智性數(shù)學(xué)課堂中的“悟點(diǎn)”初探

高巧萍

摘 要：智性是數(shù)學(xué)課堂的特點(diǎn)，教師應(yīng)深入挖掘數(shù)學(xué)教學(xué)資源中的“悟點(diǎn)”，有針對性地精心設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容以啟發(fā)學(xué)生思考，激發(fā)學(xué)生求真，潤澤學(xué)生心靈，從而達(dá)到知識(shí)與智慧共生，能力與思想同步提升的美好境界。

關(guān)鍵詞：智性課堂；數(shù)學(xué)教學(xué)；悟點(diǎn)

所謂“智性”，即人們有意識(shí)地運(yùn)用自身的智慧，客觀、科學(xué)地認(rèn)識(shí)事物、解決問題的一種特性。在眾多學(xué)科中，數(shù)學(xué)在這一點(diǎn)上體現(xiàn)得尤為明顯。所謂“悟點(diǎn)”，是指教學(xué)過程中最能使學(xué)生領(lǐng)悟師者欲授其道之“道”的關(guān)鍵所在，是學(xué)生融入課堂、感悟知識(shí)本真的觸點(diǎn)，是教師啟發(fā)點(diǎn)撥之指點(diǎn)。教學(xué)需要智慧，師者要做的就是深入挖掘數(shù)學(xué)教學(xué)資源中的“悟點(diǎn)”，找到“悟徑”，進(jìn)行個(gè)性化的智性設(shè)計(jì)，抓住教學(xué)時(shí)機(jī)，啟迪學(xué)生智慧，構(gòu)建智性課堂，以達(dá)到知識(shí)與智慧共生，能力與思想同步的美好境界。

下面略舉幾例，以期拋磚引玉。

一、歷史中悟“源”，活水涓涓

我國著名數(shù)學(xué)家吳文俊曾說過：“假如你對一個(gè)知識(shí)領(lǐng)域的發(fā)生和發(fā)展，對一個(gè)概念的來龍去脈，對一種重要思想的產(chǎn)生和影響等許多因素都弄清楚了，我想對數(shù)學(xué)就會(huì)了解得多，對數(shù)學(xué)的現(xiàn)狀就會(huì)知道得更清楚、更深刻，還會(huì)對數(shù)學(xué)的未來起一定的指導(dǎo)作用。”

如在勾股定理的欣賞教學(xué)中，在引導(dǎo)學(xué)生從歷史、人文等角度對勾股定理進(jìn)行欣賞后，可再從研究的角度對學(xué)生的心靈進(jìn)行撞擊。據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，我國早在11世紀(jì)就已知道邊長為3、4、5的三角形是直角三角形，3、4、5也稱為勾股數(shù)組，這時(shí)可問學(xué)生還有哪些勾股數(shù)組呢？引導(dǎo)學(xué)生意識(shí)到其實(shí)就是尋找不定方程x2+y2=z2的正整數(shù)解。（當(dāng)然解決過程并不容易，激發(fā)出學(xué)生的問題意識(shí)即可）《九章算術(shù)》中曾提到5、12、13，6、8、10，8、15、17，7、24、25，20、21、29等都是勾股數(shù)組。對于勾股數(shù)組的研究，自然會(huì)引起這樣的一個(gè)問題：當(dāng)正整數(shù)指數(shù)n>2時(shí)，有沒有正整數(shù)x、y、z滿足方程xn+yn=zn？（這個(gè)問題若能引導(dǎo)學(xué)生提出，那簡直太精彩了！）大數(shù)學(xué)家費(fèi)馬認(rèn)為沒有，這就是著名的“費(fèi)馬大定理”。費(fèi)馬曾在丟番都的著作《算術(shù)》拉丁文譯本的空白處提出這個(gè)問題，可惜地方太小，未能寫下他美妙的證明。在此后的三百多年間，無數(shù)的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛好者想要給出證明，但都不夠完美。法國科學(xué)院和德國哥廷根皇家科學(xué)會(huì)幾次重金懸賞向全世界征集答案，期限100年。這極大地刺激了人們解決費(fèi)馬問題的決心。為了攻克這一難題，數(shù)以萬計(jì)的學(xué)者引進(jìn)新概念、新方法、新理論，大大擴(kuò)寬了數(shù)學(xué)領(lǐng)域，加速了數(shù)學(xué)的發(fā)展。傳說希爾伯特知道解決問題的辦法，但他不肯宣布，有人問他為什么不公布答案以贏取豐厚的獎(jiǎng)金，他說：“干嘛要?dú)⑺酪恢粫?huì)下金蛋的鵝呢？”1995年5月，英國數(shù)學(xué)家懷爾斯在權(quán)威刊物《數(shù)學(xué)年刊》上以整期的篇幅發(fā)表了證明，被認(rèn)為是20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)成就之一。

