一類不等式猜想的精彩證明

【摘要】2011年某數(shù)學(xué)雜志上有一篇文章中提出了兩個不等式猜想至今未得到證明，本文首先給出了這兩個不等式的更一般的形式，將其歸為同一類，然后抓住問題的具體特點和規(guī)律，巧妙地運用數(shù)學(xué)思想方法進行分析，同時使用“條件配湊”和“解析式配湊”的解題方法，給出了這類不等式猜想的一個非常精彩的證明.

【關(guān)鍵詞】不等式猜想;推廣;證明;“條件配湊”;“解析式配湊”

江西師范大學(xué)《中學(xué)數(shù)學(xué)研究》2011年第1期上的一篇文章《若干代數(shù)不等式的思考》（作者：宋慶）中提出了兩個不等式猜想：

若a，b，c為非負實數(shù)（至多一個為0），則：

a2+49bcb2+c2+b2+49cac2+a2+c2+49aba2+b2≥33494;

a2+256bcb2+c2+b2+256cac2+a2+c2+256aba2+b2≥12.

這兩個不等式猜想至今沒有人給出證明.下面先給出這兩個不等式的更一般的形式，然后再作分析和證明.

【推廣命題】若a，b，c為非負實數(shù)（至多一個為0），k≥274，則：

a2+k2bcb2+c2+b2+k2cac2+a2+c2+k2aba2+b2≥33k24

（當(dāng)一個變量為0，另兩個變量的平方和除以它們的積所得商等于原不等式右邊的三分之一時取等號）.

【分析】這是一個對稱不等式，對于對稱不等式，有兩個特殊情況，一是對稱的幾個變量相等，另一個是幾個對稱變量中的某一個或若干個為零.考慮到不等式中的幾個變量是對稱的，不妨設(shè)c≥b≥a≥0.先考慮三個變量之間的差距最小即a=b=c這一特殊情況，這時不等式的左邊=15，遠大于33494，所以放棄對這一情況的討論.再考慮三個變量中有為零的情況，根據(jù)條件和假設(shè)，這里只可能是a=0，這時

不等式的左邊=k2bcb2+c2+bc+cb

=k2bcb2+c2+k2bcb2+c2+b2+c2bc（據(jù)原不等式右式的特點配湊數(shù)學(xué)式子）

≥33k2bcb2+c2·k2bcb2+c2·b2+c2bc=33k24.

有戲！但問題是需要a=0.此時能證明不等式的關(guān)鍵是，由a=0，我們得到了k2bcb2+c2+bc+cb.除了a=0，還有其他情況能得到k2bcb2+c2+bc+cb嗎？由于a2+k2bcb2+c2≥k2bcb2+c2是顯然的，所以我們考慮在什么條件下有：

b2+k2cac2+a2≥bc，c2+k2aba2+b2≥cb.

分析這兩個不等式，并考慮到c≥b≥a≥0，不難發(fā)現(xiàn)，配上條件a≤k2b3c2就可以了，至于a>k2b3c2的情況可另行證明.到此，本不等式的證明思路基本明了.

【證明】不妨設(shè)c≥b≥a.分兩個情況討論：

（1）若a>k2b3c2（條件配湊），則

a2+k2bcb2+c2+b2+k2cac2+a2+c2+k2aba2+b2>c2+k2aba2+b2>c2+k2·k2b3c2·bb2+b2≥2k2b22b2=k>33k24（因為k≥274）.

（2）若0≤a≤k2b3c2，

則再由c≥b≥a知：k2b3c2≤k2c3b2，所以a≤k2c3b2.

由a≤k2b3c2得k2ab≥c2a2b2，

將c2+k2aba2+b2中的k2ab換成c2a2b2可得：

c2+k2aba2+b2≥cb（當(dāng)且僅當(dāng)a=k2b3c2或a=0時取“=”）.

由a≤k2c3b2，用類似的方法可得：

b2+k2cac2+a2≥bc（當(dāng)且僅當(dāng)a=k2c3b2或a=0時取“=”），

又a2+k2bcb2+c2≥k2bcb2+c2（當(dāng)且僅當(dāng)a=0時取“=”）.

∴a2+k2bcb2+c2+b2+k2cac2+a2+c2+k2aba2+b2≥k2bcb2+c2+bc+cb

=k2bcb2+c2+k2bcb2+c2+b2+c2bc（解析式配湊）

≥33k2bcb2+c2·k2bcb2+c2·b2+c2bc

=33k24（當(dāng)k2bcb2+c2=b2+c2bc，即b2+c2bc=3k24，且a=0時取“=”）.

在上面的證明過程中，主要用到以下幾種數(shù)學(xué)思想方法和技巧：一是抓住問題的特征和規(guī)律.二是從特殊情況入手尋找解題途徑.三是充分利用條件和假設(shè)放大不等式.四是瞄準(zhǔn)目標(biāo)進行條件配湊和解析式配湊來證明結(jié)論.對于對稱不等式，根據(jù)數(shù)學(xué)式子的特點和不等式成立的條件，尤其是證明過程中的變式目標(biāo)，用“配湊法”證明常可以使問題得到快捷而美妙的解決.

【參考文獻】

[1]宋慶.若干代數(shù)不等式的思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2011（1）.

[2]張家驥.用“配湊法”證明不等式[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)（中國科協(xié)），2004（7）.