求矩陣Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的一種新法

全洪正， 黃小英

(衡陽(yáng)師范學(xué)院南岳學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系，湖南衡陽(yáng)421008)

1 引 言

Jordan標(biāo)準(zhǔn)形不僅在矩陣?yán)碚撋隙以诠こ虘?yīng)用上都是十分重要的.在矩陣方程論，矩陣函數(shù)論，常微分方程，現(xiàn)代控制論以及模式識(shí)別都有著它的應(yīng)用.

Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的求法在國(guó)內(nèi)外已有較完善的研究結(jié)果.例如文獻(xiàn)[1]通過(guò)構(gòu)造λ-矩陣、不變因子及初等因子理論，得到了求矩陣Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的初等因子法；文獻(xiàn)[2]主要討論了不可以對(duì)角化的線性變換的結(jié)構(gòu)，得到了求矩陣Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的空間分解法；文獻(xiàn)[3]參考可逆矩陣的求法提出了求矩陣Jordan標(biāo)準(zhǔn)形及過(guò)渡矩陣的行列互逆初等變換法；文獻(xiàn)[4]通過(guò)求矩陣的特征向量及其循環(huán)向量，從而更快地得出了矩陣的若當(dāng)形，并附帶得出矩陣的演化矩陣.

然而，初等因子法是通過(guò)構(gòu)造λ-矩陣?yán)碚?，利用?矩陣的初等變換方法計(jì)算已知矩陣的不變因子和初等因子，即而得到Jordan標(biāo)準(zhǔn)形，但現(xiàn)有的λ-矩陣初等變換方法對(duì)階數(shù)較高的矩陣計(jì)算非常繁瑣.空間分解法一般是先把空間v分解成φ的不變子空間直和，再在每個(gè)不變子空間里找到一個(gè)適當(dāng)?shù)幕沟貌蛔冏涌臻g中的φ在該基下的矩陣為一個(gè)Jordan矩陣.一般認(rèn)為要通過(guò)空間分解法找到矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形要解決以下兩個(gè)問(wèn)題：第一如何把空間v分解成φ的不變子空間直和？第二如何在每個(gè)不變子空間里找到一個(gè)適當(dāng)?shù)幕?，使得不變子空間中的φ在該基下的矩陣為一個(gè)Jordan矩陣，而要解決這二個(gè)問(wèn)題的難度也非常大.這樣，上述二法一般也只是在理論上說(shuō)明可行，但具體應(yīng)用起來(lái)非常困難.文獻(xiàn)[3]討論了行列互逆初等變換法的本質(zhì)與初等因子法無(wú)異，對(duì)階數(shù)較高的矩陣計(jì)算起來(lái)同樣非常繁瑣.文獻(xiàn)[4]研究的循環(huán)向量法雖對(duì)階數(shù)較高的矩陣計(jì)算不繁瑣，但要通過(guò)解方程去求線性無(wú)關(guān)的特征向量，而高斯消元法對(duì)多元方程的計(jì)算也是通過(guò)矩陣變換來(lái)實(shí)現(xiàn)，則于多元方程的計(jì)算仍很復(fù)雜.

有鑒于此，本文擬先求出矩陣A的特征值λi(i=1,2,…,s)的j次冪初等因子的長(zhǎng)度lij，再利用lij得到矩陣A的不變因子一般式，最后通過(guò)不變因子與初等因子關(guān)系，得到了求矩陣Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的另一方法.

2 預(yù)備知識(shí)

本節(jié)目的是給出與證明一個(gè)計(jì)算矩陣的秩的公式，同時(shí)為了下文討論的方便，引述一些相關(guān)的基本結(jié)論.

設(shè)A∈n×n，則存在可逆矩陣T∈n×n，使

Jordan矩陣與對(duì)角矩陣的差別僅在于它的上對(duì)角線(與主對(duì)角線平行的上面一條對(duì)角線)的元素是1或0，因此它是一個(gè)特殊的上三角矩陣.顯然，Jordan塊本身就是一個(gè)Jordan矩陣.對(duì)角矩陣也是一個(gè)Jordan矩陣，它的每個(gè)Jordan塊是1階的.對(duì)于矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形. 我們要重點(diǎn)解決兩個(gè)方面問(wèn)題：一方面，對(duì)于復(fù)數(shù)域P中任一n階矩陣都有Jordan標(biāo)準(zhǔn)形；另一方面，給出一個(gè)方法，對(duì)任何一個(gè)n階復(fù)數(shù)矩陣A，按照這個(gè)方法可以求得它的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形J.或者更進(jìn)一步，求出一個(gè)n階可逆復(fù)數(shù)矩陣T，使得T-1AT=J.在默認(rèn)第一個(gè)問(wèn)題已成立的情況下，該文嘗試著一種新方法去解決第二個(gè)問(wèn)題.

為了以下討論的方便，我們列出一些基本記號(hào)和已知結(jié)果以便后述定理的證明.