通過歷史故事學(xué)生可以體悟到，播下一個(gè)問題，就會(huì)長成一片知識(shí)森林?；赝麣v史源頭，科學(xué)之泉長流不息。

二、概念中悟“本”，根深葉茂

正確理解概念是掌握知識(shí)的前提，是解題的關(guān)鍵，是培養(yǎng)學(xué)生思維的必要條件。概念是對客觀事物本質(zhì)屬性的概括和反映。要正確理解某一概念，就必須抓住概念的本質(zhì)，把本質(zhì)屬性向?qū)W生講清楚。讓學(xué)生在本質(zhì)屬性所反映的全體對象這一“悟點(diǎn)”上去悟，切忌死記硬背，胡搬亂套。

比如在對二倍角公式的分析中，應(yīng)讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到“二倍”并不是特指“2α”與“α”這樣的形式，諸如“4α”與“2α”、“α”與“[α2]”等也都是二倍的關(guān)系，同樣適用二倍角公式。再如在《函數(shù)的單調(diào)性》第1課時(shí)的教學(xué)部分，應(yīng)讓學(xué)生緊緊抓住單調(diào)性的形式化定義所蘊(yùn)涵的關(guān)鍵本質(zhì)，在概念形成后，拋出問題：①若函數(shù)f（x）滿足f（-2）

三、解題中悟“識(shí)”，觀念先行

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，題山題海，若不能解決一個(gè)觀念意識(shí)問題，做再多題也枉然。

所謂解題未動(dòng)，觀念先行，就是強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想方法、觀念的重要性。清袁枚在《隨園詩話》中指出：“學(xué)如弓弩，才如箭鏃，識(shí)以領(lǐng)之，方能中鵠?！薄皩W(xué)”即知識(shí)，“才”即智能，“識(shí)”即觀念，袁枚形象地指出了這三者之間的關(guān)系。數(shù)學(xué)觀念是什么？是指人們對數(shù)學(xué)的基本看法和概括認(rèn)識(shí)。當(dāng)然，這不是一朝一夕所能形成的，需要學(xué)生在教師的引導(dǎo)下通過一定時(shí)期的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)歷而慢慢積累。因此教師在平時(shí)的教學(xué)活動(dòng)中應(yīng)高屋建瓴，有意識(shí)地向?qū)W生滲透一些數(shù)學(xué)思想、方法和觀念，比如簡化意識(shí)、分類意識(shí)、整體意識(shí)、運(yùn)動(dòng)變化意識(shí)、數(shù)形結(jié)合意識(shí)、化歸意識(shí)、審美意識(shí)等。

在函數(shù)的應(yīng)用教學(xué)部分，有這樣一個(gè)典型問題：已知關(guān)于x的不等式[x]>ax+[23]的解集為{x|b

可以看出，A，B兩點(diǎn)間的部分滿足要求。由題意可知點(diǎn)A和B的橫坐標(biāo)分別是b和4，可設(shè)點(diǎn)A（4，y1），點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足方程y=[x]，因而點(diǎn)A（4，2），又點(diǎn)A也在直線上，因而坐標(biāo)也滿足方程y=ax+[23]，可得a=[13]。再解方程[x]=[13]x+[23]得兩根1和4，因此b=1。

