待定系數(shù)法求自然數(shù)冪和

李衛(wèi)高

(漯河醫(yī)學(xué)高等專科學(xué)校，河南漯河462002)

自然數(shù)冪和是一個很古老的問題，人們很早就熟悉了低次冪求和公式，也提供了低次冪求和的寶貴經(jīng)驗.直到現(xiàn)在，任意次自然數(shù)冪求和仍是人們關(guān)心的話題，其中所用的方法各種各樣，結(jié)果也不盡相同.筆者通過利用二項式定理展開一個和式，并加以整理，得到了一個含有任意次自然數(shù)冪和的式子.經(jīng)過賦值合并，給出了隔次自然數(shù)冪和組合公式，由此公式，用待定系數(shù)法，最終得到了和伯努利公式類似的冪和公式.

由

+…

(1)

令x=-1，得

(2)

(2)-(1)，得

(3)

(3)式是一個關(guān)于隔次自然數(shù)冪和組合公式，以下為方便起見，在書寫與m有關(guān)的有限項連加式的時候，因最后一項與m的奇偶性有關(guān)，只寫前面的項，后面略去.

(3)式左端，

比較左右兩端的系數(shù)，得

所以

其中λk由如下式子確定：

例如

進(jìn)一步計算可算出

n=input(′n=′)

A(1,1)=factorial(2);b(1)=1/2-1/3;

for k=2:1:n

for j=1:k

A(k,j)=factorial(2*k)/[factorial(2*(k-j)+1)*factorial(2*j-1)];

end

b(k)=1/2-1/(2*k+1);

end

x(1)=1/12;

for k=2:1:n

for j=1:k-1

b(k)= b(k)-A(k,j)*x(j);

end

x(k)=b(k)/A(k,k);

end

x

輸入n=20：

查閱資料可以發(fā)現(xiàn)，上述結(jié)果和歷史上伯努利的冪和公式是類似的.

雅谷·伯努利(1654-1705)在《猜度術(shù)》(1713)中得到任意次冪的求和公式，根據(jù)他的原著，此式表示為

式中A=1/6,B=-1/30,C=1/42,D=-1/30, …是著名的伯努利數(shù).

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 羅見今.自然數(shù)冪和公式的發(fā)展[J].高等數(shù)學(xué)研究，2004，7(4)：56-61.

[2] Heath T L. 阿基米德全集. 朱恩寬，李文銘,等譯[M].西安：陜西科學(xué)技術(shù)出版社, 1998.