定義2.1設(shè)λi是n階方陣A的一個(gè)特征值.若特征值λi的j次冪初等因子有l(wèi)ij個(gè)，則稱lij為特征值λi相對(duì)于j次冪初等因子的長(zhǎng)度.

定義2.2設(shè)λi是n階方陣A的一個(gè)特征值，若存在最小正整數(shù)m，使得

rank(λiE-A)ri=rank(λiE-A)ri+m

成立，則稱ri為特征值λi的秩指數(shù)，記為ri(A)=ri.

3 主要結(jié)論及證明

在本節(jié)中，我們將給出求矩陣Jordan標(biāo)準(zhǔn)形新方法的一些結(jié)論.

定理3.1對(duì)任意n階方陣A，若特征值λi的j次冪初等因子的長(zhǎng)度為lij，則

lij=rank(λiE-A)j-1-2rank(λiE-A)j+rank(λiE-A)j+1，

其中rank(λiE-A)0=n.

在證明這個(gè)結(jié)論之前，先給出如下引理.

引理3.1設(shè)A為復(fù)數(shù)域上的n階方陣.若λi是A的一個(gè)特征值，則對(duì)任意正整數(shù)m(1≤m≤ri)，有

證因?yàn)锳=T-1JT，T是某可逆矩陣，所以λiE-A=T-1(λiE-J)T,從而(λiE-A)m=T-1(λiE-J)mT.于是rank(λiE-A)m=rank(λiE-J)m.記E(tk)(k=1,2,…,s)為tk階單位矩陣，因?yàn)?/p>

所以

當(dāng)k=i時(shí)，

所以

從而

綜上，根據(jù)m與j的關(guān)系歸納得

定理3.1的證明對(duì)A的任一特征值λi，由引理3.1可知

其中i=1,2,…,s;j=1,2,…,n.所以

因此，

lij=rank(λiE-A)j-1-2rank(λiE-A)j+rank(λiE-A)j+1.

定理3.2設(shè)λi是n階方陣A的一個(gè)特征值.如果特征值λi的秩指數(shù)為ri，相對(duì)于ri-kij次冪初等因子長(zhǎng)度為li,ri-kij，那么

(i) 若0≤kij

dj(λ)=(λ-λ1)r1-k1j(λ-λ2)r2-k2j…(λ-λi)ri-kij…(λ-λs)rs-ksj.

(ii) 若kij=ri且1≤j≤n-(li,ri+li,ri-1+…+li,ri-kij+1)，則A的不變因子為

dj(λ)=(λ-λ1)r1-k1j(λ-λ2)r2-k2j…(λ-λi)ri-kij…(λ-λs)rs-ksj，

其中i=1,2,…,s;j=1,2,…,n;kij∈.

證設(shè)一個(gè)n級(jí)矩陣A的特征值所對(duì)應(yīng)的各次因式及個(gè)數(shù)為已知.在全部的一次因式中將同一個(gè)特征值所對(duì)應(yīng)的一次因式(λ-λi)(i=1,2,…,s)的方冪按降冪排列，而且當(dāng)這些初等因子的個(gè)數(shù)不足n時(shí)，就在后面補(bǔ)上適當(dāng)個(gè)數(shù)的1，使得湊成n個(gè).設(shè)所得的排列為

則dn(λ)=(λ-λ1)r1(λ-λ2)r2…(λ-λs)rs.

其次，由A的初等因子可得

dn(λ) =[(λ-λ1)…(λ-λ1)r1(λ-λ2)…(λ-λs)rs]

=(λ-λ1)r1(λ-λ2)r2…(λ-λs)rs.

如果dn(λ)≠1，那么dn-1(λ)便是初等因子組中去掉dn(λ)的表達(dá)式中出現(xiàn)的初等因子后剩余的初等因子的最小公倍式；又如果dn-1(λ)≠1，那么dn-2(λ)便是初等因子組中去掉dn(λ)和dn-1(λ)的表達(dá)式中出現(xiàn)的初等因子后剩余的初等因子的最小公倍式. 顯然，如此繼續(xù)下去，所剩余的初等因子個(gè)數(shù)不斷減少.因此在有限次之后，必然有某一階不變因子開始為1.于是，我們便可推出如下結(jié)論：

(i) 若0≤kij

dj(λ)=(λ-λ1)r1-k1j(λ-λ2)r2-k2j…(λ-λi)ri-kij…(λ-λs)rs-ksj.

(ii) 若kij=ri且j≤n-(li,ri+li,ri-1+…+li,ri-kij+1)，則A的不變因子為

dj(λ)=(λ-λ1)r1-k1j(λ-λ2)r2-k2j…(λ-λi)ri-kij…(λ-λs)rs-ksj,

其中i=1,2,…,s;j=1,2,…,n;kij∈.

注1 在上述定理3.2的意義下，矩陣A的不變因子dn(λ)可以理解為λE-A的最小多項(xiàng)式的一般情況.因此，如下推論.

