路面平整度的時間序列模型

王佳秋， 王 葳， 鄧 慧， 馬松林

(1.黑龍江科技大學理學院，哈爾濱150027； 2.哈爾濱工業(yè)大學交通學院，哈爾濱150001)

1 引 言

2 道路基礎描述

2.1 道路等級介紹

道路的形式化表達是分析和研究的基礎，道路描述或者用時域的統(tǒng)計數(shù)字特征——道路不平順均值、方差、時域或時差域的更高階統(tǒng)計量(高階矩)描述，或者用頻域的Fourier頻譜、PSD函數(shù)、譜矩來描述.在我國道路功率頻譜密度(PSD)函數(shù)由冪律函數(shù)形式給出[1],將功率頻譜密度PSD描述轉換成有理函數(shù)形式.定理指出只要平穩(wěn)序列的譜密度是有理函數(shù)形式，則它一定是一個ARMA或AR時間序列模型，這為應用時序方法建立道路模型奠定了理論基礎.

有理函數(shù)功率譜參數(shù)估計不平路面度功率譜的有理函數(shù)形式之一為[2]

(2-1)

式中A為常數(shù)(1/m)；Q為常數(shù)(m)；σ為空間頻率(c/m).

文獻中僅給出了瀝青、水泥及粗糙路面的A,Q數(shù)值，而未給出通用的將路面分為五級的數(shù)值.1987年Robson等人提出了路面不平度功率譜的一種冪函數(shù)公式，該式可轉變成如下形式：

(2-2)

式中Csp為路面不平度系數(shù)(m2/c/m)，σ1為空間頻率下限(值為0.1c/m)，σ2為空間頻率上限(值為2c/m).式(2-1)中的A及Q是常數(shù)，式(2-2)中的Csp由實驗測得.而兩式描述的是同一隨機過程，因此式(2-1)中的常數(shù)可由給定的式(2-2)通過非線性參數(shù)估計的方法確定，其模型為

(2-3)

式中c1,c2為常數(shù)，m為所取空間頻率σ的個數(shù).

公式(2-3)構成典型的非線性約束最優(yōu)化問題，一些通用軟件可用于該問題的求解，優(yōu)化結果列于表2-1中.

表 2-1 參數(shù)估計值

上述主要將功率頻譜密度描述轉換成有理函數(shù)形式，介紹關于道路級別的評定方法.這里只介紹了五個級別路面的相關數(shù)值，為后文給出一維路面高度數(shù)據(jù)并且評定其路面等級提供參考.

3 非標準道路時序模型

已知測量道路數(shù)據(jù)序列即道路樣本{xi}且足夠長,建立模型的過程如下：

3.1 對測量數(shù)據(jù)序列進行預處理

包括剔除異常值，數(shù)據(jù)平滑化，非平穩(wěn)序列經(jīng)一次或多次差商(差分)后的平穩(wěn)化，非零均值序列的零均值化等.

抽取某醫(yī)院在接收的患有2型糖尿病的晚期非小細胞肺癌的患者，共136例，且所選的所有患者均符合國際通用的糖尿病和非小細胞肺癌的診斷標準，將這些患者平均且隨機的分為兩組，即對照組和試驗組，每組68例。其中，試驗組患者包括男性病患34例，女性患者 34 例，年齡38～74 歲，平均(54.8±12.4)歲；對照組包括男性患者33例，女性患者35例，年齡39～76歲，平均(55.3±13.1)歲。對兩組的一般資料統(tǒng)計學處理，結果發(fā)現(xiàn)差異無統(tǒng)計學意義（P＞0.05），具有可比性。

3.2 模型識別和定階

3.3 確定模型參數(shù)和檢驗模型適用性

對AR模型前已確定階次,故容易得到模型參數(shù)的估計值.常用的估計模型參數(shù)的方法有矩方法、最小二乘法和極大似然法.當樣本滿足正態(tài)分布且足夠長時，采用最小二乘法估計參數(shù)可得到與采用極大似然法基本一致的結果，最小二乘法就是使得殘差平方和達到最小條件下所得到的對未知參數(shù)的估計值.由于時序模型的譜密度僅依賴于有限參數(shù)——自回歸系數(shù)、滑動平均系數(shù)及輸入白噪聲的方差，因此可以通過對時序模型的譜估計轉化得到對模型參數(shù)的估計，而其中參數(shù)化的譜估計以最大熵譜估計方法為代表，與AR模型的線性自回歸不同，ARMA模型的回歸是非線性的，不能用最小二乘法估計出模型的參數(shù)，而需用非線性最小二乘法——泰勒級數(shù)展開線性化或廣義最小二乘法，其計算過程復雜、計算量很大.常用矩方法估計ARMA模型參數(shù)，也可用二級最小二乘法估計模型參數(shù)，即首先導出一足夠高階的AR模型，然后利用AR模型估計ARMA模型的輸入輸出互相關特性并進而確定其參數(shù).