通過此題，學(xué)生領(lǐng)悟到利用數(shù)學(xué)思想可以使問題化難為易。經(jīng)過一段時(shí)間有意識(shí)的不同思想方法的經(jīng)常性訓(xùn)練，可達(dá)到使學(xué)生從模仿到自覺運(yùn)用的教學(xué)目標(biāo)。

四、變式中悟“法”，變不離宗

《中國教育百科全書》說：“變式——掌握概念的方法之一。從各個(gè)不同的角度抓住事物的主要特殊屬性，概括出事物一般屬性的思維方式?！弊兪浇虒W(xué)種類雖多，最常用的還是“非本質(zhì)屬性變式”，即保持問題的本質(zhì)方面不變，只在非本質(zhì)方面做出變化，雖萬變而不離其宗。一線教師使用較多的有“多題一法”，也就是包含不同知識(shí)點(diǎn)的問題使用同一解題方法去解決。這里我們要讓學(xué)生學(xué)會(huì)抓住變式中的“法”去悟，這里的“法”僅指具體的解題方法，而不是一般的數(shù)學(xué)思想方法。

例如我們可以設(shè)置這樣的題組：

（1）當(dāng)t為何實(shí)數(shù)時(shí)，方程x2+（t-1）x+4=0無實(shí)數(shù)根？

（2）當(dāng)t為何實(shí)數(shù)時(shí)，函數(shù)f（x）=x2+（t-1）x+4的圖像與x軸沒有交點(diǎn)？

（3）當(dāng)t為何實(shí)數(shù)時(shí)，關(guān)于x的不等式x2+（t-1）x+4≤0的解集是空集？

（4）當(dāng)t為何實(shí)數(shù)時(shí)，拋物線f（x）=x2+4與直線f（x）=-（t-1）x不相交？

（5）當(dāng)t為何實(shí)數(shù)時(shí)，關(guān)于x的二次三項(xiàng)式x2+（t-1）x+4不能表示為兩個(gè)一次因式的積？

一個(gè)問題，如果孤立、靜止地去看它，再好也只解決了一個(gè)問題而已。上面這五個(gè)問題涉及二次方程、二次函數(shù)、二次不等式、解析幾何以及二次三項(xiàng)式的因式分解方面的問題，如果用“判別式”把它們貫穿在一起，作為一個(gè)解題組進(jìn)行教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生去悟，去透過問題表面形式的差異，就可看到它們之間本質(zhì)的聯(lián)系。這樣不僅可以高效利用教材資源，減輕學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)，而且可以增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心和興趣，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力。

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1]張念宏.中國教育百科全書[M].北京：海洋出版社，1991.

[2]單墫.數(shù)學(xué)：人的教育不可缺的內(nèi)容[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教育學(xué)，2000（10）.

（責(zé)任編輯：張華偉）

摘 要：智性是數(shù)學(xué)課堂的特點(diǎn)，教師應(yīng)深入挖掘數(shù)學(xué)教學(xué)資源中的“悟點(diǎn)”，有針對性地精心設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容以啟發(fā)學(xué)生思考，激發(fā)學(xué)生求真，潤澤學(xué)生心靈，從而達(dá)到知識(shí)與智慧共生，能力與思想同步提升的美好境界。

關(guān)鍵詞：智性課堂；數(shù)學(xué)教學(xué)；悟點(diǎn)

所謂“智性”，即人們有意識(shí)地運(yùn)用自身的智慧，客觀、科學(xué)地認(rèn)識(shí)事物、解決問題的一種特性。在眾多學(xué)科中，數(shù)學(xué)在這一點(diǎn)上體現(xiàn)得尤為明顯。所謂“悟點(diǎn)”，是指教學(xué)過程中最能使學(xué)生領(lǐng)悟師者欲授其道之“道”的關(guān)鍵所在，是學(xué)生融入課堂、感悟知識(shí)本真的觸點(diǎn)，是教師啟發(fā)點(diǎn)撥之指點(diǎn)。教學(xué)需要智慧，師者要做的就是深入挖掘數(shù)學(xué)教學(xué)資源中的“悟點(diǎn)”，找到“悟徑”，進(jìn)行個(gè)性化的智性設(shè)計(jì)，抓住教學(xué)時(shí)機(jī)，啟迪學(xué)生智慧，構(gòu)建智性課堂，以達(dá)到知識(shí)與智慧共生，能力與思想同步的美好境界。

