自主探究 適時(shí)建模 擇機(jī)而用

余建淳

摘 要：自主探究、算法多樣、適當(dāng)建模是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》所倡導(dǎo)的教學(xué)理念，在2011版標(biāo)準(zhǔn)中特別提出在活動(dòng)中積累經(jīng)驗(yàn)，滲透數(shù)學(xué)思想。筆者基于小學(xué)四年級第八冊數(shù)學(xué)廣角《植樹問題2—— 方陣》的課例研究提出學(xué)生在具體情景中，學(xué)生主動(dòng)探究、尋求方法多樣，讓學(xué)生自己慢慢感悟、提煉和優(yōu)化的策略，讓學(xué)生的個(gè)性化學(xué)習(xí)得到充分的發(fā)揮，使得每位學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上得到不同的發(fā)展。

關(guān)鍵詞：自主探究 方法多樣 數(shù)學(xué)建模

中圖分類號：G633 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1673-9795（2014）05（b）-0126-02

在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中學(xué)我們經(jīng)?？吹疆?dāng)習(xí)題一變，遇到新問題學(xué)生就束手無策。是什么原因?qū)е挛覀兊膶W(xué)生思維僵化、不能靈活運(yùn)用所學(xué)方法解決相類似的新問題呢？不難發(fā)現(xiàn)我們的教師很多的時(shí)候是站在如何教的角度開展教學(xué)，導(dǎo)致主導(dǎo)過重。教師以學(xué)生能否快速、準(zhǔn)確地算出棋子總數(shù)，做對題目為教學(xué)主要目標(biāo)，往往就把自認(rèn)為最優(yōu)的方法快速教給學(xué)生。正是這種急功近利地教學(xué)，忽視了迂回戰(zhàn)術(shù)和能力的提升，數(shù)學(xué)思維也慢慢隨之消失。

1 自主探究—— 方法多樣

由于學(xué)生的生活背景和思考角度的不同，每位學(xué)生的思維水平的差異性必然導(dǎo)致所使用的方法必然是多樣的，教師應(yīng)尊重學(xué)生的想法，鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考，提倡方法的多樣化。而方法多樣化帶來的另一個(gè)現(xiàn)實(shí)要求是適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生對多種方法進(jìn)行比較分析，找出其中的規(guī)律，最終實(shí)現(xiàn)方法的優(yōu)化。

【案例1】情景引入 師出示主題圖：“用25盆花擺成了5行5列的正方形陣形叫5×5的方陣。”（板書：方陣）

師：“現(xiàn)在老師拿掉中間的花，最外面一層每邊擺5盆（每個(gè)頂點(diǎn)都要放一盆），總共需要幾盆？”揭題：研究方陣

自主探究

師：為了方便研究，我們把盆景用點(diǎn)表示；5×5的方陣最外一層共有幾個(gè)點(diǎn)？你有幾種方法？（提供研究單）

生獨(dú)立探究、小組合作—四人小組交流—展示匯報(bào)（要求說出思路和理由）方法一：5×4-4=16，方法二：（5-1）×4=16，方法三：（5-2）×4+4=16，方法四：5×2+（5-2）×2=16，方法五：5×5-（5-2）×（5-2）=16，師：“比較這五種方法，你有什么想說的？”.生說：雖然這幾種方法看上去不一樣，但其實(shí)都考慮到四個(gè)頂點(diǎn)，重復(fù)算就減掉，沒有算就加進(jìn)。方法六：8×2=16 師（指著方法六）：“那你們看這種方法怎么想到？”生1：“我是兩個(gè)兩個(gè)數(shù)的?！睅煟骸澳悄銈兛催@兩種方法怎么樣？”生：“當(dāng)每行的個(gè)數(shù)比較少的時(shí)候還可以，但每行的個(gè)數(shù)比較多的時(shí)候就不方便了?！睅煟骸懊糠N方法都有它的優(yōu)點(diǎn)，每位同學(xué)擅長的也都不一樣，請你記住一種你最欣賞的方法?！?/p>

