單調(diào)有界數(shù)列必有極限定理的一個(gè)直接證明及其作用

鄭 權(quán)， 張彩霞， 郭秀暉

(北方工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，北京100144)

實(shí)際上，本文仿照教材[2]和文[8]利用實(shí)數(shù)十進(jìn)制證明確界原理的方法，就能夠直接構(gòu)造性地證明單調(diào)有界定理.由此會(huì)產(chǎn)生如下良好效果：可以解答在高等數(shù)學(xué)的講授和學(xué)習(xí)過程中時(shí)常出現(xiàn)的由沒有證明單調(diào)有界原理所帶來的疑惑，并且以此為立足點(diǎn)易得數(shù)列極限存在性的兩個(gè)重要準(zhǔn)則的等價(jià)關(guān)系：

單調(diào)有界原理?柯西收斂準(zhǔn)則，

從而使得高等數(shù)學(xué)教材和教學(xué)中的數(shù)列極限理論成為自身完備；還可以在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中回顧實(shí)數(shù)的無限小數(shù)表示并發(fā)揚(yáng)構(gòu)造性地證明確界原理的技巧，而且補(bǔ)充展示關(guān)于實(shí)數(shù)系完備性的這個(gè)立足點(diǎn)，進(jìn)一步易見如下的循環(huán)論證：

單調(diào)有界定理?區(qū)間套定理?有限覆蓋定理

?聚點(diǎn)定理?柯西收斂準(zhǔn)則?確界原理?單調(diào)有界定理.

為了以下討論的需要，我們把任一實(shí)數(shù)表示為一個(gè)十進(jìn)制無限小數(shù).只需把有限小數(shù)(包括整數(shù))也表示為無限小數(shù)，規(guī)定：對(duì)于正有限小數(shù)x=a0.a1a2…an，其中ai∈{0,1,…,9}，i=1,2,…,n，an≠0，a0為非負(fù)整數(shù)，記x=a0.a1a2…(an-1)99…9…；對(duì)于正整數(shù)x=a0，記x=(a0-1).99…9…；對(duì)于負(fù)有限小數(shù)(包括負(fù)整數(shù))y，先把-y表示為無限小數(shù)，再在其前加負(fù)號(hào)；對(duì)于數(shù)0，記0=0.00…0….

下面我們就利用實(shí)數(shù)的十進(jìn)制無限小數(shù)表示和極限的定義證明實(shí)數(shù)系中單調(diào)增加有上界的數(shù)列xn必存在極限.當(dāng)數(shù)列xn單調(diào)下降時(shí)，考察{-xn}即可.注意到單位長度作十等分與十進(jìn)制實(shí)數(shù)的度量之間的關(guān)系，我們不難證明如下的引理：

否則，永遠(yuǎn)有點(diǎn)xN落在下一個(gè)子區(qū)間上，但只有10個(gè)子區(qū)間，就導(dǎo)致矛盾.

依此類推，

定理若數(shù)列xn滿足x1≤x2≤…≤xn≤…

綜上，我們給出“單調(diào)有界數(shù)列必有極限”的一個(gè)深刻而簡潔的新證明，并指出該定理在實(shí)數(shù)完備性和數(shù)列極限理論中的基礎(chǔ)作用.這可讓數(shù)學(xué)系的學(xué)生從新視角理解實(shí)數(shù)完備性，讓其它系的學(xué)生快速了解該定理的一種證明，有益于相應(yīng)的學(xué)生更好地理解和運(yùn)用此定理.

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].6版. 北京：高等教育出版社，2007.

[2] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].4版. 北京：高等教育出版社，2010.

[3] 王綿森, 馬知恩.工科數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)[ M].2版. 北京：高等教育出版社，2006.

[4] 倪谷炎, 白敏.關(guān)于Weierstrass定理的證明[J].高等數(shù)學(xué)研究，2009，12 (5)：43-44.

[5] 劉利剛.實(shí)數(shù)系基本定理等價(jià)性的完全互證[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2008，38(24):246-252.

[6] 王嘉謀.單調(diào)有界準(zhǔn)則的新證明[J]. 包頭鋼鐵學(xué)院學(xué)報(bào), 1996，15 (4)：8-10.

[7] 趙振學(xué).單調(diào)有界數(shù)列一定收斂的新證法[J]. 蘭州石化職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào),2002，2 (4)：14.

[8] 杜珣.在“高等數(shù)學(xué)”首堂課上講授實(shí)數(shù)完備性[J].高等數(shù)學(xué)研究，2004，7 (4)：8-9.