下面略舉幾例，以期拋磚引玉。

一、歷史中悟“源”，活水涓涓

我國著名數(shù)學(xué)家吳文俊曾說過：“假如你對一個(gè)知識(shí)領(lǐng)域的發(fā)生和發(fā)展，對一個(gè)概念的來龍去脈，對一種重要思想的產(chǎn)生和影響等許多因素都弄清楚了，我想對數(shù)學(xué)就會(huì)了解得多，對數(shù)學(xué)的現(xiàn)狀就會(huì)知道得更清楚、更深刻，還會(huì)對數(shù)學(xué)的未來起一定的指導(dǎo)作用?！?/p>

如在勾股定理的欣賞教學(xué)中，在引導(dǎo)學(xué)生從歷史、人文等角度對勾股定理進(jìn)行欣賞后，可再從研究的角度對學(xué)生的心靈進(jìn)行撞擊。據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，我國早在11世紀(jì)就已知道邊長為3、4、5的三角形是直角三角形，3、4、5也稱為勾股數(shù)組，這時(shí)可問學(xué)生還有哪些勾股數(shù)組呢？引導(dǎo)學(xué)生意識(shí)到其實(shí)就是尋找不定方程x2+y2=z2的正整數(shù)解。（當(dāng)然解決過程并不容易，激發(fā)出學(xué)生的問題意識(shí)即可）《九章算術(shù)》中曾提到5、12、13，6、8、10，8、15、17，7、24、25，20、21、29等都是勾股數(shù)組。對于勾股數(shù)組的研究，自然會(huì)引起這樣的一個(gè)問題：當(dāng)正整數(shù)指數(shù)n>2時(shí)，有沒有正整數(shù)x、y、z滿足方程xn+yn=zn？（這個(gè)問題若能引導(dǎo)學(xué)生提出，那簡直太精彩了！）大數(shù)學(xué)家費(fèi)馬認(rèn)為沒有，這就是著名的“費(fèi)馬大定理”。費(fèi)馬曾在丟番都的著作《算術(shù)》拉丁文譯本的空白處提出這個(gè)問題，可惜地方太小，未能寫下他美妙的證明。在此后的三百多年間，無數(shù)的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛好者想要給出證明，但都不夠完美。法國科學(xué)院和德國哥廷根皇家科學(xué)會(huì)幾次重金懸賞向全世界征集答案，期限100年。這極大地刺激了人們解決費(fèi)馬問題的決心。為了攻克這一難題，數(shù)以萬計(jì)的學(xué)者引進(jìn)新概念、新方法、新理論，大大擴(kuò)寬了數(shù)學(xué)領(lǐng)域，加速了數(shù)學(xué)的發(fā)展。傳說希爾伯特知道解決問題的辦法，但他不肯宣布，有人問他為什么不公布答案以贏取豐厚的獎(jiǎng)金，他說：“干嘛要?dú)⑺酪恢粫?huì)下金蛋的鵝呢？”1995年5月，英國數(shù)學(xué)家懷爾斯在權(quán)威刊物《數(shù)學(xué)年刊》上以整期的篇幅發(fā)表了證明，被認(rèn)為是20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)成就之一。

通過歷史故事學(xué)生可以體悟到，播下一個(gè)問題，就會(huì)長成一片知識(shí)森林。回望歷史源頭，科學(xué)之泉長流不息。

二、概念中悟“本”，根深葉茂

正確理解概念是掌握知識(shí)的前提，是解題的關(guān)鍵，是培養(yǎng)學(xué)生思維的必要條件。概念是對客觀事物本質(zhì)屬性的概括和反映。要正確理解某一概念，就必須抓住概念的本質(zhì)，把本質(zhì)屬性向?qū)W生講清楚。讓學(xué)生在本質(zhì)屬性所反映的全體對象這一“悟點(diǎn)”上去悟，切忌死記硬背，胡搬亂套。