【感悟】鼓勵(lì)學(xué)生方法多樣化并不是每個(gè)人多樣，而是群體方法多樣化。倡導(dǎo)方法多樣化是有前提的，學(xué)生的確存在著思維的差異性與層次性，各種不同方法是建立在思維等價(jià)基礎(chǔ)上的，否則多樣化就會(huì)導(dǎo)致泛化。從學(xué)生解決問題的思維水平看，各種方法的思維并不等價(jià)，這就需要我們很好地處理方法多樣和優(yōu)化的關(guān)系。

1.1 主動(dòng)探究多樣方法慢優(yōu)化

筆者認(rèn)為，對于“運(yùn)算法則”我們有必要進(jìn)行優(yōu)化，但這并不是所謂“算法”。所謂算法，應(yīng)該是解決問題的方法，而不是算術(shù)計(jì)算法則、順序。解決問題的方法不僅應(yīng)該鼓勵(lì)多樣化，而且應(yīng)該反對優(yōu)化。因?yàn)樾W(xué)生解決問題更有價(jià)值的是過程而不是結(jié)果，算法多樣化正是過程價(jià)值的體現(xiàn)形式。方法多樣化強(qiáng)調(diào)的是不同層次的學(xué)生參與學(xué)習(xí)。當(dāng)然鼓勵(lì)算法多樣并非只是鼓勵(lì)學(xué)生求異而求異，必須對其進(jìn)行“有價(jià)值”“便于思考”“簡單”等價(jià)值判斷，如果把過程叫做“優(yōu)化”，而不是為了實(shí)現(xiàn)唯一最好方法，筆者是贊同的。

縱觀對比學(xué)生出現(xiàn)的這五種方法，學(xué)生思維多層次是建立在同一個(gè)層次上，不同的是他們在觀察圖形時(shí)思考的角度不同。每種方法都有自身的特點(diǎn)，自己的優(yōu)勢，每種方法都有自己針對的圖陣。在學(xué)生展現(xiàn)了不同方法以后，可以引導(dǎo)學(xué)生對其整理、歸類。上面出現(xiàn)了方法六停留在低層次上的動(dòng)作思維和形象思維我們可以優(yōu)化成上面的另外五種方法。

1.2 適度引導(dǎo)優(yōu)化方法勿強(qiáng)行

優(yōu)化的過程是學(xué)生不斷體驗(yàn)與感悟的過程，而不是教師強(qiáng)制的過程?，F(xiàn)在還出現(xiàn)一個(gè)現(xiàn)象是我們的學(xué)生在老師的“悉心教導(dǎo)”下學(xué)會(huì)了“察言觀色”。上面論述到方法六顯然要摒棄掉，但在老師的引導(dǎo)下學(xué)生認(rèn)為方法一：5×4-4=16最好，真的是這樣嗎？課后我去問學(xué)生“為什么這種方法最好？”學(xué)生的回答是“這個(gè)算式數(shù)字最少，步驟最少，算起來比較快?！?/p>

顯然，步驟少是方法優(yōu)化的一個(gè)特征，但不是必備的要素。很多時(shí)候老師把自認(rèn)為最好最快捷的方法教給學(xué)生，而當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)不同的方法或比較繁瑣的方法時(shí)，我們的老師總是快速扼殺掉。其實(shí)我們老師對方法不必過早優(yōu)化，教師應(yīng)該學(xué)會(huì)等待，不能急于求成。俗語說：“強(qiáng)扭的瓜不甜”。對一個(gè)個(gè)體而言，他總是使用自身熟悉或習(xí)慣的算法解決問題，因此，個(gè)體在解決問題時(shí)沒有必要掌握多種算法，教師應(yīng)該幫助學(xué)生建立幾種方法之間的聯(lián)系。

