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    三個(gè)高階伯努利多項(xiàng)式與等冪和多項(xiàng)式的對(duì)稱等式

    2014-03-15 03:29:00
    關(guān)鍵詞:伯努利雅各布關(guān)系式

    伍 鳴

    (金陵科技學(xué)院公共基礎(chǔ)課部,江蘇 南京 211169)

    伯努利數(shù)是18世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利引入的一類數(shù),它在理論上和實(shí)際中都具有重要意義。1713年,雅各布的巨著《猜度術(shù)》出版,是組合數(shù)學(xué)及概率論史的一件大事,書中給出的伯努利數(shù)有很多應(yīng)用。組合數(shù)學(xué)中,伯努利數(shù)與數(shù)列和的計(jì)算有著緊密聯(lián)系,一直被數(shù)學(xué)研究者廣泛研究。不僅如此,伯努利數(shù)在數(shù)論中地位也很重要,它曾被用于費(fèi)馬大定理的論證中。

    近年來(lái),有關(guān)伯努利數(shù)與伯努利多項(xiàng)式卷積表達(dá)式的相關(guān)研究[1-3]越來(lái)越受人們關(guān)注,其中包含等冪和的伯努利數(shù)與伯努利多項(xiàng)式表達(dá)成為了一個(gè)新的亮點(diǎn)。

    1 伯努利數(shù)的基本對(duì)稱等式

    伯努利數(shù)Bn由指數(shù)生成函數(shù)

    (1)

    與此同時(shí),伯努利多項(xiàng)式Bn(x)也由指數(shù)生成函數(shù)

    (2)

    對(duì)任意整數(shù)k≥0,Sk(n)=0k+1k+…+nk被稱為等冪和多項(xiàng)式,Sk(n)與伯努利數(shù)Bn有著如下重要關(guān)系[4]:

    (3)

    (4)

    Deeba、Rodriguez[5]和Gessel[6]分別證明了對(duì)一切正整數(shù)n和a,下述等式成立:

    (5)

    Tuenter[7]發(fā)現(xiàn)了一個(gè)關(guān)于伯努利數(shù)與等冪和多項(xiàng)式的對(duì)稱關(guān)系式,同時(shí)指出等式(5)恰好是這個(gè)對(duì)稱關(guān)系式的特例。這個(gè)對(duì)稱關(guān)系式如下:

    引理1對(duì)任意正整數(shù)a,b以及n≥0,

    (6)

    Yang[8]證明了一個(gè)高階伯努利多項(xiàng)式與等冪和多項(xiàng)式的對(duì)稱關(guān)系式如下:

    引理2對(duì)任意正整數(shù)a,b,m以及n≥0,

    (7)

    2 含冪和多項(xiàng)式的伯努利多項(xiàng)式對(duì)稱式

    定理1對(duì)任意正整數(shù)a,b,c,m,以及n≥0,

    類似于上述方法,同樣有

    以及

    通過(guò)對(duì)比這些展開式中tn/n!的系數(shù),容易得出結(jié)果。 證畢。

    推論1對(duì)任意正整數(shù)a,b,c,以及n≥0,

    證明在定理1中,讓m=1,z=0,即得。 證畢。

    很明顯,等式(6)和(7)恰好是推論1與定理1的特殊情況。

    推論2對(duì)任意正整數(shù)a,b,c,m以及n≥0,

    證明在定理1中,讓x=y=z=0,即得。 證畢。

    定理2對(duì)任意正整數(shù)a,b,c,m以及n≥0,有

    同樣可得

    以及

    比較最后幾個(gè)方程右端中tn/n!的系數(shù),容易得出結(jié)果。 證畢。

    3 結(jié) 語(yǔ)

    本文在Tuenter和Yang工作的基礎(chǔ)上,推廣了一個(gè)關(guān)于伯努利數(shù)與等冪和多項(xiàng)式的對(duì)稱關(guān)系式,獲得了關(guān)于三個(gè)高階伯努利多項(xiàng)式與等冪和多項(xiàng)式的對(duì)稱等式,它將已有的結(jié)果都包含在這一等式中,并且得到了伯努利多項(xiàng)式乘法定理的推廣形式。

    [1] Dilcher K. Sums of Products of Bernoulli numbers[J]. Journal of Number Theory,1996,60:23-41

    [2] Satoh J. Sums of Products of Two q-Bernoulli Numbers[J]. Journal of Number Theory,1999,74:173-180

    [3] Wu M, Pan H. Sums of Products of Bernoulli Numbers of the Second Kind[J].The Fibonacci Quarterly, 2007,45:146-150

    [4] Comtet L.Advanced Combinatories[M].Reidel:Dordrecht,1974

    [5] Deeba E, Rodriguez D. Stirling’s Series and Bernoulli Numbers[J].The American Mathematical Monthly,1991,98:423-426

    [6] Gessel I. Solution to Problem E3237[J].The American Mathematical Monthly,1989,96:364

    [7] Tuenter H J H.A Symmetry of Power Sum Polynomials and Bernoulli Numbers[J].The American Mathematical Monthly, 2001,108:258-261

    [8] Yang S L. An Identity of Symmetry for the Bernoulli Polynomials[J].Discrete Mathematics,2008,308:550-554

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