比如在對二倍角公式的分析中，應(yīng)讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到“二倍”并不是特指“2α”與“α”這樣的形式，諸如“4α”與“2α”、“α”與“[α2]”等也都是二倍的關(guān)系，同樣適用二倍角公式。再如在《函數(shù)的單調(diào)性》第1課時(shí)的教學(xué)部分，應(yīng)讓學(xué)生緊緊抓住單調(diào)性的形式化定義所蘊(yùn)涵的關(guān)鍵本質(zhì)，在概念形成后，拋出問題：①若函數(shù)f（x）滿足f（-2）

三、解題中悟“識(shí)”，觀念先行

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，題山題海，若不能解決一個(gè)觀念意識(shí)問題，做再多題也枉然。

所謂解題未動(dòng)，觀念先行，就是強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想方法、觀念的重要性。清袁枚在《隨園詩話》中指出：“學(xué)如弓弩，才如箭鏃，識(shí)以領(lǐng)之，方能中鵠。”“學(xué)”即知識(shí)，“才”即智能，“識(shí)”即觀念，袁枚形象地指出了這三者之間的關(guān)系。數(shù)學(xué)觀念是什么？是指人們對數(shù)學(xué)的基本看法和概括認(rèn)識(shí)。當(dāng)然，這不是一朝一夕所能形成的，需要學(xué)生在教師的引導(dǎo)下通過一定時(shí)期的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)歷而慢慢積累。因此教師在平時(shí)的教學(xué)活動(dòng)中應(yīng)高屋建瓴，有意識(shí)地向?qū)W生滲透一些數(shù)學(xué)思想、方法和觀念，比如簡化意識(shí)、分類意識(shí)、整體意識(shí)、運(yùn)動(dòng)變化意識(shí)、數(shù)形結(jié)合意識(shí)、化歸意識(shí)、審美意識(shí)等。

在函數(shù)的應(yīng)用教學(xué)部分，有這樣一個(gè)典型問題：已知關(guān)于x的不等式[x]>ax+[23]的解集為{x|b

可以看出，A，B兩點(diǎn)間的部分滿足要求。由題意可知點(diǎn)A和B的橫坐標(biāo)分別是b和4，可設(shè)點(diǎn)A（4，y1），點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足方程y=[x]，因而點(diǎn)A（4，2），又點(diǎn)A也在直線上，因而坐標(biāo)也滿足方程y=ax+[23]，可得a=[13]。再解方程[x]=[13]x+[23]得兩根1和4，因此b=1。

通過此題，學(xué)生領(lǐng)悟到利用數(shù)學(xué)思想可以使問題化難為易。經(jīng)過一段時(shí)間有意識(shí)的不同思想方法的經(jīng)常性訓(xùn)練，可達(dá)到使學(xué)生從模仿到自覺運(yùn)用的教學(xué)目標(biāo)。

四、變式中悟“法”，變不離宗

《中國教育百科全書》說：“變式——掌握概念的方法之一。從各個(gè)不同的角度抓住事物的主要特殊屬性，概括出事物一般屬性的思維方式?！弊兪浇虒W(xué)種類雖多，最常用的還是“非本質(zhì)屬性變式”，即保持問題的本質(zhì)方面不變，只在非本質(zhì)方面做出變化，雖萬變而不離其宗。一線教師使用較多的有“多題一法”，也就是包含不同知識(shí)點(diǎn)的問題使用同一解題方法去解決。這里我們要讓學(xué)生學(xué)會(huì)抓住變式中的“法”去悟，這里的“法”僅指具體的解題方法，而不是一般的數(shù)學(xué)思想方法。