2 水到渠成—— 適時(shí)建模

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》提出學(xué)生要親身經(jīng)歷建立數(shù)學(xué)模型的過程。那么在建模的過程中，我們也常常遇到這樣幾個(gè)問題：在不強(qiáng)調(diào)數(shù)量關(guān)系和未學(xué)過字母表示的數(shù)的情況下要不要建模？什么時(shí)候建模比較合適？要建立怎樣的數(shù)學(xué)模型比較恰當(dāng)？

【案例】師：同學(xué)們，剛剛我們想到這么多方法解決了每邊站5人的情況。

如果每邊人數(shù)不是5，而是6個(gè)，7個(gè)，8個(gè)，更多的人呢？你最愛的方法還行嗎？驗(yàn)證一下！要求：先想好每邊站幾人—— 畫出圖形用你最愛的方法試試看—— 你能得到什么結(jié)論。反饋：不同學(xué)生的思路

學(xué)生1：每邊人數(shù)×4-4=最外層人數(shù)

學(xué)生2：（每邊人數(shù)-1）×4=最外一層總?cè)藬?shù)

學(xué)生3：每邊人數(shù)減去2再乘以4，最后加4。

【感悟】《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實(shí)驗(yàn)稿）倡導(dǎo)以“問題情境一建立模型—— 解釋、應(yīng)用與拓展”作為小學(xué)數(shù)學(xué)課程的一種基本敘述模式。建模是很多老師在這節(jié)課中必須達(dá)到的一個(gè)目標(biāo)，但是不是當(dāng)學(xué)生提煉出n×4-4、（n-1）×4、（n-2）×4+4……這樣的公式就大功告成了呢？真正的模型并不在于此。目標(biāo)明確、任務(wù)清晰、空間廣闊的探究任務(wù)是學(xué)生在探究中獲得數(shù)學(xué)感悟的基點(diǎn)。抽象出模型的過程，不是教師強(qiáng)勢給予的過程，而是學(xué)生自發(fā)探究的過程。所謂的模型，必定是我們在不斷嘗試中得到的，每邊人數(shù)是5、是6、是7或是更多呢？我們設(shè)計(jì)的探究活動(dòng)應(yīng)具有開放性和趣味性，以問題為驅(qū)動(dòng)，讓學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”中獲得知識、學(xué)會(huì)思維、領(lǐng)悟思想、形成情感，其核心都是學(xué)生思考問題的過程，積累數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)。

2.1 水到渠成恰是建模最佳期

思考第一次建模為什么失?。繑?shù)學(xué)模型需要學(xué)生有獨(dú)立自主的研究能力和知識的抽象概括能力。顯然第一次是老師理想狀態(tài)下的建模學(xué)習(xí)，小學(xué)生的認(rèn)知水平、學(xué)習(xí)能力并沒有達(dá)到這種狀態(tài)。所以教師首先要給學(xué)生提供豐富的感性材料，多側(cè)面、多維度、全方位感知某類事物的特征或數(shù)量間的相依關(guān)系，為數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確構(gòu)建提供可能。雖然老師提供的研究表格看上去一個(gè)情景，但過于抽象和過于側(cè)重結(jié)果，所以學(xué)生沒有明確建立一個(gè)計(jì)算方法的模型。

解決方陣問題有那么多方法并沒有突出的一種，所以在第二次建模中堅(jiān)持讓學(xué)生用同一種方法解決不同情形的問題。讓學(xué)生對每一個(gè)算式用精確的語言進(jìn)行描述（語言的描述是模型符號化至關(guān)重要的一步）。當(dāng)學(xué)生對自己的方法理解到位同時(shí)能用語言描述時(shí)也是建立數(shù)學(xué)模型的水到渠成時(shí)。

2.2 適合自己才是數(shù)模最佳型

解決上述方陣學(xué)生出現(xiàn)了五種方法，每位學(xué)生堅(jiān)持自己的方法時(shí)也就出現(xiàn)了五種數(shù)學(xué)模型。有老師提出疑問：“學(xué)生雖然出現(xiàn)了五種模型，其實(shí)這五種模型都可以簡化成最簡單的一個(gè)（n-1）×4，學(xué)生學(xué)過乘法分配律，為什么不化簡化成同一個(gè)？”的確，對一個(gè)問題的假設(shè)和數(shù)學(xué)模型不斷加以修改，進(jìn)行最優(yōu)化處理是建模的一個(gè)要求，同時(shí)初中學(xué)習(xí)的要求也是要化成最簡的。我們深思今天需不需要化簡？怎樣的模型是最佳的？我想只有合適的才是最好的。