進行模型適用性檢驗，時序方法中發(fā)展了一系列的準則以檢驗模型的適用性，這些準則主要有：白噪聲檢驗準則，殘差平方和檢驗準則.適用性檢驗對于時序模型而言，實質上就是模型定階，尤其對ARMA模型，可以稱這些準則為定階準則.如果模型通過了適用性檢驗則模型是正確的，且具有所需的模擬精度，該模型能被外推用于道路數(shù)據(jù)庫模型中.

4 道路平整度實例分析

4.1 數(shù)據(jù)的采集

本文所用到的數(shù)據(jù)是由道路綜合檢測車對實際路段測得.該設備是由哈爾濱工業(yè)大學交通學院侯相深，馬松林，王華等人自行開發(fā)設計，是采用電腦自動化檢測技術、以測距傳感器和定位傳感器為工具的多點車轍測量儀，可通過USB接口的傳輸線將采集的數(shù)據(jù)存入在檢測車上的便攜式處理器，進行數(shù)據(jù)處理.檢測車由16個傳感器組成，可以同時測量一個行車道斷面的16個點，并且可以連續(xù)密集的采集路面表面的數(shù)據(jù).經(jīng)室內(nèi)標定，該儀器的測量相對誤差均在1%以下，如表4-1所示，完全可以滿足工程要求[3].

表 4-1 標定的相對誤差(%)

本文所采用的數(shù)據(jù)是道路綜合所得，橫向一共有16個測點，每點間隔0.2米，截取其中50米路段的數(shù)據(jù)進行實際建模.采集的車轍數(shù)據(jù)經(jīng)去除抖動處理后，本文只研究一維數(shù)據(jù)，一共250個數(shù)據(jù).見表4-2.

表4-2 路面高度數(shù)據(jù)(mm)

圖1 路面高程度 圖2 零均值化序列的自相關函數(shù)

4.2 數(shù)據(jù)的處理

由于時間序列模型建立在嚴密的統(tǒng)計學理論基礎之上，因此對樣本的容量、樣本的性質有一定的要求.首先，它要求樣本容量最好要50個以上只有這樣才使得后模型診斷與檢驗有意義；其次，它要求樣本時間序列必須是一個平穩(wěn)過程.

選擇的樣本Xt除了滿足上述兩個條件以外還要要滿足使用近期的數(shù)據(jù)這樣對以后路面研究的實用性更強.本文的樣本選取長度為50米.由于檢測車每隔0.2米一測，所以一共250個數(shù)據(jù)點，顯然，該序列為隨機時間序列，其容量滿足條件要求.用Matlab軟件畫出該序列的趨勢圖，如圖1所示.通過對時序圖的趨勢觀察，發(fā)現(xiàn)該時間序列不滿足平穩(wěn)性的條件，由此可見該隨機過程為非平穩(wěn)的時間序列.

4.3 平穩(wěn)性的檢驗

由時間序列圖可以看出有明顯的趨勢性，需要將時間序列平穩(wěn)化.在前面已經(jīng)給出了平穩(wěn)化的方法中較有效地方法是采用差分法，若一次差分后序列還不滿足平穩(wěn)性條件，可以進行二次差分，直到得到的序列是平穩(wěn)的時間序列為止.

首先進行一步差分，其差分的格式為

ΔXk=Xk+1-Xk,k=1,2,…,95.

記

Yk=ΔXk,k=1,2,…,95,

可得一次差分后的時間序列.再對一階差分后的數(shù)據(jù)進行零均值化.

采用自相關系數(shù)圖檢驗法[4].如果差分后所得的平穩(wěn)時間序列為白噪聲時間序列，那么該序列的自相關系數(shù)將近似服從均值為零,所以可給出置信度為95%的置信區(qū)間.若在該區(qū)間內(nèi)則說明樣本間存在相關性，即可得出該序列并非白噪聲序列.

樣本自協(xié)方差函數(shù)為

樣本自相關函數(shù)

表4-3 零均值化后的自相關系數(shù)

可利用計算出的數(shù)據(jù)畫出差分前后的自相關函數(shù)圖檢驗序列的平穩(wěn)性.如圖2.

