混合型隨機(jī)變量期望的求法及應(yīng)用

何曉霞， 侯 萱， 李春麗

(武漢科技大學(xué)理學(xué)院，湖北武漢430065)

1 問(wèn)題的提出

計(jì)算隨機(jī)變量函數(shù)的期望是在運(yùn)用期望值進(jìn)行決策時(shí)經(jīng)常碰到的問(wèn)題，在經(jīng)典的概率論教材里都有隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的計(jì)算方法.

定理1.1[1]設(shè)Y是隨機(jī)變量X的函數(shù):Y=g(X)(g是連續(xù)函數(shù)).

(1.1)

(1.2)

該定理為我們提供了一個(gè)計(jì)算隨機(jī)變量函數(shù)的期望的較簡(jiǎn)單的求法,因?yàn)橛?jì)算期望的時(shí)候并不需要求出Y的分布律或者密度函數(shù).運(yùn)用這個(gè)定理,我們來(lái)計(jì)算下面的例子.

例1.1設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間[-π,π]上服從均勻分布，求E[min(|X|,1)].

解X的概率密度函數(shù)為

故

這個(gè)例子之所以能運(yùn)用定理,是因?yàn)?/p>

因此min[|X|,1]是隨機(jī)變量X的連續(xù)函數(shù),符合定理的假設(shè)條件.雖然定理中只需假設(shè)復(fù)合給隨機(jī)變量的函數(shù)g連續(xù)即可,即g(X)是什么類(lèi)型的隨機(jī)變量實(shí)際上并未做任何要求.事實(shí)上,例1.1中的min[|X|,1]是一個(gè)混合型隨機(jī)變量.這是因?yàn)?/p>

P(min[|X|,1]≤x) =1-P(min[|X|,1]>x)=1-P(|X|>x,1>x)

(1.3)

2 混合型隨機(jī)變量期望的一般求法

要找到混合隨機(jī)變量期望的一般求法，首先要將離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量的期望的計(jì)算方法進(jìn)行統(tǒng)一.為此，需要用到Stieltjes積分.若隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，類(lèi)似于連續(xù)型隨機(jī)變量的場(chǎng)合，做分割x0

定義2.1[2]若隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，則定義

(2.1)

為X的數(shù)學(xué)期望.這里要求積分絕對(duì)收斂，否則數(shù)學(xué)期望不存在.

按照上述數(shù)學(xué)期望的定義，則可以根據(jù)Stieltjes積分的定義來(lái)計(jì)算混合型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.一般地，若混合型隨機(jī)變量的分布函數(shù)有可列個(gè)跳躍間斷點(diǎn){xi;i≥1}(這一點(diǎn)是可以做到的，由于分布函數(shù)是單調(diào)的，所以它的間斷點(diǎn)至多可列)，則

(2.2)

其中I為分布函數(shù)F(x)連續(xù)且可導(dǎo)的區(qū)域,f(x)為可導(dǎo)區(qū)域上分布函數(shù)F(x)的導(dǎo)函數(shù).再回到第一節(jié)中的例1.1，由(2.2)式，

所得結(jié)果與運(yùn)用定理計(jì)算的結(jié)果是相同的，為何為出現(xiàn)這樣的結(jié)果？事實(shí)上，(2.1)式可以同時(shí)用來(lái)計(jì)算離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量的積分.用測(cè)度論的語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)期望是特殊的測(cè)度空間——概率空間上的積分.

定義2.2[3]如果概率空間(Ω,I,P)上可測(cè)函數(shù)X的積分存在，則說(shuō)它的數(shù)學(xué)期望存在，并定義X的數(shù)學(xué)期望為

(2.3)

(2.1)和(2.3)是等價(jià)的，文獻(xiàn)[4]對(duì)這兩種定義的等價(jià)性進(jìn)行了詳細(xì)的探討.有了抽象空間中隨機(jī)變量期望的定義，則有如下定理.

定理2.1[3]設(shè)X是概率空間(Ω,I,P)上的隨機(jī)變量，其分布函數(shù)為F, 則對(duì)任何(,B())上的可測(cè)函數(shù)g,g(X)是(Ω,I,P)的可測(cè)函數(shù)，而且只要

之一端有意義，另一端也有意義且等式成立.

3 混合型隨機(jī)變量期望的應(yīng)用

混合型隨機(jī)變量在實(shí)際應(yīng)用中的大量存在的，這里主要討論混合型隨機(jī)變量期望在保險(xiǎn)精算中的應(yīng)用.人們向保險(xiǎn)公司投保來(lái)規(guī)避損失，而保險(xiǎn)公司本身為了規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)，它也可以選擇再保險(xiǎn)公司.目前常見(jiàn)的兩種再保險(xiǎn)方法為比例再保險(xiǎn)和超額損失再保險(xiǎn).所謂超額損失再保險(xiǎn)，即保險(xiǎn)公司和再保險(xiǎn)公司約定一個(gè)值M,若索賠額變量X不超過(guò)M，則損失全部由保險(xiǎn)公司承擔(dān)；若索賠額X超過(guò)M，則超出部分由再保險(xiǎn)公司承擔(dān)，即保險(xiǎn)公司承擔(dān)的索賠額為Y=min(X,M),再保險(xiǎn)公司承擔(dān)的索賠額為Z=max(0,X-M).顯然這兩個(gè)隨機(jī)變量都是混合型的，若索賠額索賠隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F,則

在精算過(guò)程中常常要需要計(jì)算索賠額的各階矩，通過(guò)前述方法即可計(jì)算得

若X服從均值為100的指數(shù)分布，則

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 盛驟，謝式千，潘承毅. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M]. 3版. 北京: 高等教育出版社,2001.

[2] 李賢平. 概率論基礎(chǔ)[M]. 2版. 北京: 高等教育出版社, 1997.

[3] 程士宏. 測(cè)度論與概率論基礎(chǔ)[M]. 北京: 北京大學(xué)出版社，2004.

[4] 何曉霞. 數(shù)學(xué)期望的兩種定義及其等價(jià)性[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué), 2013, 29(3): 91-93.

[5] David C M Dickson. Insurance risk and ruin[M]. Cambridge：Cambridge University Press, 2005.