推論3.1設(shè)A的特征多項(xiàng)f(λ)=|λE-A|=(λ-λ1)t1(λ-λ2)t2(λ-λ3)t3…(λ-λs)ts,其中λ1,λ2,λ3,…,λs互異，則λE-A的最小多項(xiàng)式為

dn(λ)=(λ-λ1)r1(λ-λ2)r2…(λ-λi)ri…(λ-λs)rs.

(i) 當(dāng)0≤kij

dj(λ)=(λ-λ1)r1-k1j(λ-λ2)r2-k2j…(λ-λi)ri-kij…(λ-λs)rs-ksj；

(ii) 當(dāng)kij=ri且j≤n-(li,ri+li,ri-1+…+li,ri-kij+1)時(shí)，A的不變因子為

dj(λ)=(λ-λ1)r1-k1j(λ-λ2)r2-k2j…(λ-λi)ri-kij…(λ-λs)rs-ksj,

其中i=1,2,…,s;j=1,2,…,n;kij∈，則A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為J.

證由定理3.2可知矩陣A的不變因子一般式為

(i) 當(dāng)0≤kij

dj(λ)=(λ-λ1)r1-k1j(λ-λ2)r2-k2j…(λ-λi)ri-kij…(λ-λs)rs-ksj；

(ii) 當(dāng)kij=ri且j≤n-(li,ri+li,ri-1+…+li,ri-kij+1)時(shí)，A的不變因子為

dj(λ)=(λ-λ1)r1-k1j(λ-λ2)r2-k2j…(λ-λi)ri-kij…(λ-λs)rs-ksj，

其中i=1,2,…,s;j=1,2,…,n;kij∈.顯然對(duì)應(yīng)于ri-kij≥1的那些方冪(λ-λi)ri-kij就是A的全部初等因子,即

(λ-λ1),…,(λ-λ1)r1-k1j,…,(λ-λi)r1,…,(λ-λs)rs,k1j∈[0,r1].

假設(shè)對(duì)任意特征值λi，對(duì)應(yīng)的初等因子為

(λ-λi),…,(λ-λi)k,…,(λ-λi)ri,k∈[0,ri]，

則對(duì)應(yīng)于一個(gè)Jordan塊是

這些Jordan塊構(gòu)成一Jordan標(biāo)準(zhǔn)形

注2 對(duì)矩陣A的某一特征值λi，若其代數(shù)重?cái)?shù)為1，則不需施行以上步驟，它的初等因子就是(λ-λi).

4 方法步驟

根據(jù)以上所述理論，求一個(gè)任意矩陣A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形J的方法如下：

1. 求出A的特征多項(xiàng)式fA(λ)=λE-A；

2. 解方程fA(λ)=0，求出矩陣A的互異特征值λ1,λ2,λ3,…,λs；

3. 對(duì)任意一個(gè)λi，計(jì)算rank(λiE-A)m，直至其不再減少為止，得到特征值λi的秩指數(shù)ri，并依據(jù)定理3.1計(jì)算λj的j次冪初等因子長(zhǎng)度lij；

4. 對(duì)任意一個(gè)λi，首先依據(jù)定理3.2計(jì)算矩陣A的不變因子dj(λ)，然后根據(jù)定理3.3得到矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形.

5 應(yīng)用舉例

解先求出矩陣A的特征多項(xiàng)式

由此求出了A的特征值λ=1,2.下面計(jì)算ri和lij.

當(dāng)λ1=1時(shí),

rank(λ1E-A)=2；

rank(λ1E-A)2=1；

rank(λ1E-A)3=1.

由定義2.2易知r1=2.由定理3.1可得l11=4-2×2+1=1,l12=2-2×1+1=1.

同理可得：當(dāng)λ2=2時(shí),r2=1,l21=1.

綜上，由定理3.2知

d4(λ)=(λ-1)2(λ-2),d3(λ)=λ-1,d2(λ)=d1(λ)=1.

6 結(jié) 論

本文所討論的方法是從rank(λiE-A)出發(fā)，避開λ-矩陣初等變換求得矩陣的不變因子,再利用不變因子與初等因子之間的關(guān)系，求出了矩陣Jordan標(biāo)準(zhǔn)形,這大大減小了計(jì)算難度，程序性強(qiáng)，便于操作.

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系. 高等代數(shù)[M]. 3版. 北京:高等教育出版社, 2003: 273-358.

[2] 丘維聲. 高等代數(shù)[M]. 北京: 高等教育出版社, 1996: 267-303.

[3] 易福俠, 王金林. 矩陣若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)化的一種新方法[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué), 2009，25(3): 164-167.

[4] 席光明. 避開求初等因子化矩陣為若當(dāng)形[J]. 零陵師專學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 1991，13(3): 51-53.

[5] 錢吉林, 李海照. 矩陣及其廣義逆[M]. 武漢: 華中師范大學(xué)出版社, 1988: 273-390.