由基本圖形入手巧解中考題

朱元元

［摘要］ 每到中考結束，從試卷得分層面上都會談及學生解題能力的培養(yǎng)，本文筆者從基本圖形入手談中考幾何題的巧解過程，與大家共勉.

［關鍵詞］ 基本圖形；識圖；標圖

所謂“基本圖形”， 是在幾何問題的分析中，組成一個幾何問題的圖形的最簡單、最重要、最基本的，但又是具有特定的性質(zhì)，能明確地闡明應用條件和應用方法的圖形.

下面，筆者以連云港市2013年中考數(shù)學試卷中的26題為例，談如何由基本圖形入手巧解題，與大家共勉.

例題（2013江蘇連云港）如圖1所示，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A，B的坐標分別為（8，0），（0，6），動點Q從點O、動點P從點A同時出發(fā)，分別沿著OA方向、AB方向均以每秒1個單位長度的速度勻速運動，運動時間為t秒（0＜t≤5）. 以點P為圓心、PA長為半徑的⊙P與AB，OA的另一個交點分別為點C和點D，連結CD，QC.

（1）當t為何值時，點Q與點D重合？

（2）設△QCD的面積為S，試求S與t之間的函數(shù)關系式，并求S的最大值.

（3）若⊙P與線段QC只有一個交點，請直接寫出t 的取值范圍.

分析?搖 此題為連云港市2013中考數(shù)學試卷的倒數(shù)第2題，滿分12分. 從所處的位置及分值看，學生自然會認為這題應該有難度，通過批閱試卷后的抽樣調(diào)查看，平均得分1分，也佐證了這個觀點. 然而筆者并不能茍同，理由是：本張試卷共有27題，用時120分鐘，其中選擇填空各8題，計16題，17-19題是計算題，其后20-27題是應用類題型，且每題都在2問以上，如果把20-27題以“問”為單位進行分解，那整張試卷就有39個小題，在此題前有32問，如果平時學生訓練不到位，解題能力弱，答題經(jīng)驗不足，遇到這樣的中考試卷，前面耗時太多，自然就沒有時間做26題，也就造成了許多“0分”卷. 這也是筆者認為造成這道題得分少的原因之一. 下面筆者從基本圖形入手對此題進行分析、求解，以說明這題不是太難的理由.

■ 圖形提取——識圖

從圖1中，我們不難找到這樣兩個基本圖形（圖2和圖3）：

圖2所反饋的知識信息首先是“直徑所對的圓周角是直角”，即∠D=90°；圖3中，如果CD∥BO，那么這個圖形就是三角形相似中的典型圖形了，結合圖2，這個結論自然是成立的.

■ 數(shù)形結合——標圖

（1）把題目中的已知數(shù)量關系在圖3中標出，得圖4.

（2）根據(jù)發(fā)現(xiàn)，可知△ACD∽△ABO，由對應邊成比例，學生可以在草稿紙上計算出用t來表示線段CD和AD的長的表達式（這個做法，應該是學生做這類動點題的思維定式），由此進一步標圖（如圖5）.

以上操作，在審題的思維過程中，應當是一氣呵成的，作為一線的老師，大家都能做到這一點，但是對于學生而言，能真正做到這樣，卻是少之又少（我們應該對學生強化這方面的訓練）. 如果學生有了這方面的技能，那解題自然就沒有太大的問題了. 下面讓我們進入實質(zhì)的解題階段.

■ 知識運用——求解

第（1）問：求當t為何值時，點Q與點D重合？

分析?搖 從圖5中我們知道，OQ=t，AD=■t，如果點Q與點D重合，那么也就是說OQ（D）+AQ（D）=8，即得t+■t=8，這是一元一次方程，學生易求出t=■（s）.

驗證：當t=■（s）時，AD=■，CD=■，由AD ∶ AO=■=CD ∶ BO，滿足△ACD∽△ABO，即求解正確.

在學生的審題能力達到且標出圖5后，由基本圖形的知識是很容易解出第（1）問的. 即使是說理能力差點的學生，不寫過程只寫個結論（或者只列式?jīng)]有計算出結果）也能得到分數(shù). 所以，以第（1）問來說，也不至于抽樣的平均分是1分.

當然，還必須認識到的一個事實是：第（1）問雖簡單，其實是為了降低該題難度而預設的，是為了更好地經(jīng)歷過程，為后面的完整解決問題起一個鋪墊的作用. 待學生求出t值后會發(fā)現(xiàn)第（1）問中t的值小于5，應該想到：Q點運動到點D后，還要繼續(xù)移動，更進一步，學生應該認識到，本題中的Q點有三個相對位置：在點D的左側、和點D重合、在點D的右側. 這就為下面第（2）問和第（3）問分類討論作了一個有力的提示，即讓學生能不“漏解”（得滿12分）. 當然，要做到這一思維，還要看學生的發(fā)散思維，或許這才是這題難的地方.

第（2）問：設△QCD的面積為S，試求S與t之間的函數(shù)關系式，并求S的最大值.