在小學(xué)階段建立數(shù)學(xué)模型不是主要目的，重要的學(xué)生經(jīng)歷建模的過程，從中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)概括、提煉能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號感，提高學(xué)習(xí)興趣。今天的化簡也不是重點(diǎn)，從學(xué)生的接受能力和主官意愿也不適宜化簡。我們要學(xué)會(huì)等，允許學(xué)生慢慢來。我們驚喜的發(fā)現(xiàn)學(xué)生的結(jié)論正是對問題的理解和模型的建構(gòu)，他們遠(yuǎn)比我們想象的要能干得多。數(shù)學(xué)活動(dòng)正是積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的前提，這個(gè)探究環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)旨在讓學(xué)生對已探得的方法學(xué)會(huì)質(zhì)疑在之前放手讓學(xué)生獨(dú)立思考和小組討論并沒有得出基本的模型。

3 擇機(jī)而用—— 方法優(yōu)化

自主探究的目的是希望能從中找到一些內(nèi)在的規(guī)律，開展數(shù)學(xué)建模活動(dòng)，關(guān)注的是建模的過程，能把規(guī)律用規(guī)范的語言描述或用符號簡化表示，但建模不僅僅是結(jié)果，更多的是培養(yǎng)思維能力，特別是創(chuàng)造能力，能靈活運(yùn)用模型解決問題。

在解決方陣問題中我出現(xiàn)了五種并駕齊驅(qū)的方法，每位同學(xué)都會(huì)堅(jiān)持自己喜歡的方法，排斥其它。怎樣讓各種方法凸顯它的優(yōu)勢？僅僅憑老師的三言兩語是說服不了學(xué)生的，這也值得我們老師好好去思考設(shè)計(jì)有價(jià)值的習(xí)題。

3.1 形變而本同強(qiáng)化一般方法

【案例】

延伸拓展：師：“大家能不能用剛才研究方陣的方法來解決其它陣形呢？”

（1）一邊7個(gè)點(diǎn)的正三角形的點(diǎn)陣最外1層有幾個(gè)點(diǎn)？（如果每邊10個(gè)點(diǎn)呢？）

生：略

師，每邊n個(gè)點(diǎn)呢？

（2）一邊10個(gè)點(diǎn)的正五邊形的點(diǎn)陣最外1層有幾個(gè)點(diǎn)？

師：“那通過剛才的研究，你又有什么新的收獲？”

生：“老師，其實(shí)不管改成幾邊形，我們都可以用前面的方法解決?！?/p>

【感悟】我們在學(xué)習(xí)空心方陣后，學(xué)生基本掌握了計(jì)算一把方法，也建構(gòu)了基本的數(shù)學(xué)模型。為了能對其中真正內(nèi)涵的理解，我們老師可以改變基本圖形形狀，拓展到正多邊形點(diǎn)陣都有同樣的解決方法。從而起到建立數(shù)學(xué)模型的真正作用，充分培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)推理和運(yùn)用能力。

要真正提高學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型的意識和思想，不應(yīng)在加深問題的難度上下工夫，而要通過有代表性的、學(xué)生容易接受的問題鏈，讓學(xué)生產(chǎn)生“頓悟”，獲得一種積極的情感體驗(yàn)，這樣即使遇到一些未解過的題目，學(xué)生也會(huì)自覺地運(yùn)用模型思想和方法解決新問題。我們在學(xué)習(xí)空心方陣后，學(xué)生基本掌握了計(jì)算一把方法，也建構(gòu)了基本的數(shù)學(xué)模型。為了能對其中真正內(nèi)涵的理解，我們老師可以改變基本圖形形狀，拓展到正多邊形點(diǎn)陣都有同樣的解決方法。從而起到建立數(shù)學(xué)模型的真正作用，充分培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)推理和運(yùn)用能力。

