培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)思維和創(chuàng)新能力的研究與實踐
——談大學(xué)數(shù)學(xué)研究型教學(xué)

鄭連存， 張 艷

(1.北京科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院，北京100083； 2.北京建筑工程大學(xué)理學(xué)院，北京100044)

1 引 言

美國心理學(xué)家吉爾福特提出：發(fā)散思維是創(chuàng)造性思維的核心，它決定了一個人創(chuàng)造力的高低.

高等教育承擔(dān)著為國家培養(yǎng)具有創(chuàng)造思維的創(chuàng)新型人才的神圣使命，作為高等教育工作者，我們深深感受到培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的重要責(zé)任.筆者認(rèn)為在大學(xué)教學(xué)活動中，引導(dǎo)學(xué)生深入理解所學(xué)知識，培養(yǎng)學(xué)生獨立思考和創(chuàng)新能力應(yīng)是教學(xué)工作者的最高追求.

筆者多年來一直工作在教學(xué)第一線，擔(dān)任多門本科生和研究生基礎(chǔ)課教學(xué)工作，教學(xué)中始終注意將自己多年從事科研工作的思想和體會融入到教學(xué)活動中，注意發(fā)散思維和創(chuàng)新能力的培養(yǎng).筆者承擔(dān)《高等數(shù)學(xué)》和《工科數(shù)學(xué)分析》課程教學(xué)工作時，經(jīng)常以討論課的形式，將一些有啟發(fā)，有延拓性的題目首先交給學(xué)生去討論，探討不同解法及給出各種正確答案.題目做完后，引導(dǎo)學(xué)生分析題目的本質(zhì)及各種關(guān)聯(lián)問題并由學(xué)生自己拓展改編題目，引導(dǎo)學(xué)生沿著各種不同的途徑去思考，類比、聯(lián)想、猜想、發(fā)現(xiàn)和論證.下面從一個關(guān)于導(dǎo)數(shù)值的等式問題出發(fā)，來探討教師在課堂教學(xué)過程中如何根據(jù)教學(xué)內(nèi)容創(chuàng)設(shè)能激起學(xué)生新異感的問題情景, 善于能從一個問題出發(fā)，沿著各種不同的途徑去思考，使學(xué)生的思維不斷攀升到更高的階段，豐富教學(xué)內(nèi)容，擴(kuò)大課堂信息量，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，發(fā)現(xiàn)多種關(guān)聯(lián)問題及尋求解決問題的途徑，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)新能力.

2 一個關(guān)于導(dǎo)數(shù)值關(guān)系式的例題

人們經(jīng)常把創(chuàng)新想象得很高深、很神秘、很復(fù)雜，并因此阻礙了自己的創(chuàng)新.很多創(chuàng)新工作，甚至是非常偉大的創(chuàng)新，有時它的思路也很簡單，往往和某些已經(jīng)知問題相關(guān)聯(lián).

例設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=0,f(1)=1，證明在(0,1)內(nèi)存在兩點x1,x2使得

(1)

先由學(xué)生自己給出不同證明方法，這里僅列出一種證明方法如下：

故

按照常規(guī)教學(xué)方式，題目證明完，學(xué)生理解掌握，教學(xué)任務(wù)就完成了.但是實際上還有很多問題有待思考.該問題的本質(zhì)是什么？證明中的關(guān)鍵因素是什么？可以聯(lián)系到或衍生出什么不同問題？

3 發(fā)散思考：聯(lián)想、猜想、論證

保持原函數(shù)特征推廣

聯(lián)想1(加權(quán)系數(shù)變化拓展) 首先容易聯(lián)想到的一個簡單變形是原問題可以化為

(2)

聯(lián)想2(多個結(jié)點加權(quán)平均) 上面討論涉及到(0,1)區(qū)間內(nèi)兩個點導(dǎo)數(shù)值倒數(shù)的加權(quán)平均.進(jìn)一步，很自然會聯(lián)想到在區(qū)間(0,1)內(nèi)多個點的加權(quán)平均，若考慮到多個點的加權(quán)會有什么結(jié)果？ 引導(dǎo)學(xué)生猜想、猜想、發(fā)現(xiàn)并證明如下命題.

(3)

提示 可以先考慮可以先考慮三個點情況，選取0

進(jìn)一步思考和聯(lián)想：

(4)

聯(lián)想4(函數(shù)值變化拓展) 若將例題條件f(0)=0,f(1)=1 改為f(0)=0,f(1)=a會有什么結(jié)果？引導(dǎo)學(xué)生猜想、猜想、發(fā)現(xiàn)并證明如下命題.

命題4設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=0,f(1)=a(a>0)，證明在(0,1)內(nèi)存在兩點x1,x2使得

(5)

聯(lián)想5聯(lián)想到兩個函數(shù)值變化情況，若將例題條件f(0)=0,f(1)=1改為f(0)=a,f(1)=b，結(jié)果如何？引導(dǎo)學(xué)生猜想、發(fā)現(xiàn)并證明如下命題.