分析求三角形面積，在此類題的教學中，一般的思維定式就是“底乘高除以2”，由圖5，學生自然想到S=■，解決問題的關鍵就在于DQ的表示，從圖上看，這對于大多數(shù)學生來講應該不是難點DQ=8－t－■t，把表示QD，CD的代數(shù)式代入面積公式化簡得S=－■t 2+■t，由a=－■<0，S有最大值. 至于二次函數(shù)最值的求法，老師們都不遺余力地訓練過，學生自然能通過頂點坐標公式求出來：當t=■時，S有最大值■，這個計算需要學生心細些，不能怕繁，當然，在做到步步正確的情況下，二次函數(shù)的最值問題的驗證也就水到渠成了.

如果學生能力有限，只能思考到這，也能得到一定的分數(shù). 但我們知道上面的這個求解是點Q的移動時間在00，由二次函數(shù)的圖象性質(zhì)可知，當t>■時，即在對稱軸的右側，S隨t的增大而增大，而此時■

在閱卷過程中，發(fā)現(xiàn)有學生也意識到了此問要分段討論，求解的過程也對，但忽略了點Q的移動是一個連續(xù)的變化過程，還要比較兩個（最大）面積值的大小，才能得出本問的結論，即在0

第（2）問之所以要分類計算，因為這題本質(zhì)就是一個動點（變化）題，△QCD的面積S又是隨著動點Q（這時可以把點D，C看做是不動的點來考慮）的位置不同而變化的. 當然我們看到，計算的切入點是容易找到的，雖計算量有些大，但還是能得到一定的分數(shù)，能否得滿分，這需要學生平時養(yǎng)成良好的思維習慣和敏銳的洞察力，這或許才是本題“難”的地方.

第（3）問：若⊙P與線段QC只有一個交點，請直接寫出t 的取值范圍.

分析寫完第（2）問后，雖有成功的喜悅，但是由于計算量大，學生的身心會感到疲勞，加之時間緊，還有最后一道壓軸題沒有看呢，這時學生在讀第（3）問時，可能會簡單地理解成線與圓的位置關系，因為閱卷過程中，我們看到有學生直接寫：當t=■時，CQ與圓有一個交點. 而忽視了兩個關鍵詞“線段”（不是“直線”）和“取值范圍”（不是“值”）. 當細心的學生發(fā)現(xiàn)了題目中的文字陷阱（線段）后，他自然會把點Q在頭腦里重新移動一次或二次，然后把這個過程分成三個階段：從開始到CQ與圓相切時（有一個交點）；從CQ與圓相交到Q移到D點（有兩個交點）；Q點過D點到移動結束（有一個交點）. 這個“重新移動”的過程，也就是驗證這個問題的解的過程. 有了這個思維過程后，首先能寫出來的結論就是■

這時從圖7中提取并結合圖5標注得到基本圖形8，利用這個基本圖形中三個直角三角形彼此相似，由對應邊成比例可求出相切時的t值為■，即本問的另一個解為0

寫到這，本題就全部分析完了，寫了很多，如果教師平時對此類題講解、訓練到位，學生的基本功扎實，就從題目基本圖形出發(fā)進行思考，一路寫下來用15分鐘是能完成的，本題雖有難度但終不至于達到難度系數(shù)為0.083這個程度.

■ 結語

從基本圖形入手解題是一種很簡單而又快捷的方法，教學中教師要注重培養(yǎng)學生的圖形識別能力，訓練學生從復雜圖形中提取基本圖形. 學生要想嫻熟地掌握這種方法，需要做到以下幾點：（1）加強學生在數(shù)學知識和數(shù)學活動經(jīng)驗方面的積累. 問題解決是以已有的知識、經(jīng)驗為基礎的，只有具備了堅實的知識基礎和積累了豐富的數(shù)學活動經(jīng)驗，解決問題才會成為可能. （2）讓學生養(yǎng)成畫圖習慣. 記得筆者作為學生的時候，每做一道幾何題都要認真地依題意把每道題的圖畫一遍（不是照課本上的圖抄一遍），作為老師，大家都知道這樣做的好處是什么. 但現(xiàn)在呢？學生做作業(yè)甚至連題目都不想抄，又怎能看懂圖呢？（3）培養(yǎng)學生的觀察力，發(fā)展學生的識圖能力. 教學活動中，要有意識、有組織地對學生進行觀察訓練，學生有了較強的觀察力，才有利于他們?nèi)娴?、深入地思考問題，才有利于形成洞察力，使他們從觀察中捕捉到事物的本質(zhì)特征. （4）培養(yǎng)學生的標圖能力. 標圖，作為一種技能，我們在例題教學時都會在板演時做得淋漓盡致，這是因為我們作為學生時得到了這方面的訓練. 作為80前的老師，大家都對初中時做的相似和圓的證明題記憶深刻. 現(xiàn)在呢？對演繹推理要求低了，于是作為教師的我們對于證明的系統(tǒng)化培養(yǎng)的要求也就降低了，學生在審題、解題等方面的能力自然得不到良好的發(fā)展.

希望作為教師的我們能從源頭上加以引導，讓學生養(yǎng)成全面細致讀題、準確深入審題的良好習慣，掌握科學的解題方法，全方位提高學生的數(shù)學思維品質(zhì)和應用能力，提高教學效能.