例如我們可以設(shè)置這樣的題組：

（1）當(dāng)t為何實(shí)數(shù)時(shí)，方程x2+（t-1）x+4=0無實(shí)數(shù)根？

（2）當(dāng)t為何實(shí)數(shù)時(shí)，函數(shù)f（x）=x2+（t-1）x+4的圖像與x軸沒有交點(diǎn)？

（3）當(dāng)t為何實(shí)數(shù)時(shí)，關(guān)于x的不等式x2+（t-1）x+4≤0的解集是空集？

（4）當(dāng)t為何實(shí)數(shù)時(shí)，拋物線f（x）=x2+4與直線f（x）=-（t-1）x不相交？

（5）當(dāng)t為何實(shí)數(shù)時(shí)，關(guān)于x的二次三項(xiàng)式x2+（t-1）x+4不能表示為兩個(gè)一次因式的積？

一個(gè)問題，如果孤立、靜止地去看它，再好也只解決了一個(gè)問題而已。上面這五個(gè)問題涉及二次方程、二次函數(shù)、二次不等式、解析幾何以及二次三項(xiàng)式的因式分解方面的問題，如果用“判別式”把它們貫穿在一起，作為一個(gè)解題組進(jìn)行教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生去悟，去透過問題表面形式的差異，就可看到它們之間本質(zhì)的聯(lián)系。這樣不僅可以高效利用教材資源，減輕學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)，而且可以增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心和興趣，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力。

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1]張念宏.中國教育百科全書[M].北京：海洋出版社，1991.

[2]單墫.數(shù)學(xué)：人的教育不可缺的內(nèi)容[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教育學(xué)，2000（10）.

（責(zé)任編輯：張華偉）

摘 要：智性是數(shù)學(xué)課堂的特點(diǎn)，教師應(yīng)深入挖掘數(shù)學(xué)教學(xué)資源中的“悟點(diǎn)”，有針對性地精心設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容以啟發(fā)學(xué)生思考，激發(fā)學(xué)生求真，潤澤學(xué)生心靈，從而達(dá)到知識(shí)與智慧共生，能力與思想同步提升的美好境界。

關(guān)鍵詞：智性課堂；數(shù)學(xué)教學(xué)；悟點(diǎn)

所謂“智性”，即人們有意識(shí)地運(yùn)用自身的智慧，客觀、科學(xué)地認(rèn)識(shí)事物、解決問題的一種特性。在眾多學(xué)科中，數(shù)學(xué)在這一點(diǎn)上體現(xiàn)得尤為明顯。所謂“悟點(diǎn)”，是指教學(xué)過程中最能使學(xué)生領(lǐng)悟師者欲授其道之“道”的關(guān)鍵所在，是學(xué)生融入課堂、感悟知識(shí)本真的觸點(diǎn)，是教師啟發(fā)點(diǎn)撥之指點(diǎn)。教學(xué)需要智慧，師者要做的就是深入挖掘數(shù)學(xué)教學(xué)資源中的“悟點(diǎn)”，找到“悟徑”，進(jìn)行個(gè)性化的智性設(shè)計(jì)，抓住教學(xué)時(shí)機(jī)，啟迪學(xué)生智慧，構(gòu)建智性課堂，以達(dá)到知識(shí)與智慧共生，能力與思想同步的美好境界。

下面略舉幾例，以期拋磚引玉。

一、歷史中悟“源”，活水涓涓

我國著名數(shù)學(xué)家吳文俊曾說過：“假如你對一個(gè)知識(shí)領(lǐng)域的發(fā)生和發(fā)展，對一個(gè)概念的來龍去脈，對一種重要思想的產(chǎn)生和影響等許多因素都弄清楚了，我想對數(shù)學(xué)就會(huì)了解得多，對數(shù)學(xué)的現(xiàn)狀就會(huì)知道得更清楚、更深刻，還會(huì)對數(shù)學(xué)的未來起一定的指導(dǎo)作用?！?/p>