5 道路平整模型分析

5.1 模型的識別和估計

對模型的識別，我們一般通過考察平穩(wěn)時間序列的自相關和偏自相關系數(shù)的性質來進行模型的選擇.通常根據(jù)差分后自相關函數(shù)圖，很難確定自相關系數(shù)的趨勢，為此還需進一步觀察樣本偏相關系數(shù)的性態(tài).利用Matlab軟件求出差分后樣本偏相關系數(shù)的數(shù)據(jù)如表5-1所示.

表5-1 零均值化后的偏相關系數(shù)

一般而言，如果自相關系數(shù)表現(xiàn)出拖尾而偏自相關系數(shù)表現(xiàn)出p階截尾，則選擇AR(p)模型;如果自相關系數(shù)表現(xiàn)出q階截尾而偏自相關系數(shù)表現(xiàn)出拖尾，則選擇MA(q)模型;如果自相關系數(shù)和偏自相關系數(shù)均表現(xiàn)出拖尾，則選擇ARMA(p,q)模型.所謂偏相關函數(shù)φkk截尾，指

即φkk在k等于p時不為0，在p以后都等于0，圖像像截斷了尾巴一樣，而且尾巴截斷在k=p的地方.

我們再用AIC和BIC準則來確定模型的階數(shù)[5],其中

當樣本長度為N，p,q達到某一對數(shù)值時，AIC達到最小，此時的p,q為最佳的模型階數(shù).

本文應用EVIEWS軟件運行，可以得出ARMA(2,0)即AR(2)的AIC值最小，所以該模型為最佳擬合模型.

自相關圖像是拖尾的，偏相關圖像是結尾的，所以應該用AR(P)模型.p由偏相關函數(shù)來確定，

YT=φ1YT-1+φ2YT-2+εT.

通過EVIEWS軟件進行極大似然估計估計模型參數(shù)，求得

φ1=0.434968，φ2=-0.221342，

計算可得最終線型模型為

YT=0.434968YT-1-0.221342YT-2+εT.

回代YT=ΔXT=XT+1-XT得到原時間序列的的線型為

XT+1-XT=0.434968(XT-XT-1)-0.221342(XT-1-XT-2)+εT.

整理得

XT+1=1.434968XT-0.656310XT-1+0.221342XT-2+εT.

5.2 模型的殘差檢驗

參數(shù)估計后，我們對模型的殘差序列進行白噪聲檢驗，若殘差序列不是白噪聲序列，需要進一步改進模型；如果殘差序列的樣本自相關系數(shù)都落入隨機區(qū)間內(nèi)，即沒有任何自相關個別的在統(tǒng)計上顯著，那么可以說殘差序列是純隨機的[6].對AR2進行檢驗得到圖3，可以看出殘差序列的樣本自相關系偏相關系數(shù)數(shù)都落在正負0.2隨機區(qū)間內(nèi)，因此該模型是合適的.

圖3 殘差分析

5.3 預測、檢驗和評價

以251個數(shù)據(jù)的最后三個數(shù)據(jù)-13.07,-10.4,-7.87為初始數(shù)據(jù)帶入模型

XT+1=1.434968XT-0.656310XT-1+0.221342XT-2+εT.

對后三個數(shù)據(jù)進行外推，外推數(shù)據(jù)如下表并且列出了真實值，計算出絕對誤差和相對誤差.結果見表5-2.

表5-2 外推結果

從模型的預測數(shù)據(jù)可得出最大相對誤差為0.9956%，最大絕對誤差為0.134.本文參考數(shù)據(jù)是道路實測路面高度，經(jīng)過計算得出該數(shù)據(jù)為非標準道路路面數(shù)據(jù)，模型的預測精度比較高.

[參 考 文 獻]

[1] 檀潤華,陳鷹,路甬祥.路面對汽車激勵的時域模型建立及計算機仿真[J].中國公路學報,1998,11(3):96-102.

[2] 謝偉東,王磊.隨機信號在路面不平度仿真中的應用[J].振動測試與診斷,2005,25(2):126-130.

[3] 姚金斌,李志林.股市預測的一個隨機時間序列模型及其實證[J].吉首大學學報，2008,5(2):1-3.

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[5] 黃建洪,陳志偉,傅戈雁.時間序列預測模型的建模方法與應用[J].機械制造，2007,11(5):1-2.

[6] 侯相深.車轍儀的開發(fā)要點[J].哈爾濱工業(yè)大學學報,2004:1-3.