3.2 形似而質(zhì)異凸顯各自優(yōu)勢

【案例】（1）依次出示下列圖形，求一共有幾個(gè)點(diǎn)。（如圖1）

（2）師：48名舞蹈隊(duì)隊(duì)員圍成一個(gè)正方形，每邊人數(shù)相等。四個(gè)頂點(diǎn)各站1人，每邊各要多少位女同學(xué)？生（獨(dú)立嘗試解答）師（根據(jù)學(xué)生回答板畫）

【感悟】習(xí)題1在基本圖形中，每種方法凸顯不出自己的優(yōu)勢，我們可以借機(jī)出示一些更復(fù)雜的圖陣，讓學(xué)生能從中找到一些解決圖陣的基本思路，針對不同的圖陣選用不同的思路，明白每種方法的優(yōu)勢特點(diǎn)。在具體運(yùn)用中，學(xué)生能根據(jù)圖形的自身特征靈活選用最佳的方法這是我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要目標(biāo)。

習(xí)題2強(qiáng)勢逆推，迎難而上—— 這個(gè)環(huán)節(jié)放與放，我們思量很久。為了驗(yàn)證我們在之前為學(xué)生所做的三次探究的鋪墊是有意義的，必須通過這個(gè)環(huán)節(jié)來驗(yàn)證教學(xué)的效果。在課堂上，學(xué)生用畫圖的方法，結(jié)合自己最喜歡的方法逆推還原實(shí)現(xiàn)了問題解決的完整性。學(xué)生成功解決這個(gè)問題，使得我們堅(jiān)信方陣問題并不一定要和植樹問題捆綁教學(xué)，將它作為學(xué)生積累豐富數(shù)學(xué)活動(dòng)體驗(yàn)的教學(xué)內(nèi)容是非?？少F的。尊重學(xué)生方法多樣化，適時(shí)優(yōu)化并不是一種形式，這節(jié)課我們認(rèn)為最大的亮點(diǎn)就是我們讓方法多樣化留到了最后，允許學(xué)生根據(jù)不同的思維水平選擇和調(diào)整自己的“策略”和“模型”。

一節(jié)課，聯(lián)想到一類課。在我們小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容中很多新知的學(xué)習(xí)都可以通過自主探究、方法多樣—— 水到渠成、適時(shí)建?！?擇機(jī)而用、方法優(yōu)化的教學(xué)模式展開。筆者認(rèn)為只有每位學(xué)生的主動(dòng)參與探究、討論、提煉、建模才是有意義的學(xué)習(xí)；只有真正適合兒童的教學(xué)才能從內(nèi)心喚醒孩子的學(xué)習(xí)需求和興趣。學(xué)生自主探究、倡導(dǎo)方法多樣化都是學(xué)生個(gè)性化發(fā)展的需求，方法的優(yōu)化、數(shù)學(xué)模型的建立是學(xué)生學(xué)習(xí)能力提升的需求。學(xué)生的思維存在差異性和層次性，我們的老師需要慢慢等待，不應(yīng)為了優(yōu)化而優(yōu)化，為了建模而建模，一切建立在學(xué)生的基礎(chǔ)上。作為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的初始階段的小學(xué)數(shù)學(xué)，除了重視數(shù)學(xué)概念、法則、公式、性質(zhì)等顯性的數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，更應(yīng)該重視數(shù)學(xué)意識、數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)思維方式等數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)思考問題，全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)給學(xué)生留下“意識”“思想”“經(jīng)驗(yàn)”“習(xí)慣”“快樂”等，為學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)和可持續(xù)發(fā)展奠定基礎(chǔ)。希望通過上述學(xué)習(xí)的開展，讓每位孩子的潛能都得到盡情開發(fā)，每位孩子的思維都得到充分發(fā)展。

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