如在勾股定理的欣賞教學(xué)中，在引導(dǎo)學(xué)生從歷史、人文等角度對勾股定理進(jìn)行欣賞后，可再從研究的角度對學(xué)生的心靈進(jìn)行撞擊。據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，我國早在11世紀(jì)就已知道邊長為3、4、5的三角形是直角三角形，3、4、5也稱為勾股數(shù)組，這時(shí)可問學(xué)生還有哪些勾股數(shù)組呢？引導(dǎo)學(xué)生意識(shí)到其實(shí)就是尋找不定方程x2+y2=z2的正整數(shù)解。（當(dāng)然解決過程并不容易，激發(fā)出學(xué)生的問題意識(shí)即可）《九章算術(shù)》中曾提到5、12、13，6、8、10，8、15、17，7、24、25，20、21、29等都是勾股數(shù)組。對于勾股數(shù)組的研究，自然會(huì)引起這樣的一個(gè)問題：當(dāng)正整數(shù)指數(shù)n>2時(shí)，有沒有正整數(shù)x、y、z滿足方程xn+yn=zn？（這個(gè)問題若能引導(dǎo)學(xué)生提出，那簡直太精彩了！）大數(shù)學(xué)家費(fèi)馬認(rèn)為沒有，這就是著名的“費(fèi)馬大定理”。費(fèi)馬曾在丟番都的著作《算術(shù)》拉丁文譯本的空白處提出這個(gè)問題，可惜地方太小，未能寫下他美妙的證明。在此后的三百多年間，無數(shù)的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛好者想要給出證明，但都不夠完美。法國科學(xué)院和德國哥廷根皇家科學(xué)會(huì)幾次重金懸賞向全世界征集答案，期限100年。這極大地刺激了人們解決費(fèi)馬問題的決心。為了攻克這一難題，數(shù)以萬計(jì)的學(xué)者引進(jìn)新概念、新方法、新理論，大大擴(kuò)寬了數(shù)學(xué)領(lǐng)域，加速了數(shù)學(xué)的發(fā)展。傳說希爾伯特知道解決問題的辦法，但他不肯宣布，有人問他為什么不公布答案以贏取豐厚的獎(jiǎng)金，他說：“干嘛要?dú)⑺酪恢粫?huì)下金蛋的鵝呢？”1995年5月，英國數(shù)學(xué)家懷爾斯在權(quán)威刊物《數(shù)學(xué)年刊》上以整期的篇幅發(fā)表了證明，被認(rèn)為是20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)成就之一。

通過歷史故事學(xué)生可以體悟到，播下一個(gè)問題，就會(huì)長成一片知識(shí)森林?；赝麣v史源頭，科學(xué)之泉長流不息。

二、概念中悟“本”，根深葉茂

正確理解概念是掌握知識(shí)的前提，是解題的關(guān)鍵，是培養(yǎng)學(xué)生思維的必要條件。概念是對客觀事物本質(zhì)屬性的概括和反映。要正確理解某一概念，就必須抓住概念的本質(zhì)，把本質(zhì)屬性向?qū)W生講清楚。讓學(xué)生在本質(zhì)屬性所反映的全體對象這一“悟點(diǎn)”上去悟，切忌死記硬背，胡搬亂套。

比如在對二倍角公式的分析中，應(yīng)讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到“二倍”并不是特指“2α”與“α”這樣的形式，諸如“4α”與“2α”、“α”與“[α2]”等也都是二倍的關(guān)系，同樣適用二倍角公式。再如在《函數(shù)的單調(diào)性》第1課時(shí)的教學(xué)部分，應(yīng)讓學(xué)生緊緊抓住單調(diào)性的形式化定義所蘊(yùn)涵的關(guān)鍵本質(zhì)，在概念形成后，拋出問題：①若函數(shù)f（x）滿足f（-2）

三、解題中悟“識(shí)”，觀念先行

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，題山題海，若不能解決一個(gè)觀念意識(shí)問題，做再多題也枉然。

