來說，一是中職學(xué)生空間想象力較差，大部分學(xué)生對空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系不能正確理解，無法完整分類呈現(xiàn)，經(jīng)常把二維平面中的點(diǎn)線面位置關(guān)系，混淆到三維空間，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)起點(diǎn)上就產(chǎn)生了大問題；二是學(xué)生初中“平面幾何”知識儲備薄弱。尤其是沒有掌握“幾何”知識的正確學(xué)習(xí)方法，造成大部分學(xué)生的制圖、識圖、用圖能力很差。

就教師來說，教學(xué)中一般教師很少使用幾何體實(shí)物、掛圖、圖片，或者是視頻等直觀手段，造成學(xué)生無法正確理解空間線面、面面中，有關(guān)平行、相交、異面、垂直等各種判定定理、性質(zhì)定理，以至于在應(yīng)用各類定理、性質(zhì)證明問題時，學(xué)生往往手足無措，無法順利解決。如此日積月累，大量的定理、性質(zhì)得不到正確理解應(yīng)用，造成學(xué)生整章立體幾何學(xué)習(xí)的失敗。

二、“截圖技術(shù)”概述

鑒于以上現(xiàn)象，本文提出“截圖”理念。所謂“截圖技術(shù)”是指，學(xué)生在問題解決中要根據(jù)題目主要條件，把題中所給圖形加以分解，并刪除無關(guān)或是弱相關(guān)線面，重新呈現(xiàn)相關(guān)圖形的形成過程，形成幾個互相聯(lián)系的“子圖”從而實(shí)現(xiàn)圖形的簡化，并突出題中的關(guān)鍵點(diǎn)線面，以幫助學(xué)生順利識圖、用圖，找到解題思路。如果題中未給定相關(guān)圖形，則要求學(xué)生根據(jù)主要條件，逐步添加線面，同樣要形成系列“子圖”，在“子圖”中呈現(xiàn)不同關(guān)鍵線面、角度或是距離等，而不是像以往給出圖形的整體。因此，筆者把“根據(jù)條件呈現(xiàn)圖形形成過程，或是分解有圖形”的技術(shù)稱為“截圖”，教學(xué)中常常利用“截圖”引導(dǎo)學(xué)生分析解決立體幾何問題。

三、立體幾何“截圖技術(shù)”的一般應(yīng)用路徑

“截圖技術(shù)”是筆者的新提法，是一種方法創(chuàng)新。筆者認(rèn)為有必要把它作為一種學(xué)習(xí)方法加以肯定，提供給教師、學(xué)生。其應(yīng)用路徑簡述如下。

1.辨

分析題目條件，按題目敘述順序，確定題中關(guān)鍵點(diǎn)、直線和平面，以及題中其他無關(guān)或是弱相關(guān)的線面等。

2.畫

結(jié)合題目已給圖形，重新逐步繪制以上關(guān)鍵點(diǎn)線面，去掉無關(guān)或是弱相關(guān)的線面，獲得有密切聯(lián)系的系列“子圖”。

3.析

根據(jù)題中所訴平行、垂直等位置關(guān)系，或是各種角度、距離等條件，結(jié)合所證、所求實(shí)際問題，來分析應(yīng)用以上系列“子圖”，獲得問題解決思路。

4.寫

整理以上解題思路，按照立體幾何書寫要求，規(guī)范使用各種符號語言，正確嚴(yán)密表達(dá)邏輯過程，以解決問題。

下面試舉一例，說明“截圖”技術(shù)的應(yīng)用策略。

典型例題：在正方體AC1中，求證：直線DB1⊥平面A1BC1。

分析：本題屬于線面垂直的證明，需要用到線面垂直判定定理、性質(zhì)定理、三垂線定理及其逆定理等，并涉及多條直線多個平面，圖形比較復(fù)雜。根據(jù)“截圖”應(yīng)用路徑，具體分析如下：

辨：顯然，原圖中點(diǎn)線面關(guān)系復(fù)雜，學(xué)生很難清晰辨認(rèn)。實(shí)際上，本題僅需證明DB1⊥平面A1BC1內(nèi)的兩條相交直線，即證明DB1⊥A1C1，且DB1⊥A1B，而與其他無關(guān)。所以，可以將其他無關(guān)線面暫時刪除。

畫：為分別證明DB1⊥A1C1與DB1⊥A1B，可以實(shí)施分別截圖，保留所需相關(guān)線面，去掉無關(guān)點(diǎn)線面等得到兩個子圖。

析：（1）首先根據(jù)子圖，DD1⊥上底面A1C1→斜線DB1，以及斜線DB1在上底面的射影D1B1；其次，因?yàn)檎襟w上底面為正方形，則射影D1B1⊥平面內(nèi)直線A1C1；最后，據(jù)三垂線定理，則斜線DB1⊥平面內(nèi)直線A1C1（結(jié)論1）。

（2）同理可得，斜線DB1⊥平面內(nèi)直線A1B。

（3）所以，由DB1⊥A1C1和DB1⊥A1B，可以推出直線DB1⊥平面A1BC1。

寫：整理思路，規(guī)范使用符號語言，表達(dá)邏輯過程。

通過以上案例筆者認(rèn)為，中職學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的關(guān)鍵有三：一要正確把握題目條件，二要準(zhǔn)確判斷題目類型，三要精確分析線面關(guān)系，而這些都離不開作圖，或是對已有圖形的深入。因此截圖技術(shù)在立體幾何問題解決中，有著更為廣闊的運(yùn)用。

四、小結(jié)

通過長期實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，“截圖技術(shù)”不但可以幫助學(xué)生分析題目條件，想象線面關(guān)系，順利找到題中涉及的主要線面，迅速發(fā)現(xiàn)證明思路，長期堅持還可以幫助學(xué)生養(yǎng)成獨(dú)立思考習(xí)慣，提高學(xué)生制圖、識圖能力，培養(yǎng)學(xué)生正確的問題分析思路，從而樹立學(xué)生學(xué)習(xí)的信心，提高課堂教學(xué)實(shí)效性。因此，對中職學(xué)生來說，“截圖”是一種比較適合立體幾何初學(xué)者的方法。

（作者單位：海鹽縣技工學(xué)校）