命題5設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=a,f(1)=b(b>a>0)，證明在(0,1)內(nèi)存在兩點x1,x2使得

(6)

同樣可以考慮區(qū)間[0,1]上多個點加權(quán)平均，當(dāng)某些點函數(shù)值變化時的類似推廣，略.

構(gòu)造復(fù)合函數(shù)推廣

若將例題的思想拓展到復(fù)合函數(shù)，會有什么結(jié)果？假設(shè)已知函數(shù)u=F(y)，y=f(x)，復(fù)合函數(shù)u=F(f(x))滿足在某個閉區(qū)間上連續(xù)，在相應(yīng)的開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且F(0)=0,F(1)=1.將u=F(y)帶入公式(3)或(4)，可以得到關(guān)于f(x)的許多新問題.

聯(lián)想6令F(x)=ln[f(x)]，引導(dǎo)學(xué)生猜想、發(fā)現(xiàn)并證明如下命題.

命題6設(shè)函數(shù)f(x)為定義在區(qū)間[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)的正值函數(shù)，f(0)=1,f(1)=e，k1,k2,…,kn為n個正數(shù)，證明在(0,1)內(nèi)存在n個不同的點x1,x2,…,xn，使得

(7)

(8)

命題6及命題7的證明令F(x)=lnf(x)，則當(dāng)x∈[0,1]時，函數(shù)F(x)滿足區(qū)間[0,1]上可導(dǎo)，且F(0)=0,F(1)=1，F(xiàn)(x)滿足原問題的條件,由公式(3)或(4)，立即得到證明.

類似地，可以做很多其它形式的推廣，如F(x)=ef(x),exf(x),e-xf(x), cos(f(x))，…，這里從略.

(9)

更一般地，有

命題9(復(fù)合函數(shù)拓展) 在(0,1)內(nèi)存在n個不同的點x1,x2,…,xn，使得

(10)

命題10(復(fù)合函數(shù)拓展) 在(0,1)內(nèi)存在n個不同的點x1,x2,…,xn，使得

(11)

亦可以引入下面的復(fù)合函數(shù)拓展：

假設(shè)已知函數(shù)x=φ(t)，t∈[0,1]；y=f[φ(t)]是關(guān)于x=φ(t)的復(fù)合函數(shù)，φ′(t)在[0,1]上連續(xù)且不為0，當(dāng)t由0連續(xù)變?yōu)?時，y由0連續(xù)變?yōu)閍.y=f[φ(t)]滿足區(qū)間[0,1]上可導(dǎo)，且f(0)=0,f(1)=a.這時可以將y=f[φ(t)]帶入公式(3)或(4)，立即可以得到關(guān)于f(x)的許多新問題.這里從略.

還可以將如上問題推廣到二元函數(shù)或多元函數(shù)，需要用到雅克比行列式等知識.這里從略.

4 結(jié)束語

21世紀(jì)的競爭實質(zhì)上是知識創(chuàng)新和技術(shù)創(chuàng)新的競爭，歸根到底是具有創(chuàng)新能力的高素質(zhì)人才的競爭.一個人的創(chuàng)新能力特別是創(chuàng)新思維能力的強(qiáng)弱將決定他未來的發(fā)展前途，一個民族的創(chuàng)新能力決定著其在國際競爭中的地位和作用.創(chuàng)新能力不是與生俱來的，而是通過學(xué)習(xí)、訓(xùn)練產(chǎn)生和提高的.高等學(xué)校是高素質(zhì)人才的培養(yǎng)基地，高等學(xué)校教育教學(xué)改革是一項長期持久的系統(tǒng)工程.高等數(shù)學(xué)是大學(xué)中最重要的基礎(chǔ)課程, 對于后續(xù)課程的學(xué)習(xí)和學(xué)生創(chuàng)新思維的培養(yǎng), 具有重要而深遠(yuǎn)的意義.要培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，教師必須在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生掌握科學(xué)思維方法，用聯(lián)系的、發(fā)展的、全面的觀點看待事物和思考問題，激發(fā)學(xué)生求新求異的心理，提高學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)和把握改變現(xiàn)狀的契機(jī)和機(jī)遇，探索解決問題的多種方法，為國家輸送更多具有競爭力的高素質(zhì)人才.

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 鄭連存.從曲線積分的教學(xué)談對知識的追蹤溯源—培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的思維方法[J]. 高等理科教育,2005(3): 38-40.

[2] 陳兆斗,鄭連存,王輝,李為東.大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽習(xí)題精講[M].北京：清華大學(xué)出版社，2010:34-45.

[3] 斐禮文. 數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法[M]. 北京：高等教育出版社，2003:186-207.

[4] 鄭連存，張艷，聯(lián)想-猜想-論證，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)新能力[J]. 教育學(xué)文摘，2013，325(1):148-151.

[5] 徐利治，王興華. 數(shù)學(xué)分析的方法及例題選講(修訂版)[M]. 北京：高等教育出版社，1983:116-182.