所謂解題未動(dòng)，觀念先行，就是強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想方法、觀念的重要性。清袁枚在《隨園詩話》中指出：“學(xué)如弓弩，才如箭鏃，識(shí)以領(lǐng)之，方能中鵠?！薄皩W(xué)”即知識(shí)，“才”即智能，“識(shí)”即觀念，袁枚形象地指出了這三者之間的關(guān)系。數(shù)學(xué)觀念是什么？是指人們對數(shù)學(xué)的基本看法和概括認(rèn)識(shí)。當(dāng)然，這不是一朝一夕所能形成的，需要學(xué)生在教師的引導(dǎo)下通過一定時(shí)期的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)歷而慢慢積累。因此教師在平時(shí)的教學(xué)活動(dòng)中應(yīng)高屋建瓴，有意識(shí)地向?qū)W生滲透一些數(shù)學(xué)思想、方法和觀念，比如簡化意識(shí)、分類意識(shí)、整體意識(shí)、運(yùn)動(dòng)變化意識(shí)、數(shù)形結(jié)合意識(shí)、化歸意識(shí)、審美意識(shí)等。

在函數(shù)的應(yīng)用教學(xué)部分，有這樣一個(gè)典型問題：已知關(guān)于x的不等式[x]>ax+[23]的解集為{x|b

可以看出，A，B兩點(diǎn)間的部分滿足要求。由題意可知點(diǎn)A和B的橫坐標(biāo)分別是b和4，可設(shè)點(diǎn)A（4，y1），點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足方程y=[x]，因而點(diǎn)A（4，2），又點(diǎn)A也在直線上，因而坐標(biāo)也滿足方程y=ax+[23]，可得a=[13]。再解方程[x]=[13]x+[23]得兩根1和4，因此b=1。

通過此題，學(xué)生領(lǐng)悟到利用數(shù)學(xué)思想可以使問題化難為易。經(jīng)過一段時(shí)間有意識(shí)的不同思想方法的經(jīng)常性訓(xùn)練，可達(dá)到使學(xué)生從模仿到自覺運(yùn)用的教學(xué)目標(biāo)。

四、變式中悟“法”，變不離宗

《中國教育百科全書》說：“變式——掌握概念的方法之一。從各個(gè)不同的角度抓住事物的主要特殊屬性，概括出事物一般屬性的思維方式?！弊兪浇虒W(xué)種類雖多，最常用的還是“非本質(zhì)屬性變式”，即保持問題的本質(zhì)方面不變，只在非本質(zhì)方面做出變化，雖萬變而不離其宗。一線教師使用較多的有“多題一法”，也就是包含不同知識(shí)點(diǎn)的問題使用同一解題方法去解決。這里我們要讓學(xué)生學(xué)會(huì)抓住變式中的“法”去悟，這里的“法”僅指具體的解題方法，而不是一般的數(shù)學(xué)思想方法。

例如我們可以設(shè)置這樣的題組：

（1）當(dāng)t為何實(shí)數(shù)時(shí)，方程x2+（t-1）x+4=0無實(shí)數(shù)根？

（2）當(dāng)t為何實(shí)數(shù)時(shí)，函數(shù)f（x）=x2+（t-1）x+4的圖像與x軸沒有交點(diǎn)？

（3）當(dāng)t為何實(shí)數(shù)時(shí)，關(guān)于x的不等式x2+（t-1）x+4≤0的解集是空集？

（4）當(dāng)t為何實(shí)數(shù)時(shí)，拋物線f（x）=x2+4與直線f（x）=-（t-1）x不相交？

（5）當(dāng)t為何實(shí)數(shù)時(shí)，關(guān)于x的二次三項(xiàng)式x2+（t-1）x+4不能表示為兩個(gè)一次因式的積？

一個(gè)問題，如果孤立、靜止地去看它，再好也只解決了一個(gè)問題而已。上面這五個(gè)問題涉及二次方程、二次函數(shù)、二次不等式、解析幾何以及二次三項(xiàng)式的因式分解方面的問題，如果用“判別式”把它們貫穿在一起，作為一個(gè)解題組進(jìn)行教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生去悟，去透過問題表面形式的差異，就可看到它們之間本質(zhì)的聯(lián)系。這樣不僅可以高效利用教材資源，減輕學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)，而且可以增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心和興趣，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力。

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1]張念宏.中國教育百科全書[M].北京：海洋出版社，1991.

[2]單墫.數(shù)學(xué)：人的教育不可缺的內(nèi)容[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教育學(xué)，2000（10）.

（責(zé)任編輯：張華偉）