一類奇異三階兩點邊值問題正解的存在性

劉瑞寬

（西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,甘肅 蘭州730070）

1 預(yù)備知識

三階微分方程在應(yīng)用數(shù)學(xué)和物理等很多學(xué)科中有重要的應(yīng)用,可以描述撓度彎曲的梁,有固定或改變交叉的部分,電磁波的傳播和重力驅(qū)動等,見文獻［1］.近年來,三階邊值問題已受到廣泛關(guān)注［2-8］.其中,文獻［2-3］中運用上下解方法研究了三階邊值問題正解的存在性,文獻［5-9］通過降階法和比較原理研究了三階兩點和多點邊值問題正解的存在性.特別地,文獻［10］運用Krasnoselskii's不動點定理研究了三階奇異邊值問題

正解的存在性與多解性.文獻［11-12］通過討論相應(yīng)線性算子第一特征值,給出了三階兩點邊值問題的正解存在性結(jié)果.受以上文獻的啟發(fā),本文考慮三階兩點邊值問題（1）正解的存在性,其中允許a（t）在t＝0或t＝1處有奇性.通過對相應(yīng)線性算子第一特征值的討論,運用不動點指數(shù)理論獲得當(dāng)f0、f0、f∞、f∞∈（0,+∞）時正解的存在性結(jié)果,對文獻［9］結(jié)果進行了補充,并且本文得到的結(jié)果是最優(yōu)的.

為了方便,記

本文主要結(jié)果的證明基于下面的不動點指數(shù)理論.

定理1.1［13］設(shè)E是Banach空間,K?E為E中的一個錐.假設(shè)Ω為E中的有界開集,且T:K∩→K緊,則以下結(jié)論成立:

（i） 若存在 u0∈K＼｛θ｝,使得

u-Tu≠τ u0, u∈K∩?Ω, τ≥0,則不動點指數(shù)i（T,K∩Ω,K）＝0.

（ii） 若 u≠τ Tu,u∈K∩?Ω,τ≥1,則不動點指數(shù) i（T,K∩Ω,K） ＝1.

本文的工作空間是 X:＝｛u∈C［0,1］:u（0）＝u′（0） ＝u″（1） ＝0｝,其在范數(shù)下構(gòu)成 Banach空間.對于?r＞0,令 Br＝｛u∈C［0,1］:‖u‖ ＜r｝,?Br＝｛u∈C［0,1］:‖u‖ ＝r｝.定義X 中的錐 K ＝｛u∈X:u（t）≥0,t∈［0,1］｝,顯然 K為X中的非負錐.為了得到更好的結(jié)果,對于?0＜τ＜1,定義如下的錐

2 主要結(jié)果及證明

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