巧構(gòu)模型解三角函數(shù)題

蒲文軒

〔關(guān)鍵詞〕 數(shù)學教學；模型；構(gòu)建；三角函數(shù)題

〔中圖分類號〕 G633.6 〔文獻標識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2014）15—0120—01

三角函數(shù)這部分內(nèi)容的公式、概念較多，知識的涉及面廣，解題的技巧性較強.在解某些三角函數(shù)問題時，常規(guī)的思考方法是由條件到結(jié)論的定向思考，但有些問題按照這樣的思維方式來尋求解題途徑比較困難，甚至無從下手.在這種情況下，經(jīng)常要求我們改變思維方法，換一個角度思考.本文將從另一個角度出發(fā)，通過構(gòu)造數(shù)學模型來解決三角函數(shù)問題，培養(yǎng)學生觀察、分析、聯(lián)想以及創(chuàng)造力.

一、 構(gòu)造直角三角形

直角三角形是一類比較特殊的三角形，直角三角形中邊角之間的關(guān)系，是現(xiàn)實世界中應(yīng)用最廣泛的關(guān)系之一.而銳角三角形又揭示了直角三角形中銳角和邊之間的關(guān)系，在解決現(xiàn)實問題有著重要的作用.因此銳角三角函數(shù)與直角三角形關(guān)系密切，相互作用.構(gòu)建直角三角形，可以把三角形問題轉(zhuǎn)化為直角三角形中的邊的問題求解，既直觀簡潔，又有章可循.

例1 設(shè)x∈[ ， ]，求證：cscx-ctgx≥ -1

思路分析：由 、1聯(lián)想等腰直角三角形（如右圖所示），不妨構(gòu)造一個等腰直角三角形來研究.作Rt△ABC，令∠C=90°，AC=1，在AC上取一點D，記∠CDB=x，則BD=cscx，CD=ctgx，AD=1-ctgx，利用AD+DB≥AB= ，可得cscx-ctgx≥ -1，等號僅在x= 時成立.

二、 構(gòu)造函數(shù)法

用方程思想與三角函數(shù)的認知結(jié)構(gòu)優(yōu)化整合，可以將三角問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)來解決.

例2 已知x、y∈[- ， ]，a∈R，且x3+sinx-2a=0 ，4y3+sinycosy+a=0

求cos（x+2y）.

思路分析：x3+sinx與2（4y3+sinycosy）兩部分形式完全類似，由此可構(gòu)造函數(shù)形式.設(shè)f（t）=t3+sint，t∈[- ， ]，易證f（t）在[- ， ]上單調(diào)遞增.將題目中條件變?yōu)閒（x）-2a=0，f（-2y）-2a=0得f（x）= f（-2y），x= -2y，所以cos（x+2y）=0.

三、 構(gòu)造復(fù)數(shù)方程

復(fù)數(shù)是高中數(shù)學和高考的重要內(nèi)容之一，利用復(fù)數(shù)的代數(shù)式、三角式、模及其運算的幾何意義，能快速解決三角函數(shù)問題.

例3試證：cos -cos +cos =

思路分析：由上式可用匹配的三角函數(shù)對偶式來構(gòu)造復(fù)數(shù)方程，再利用復(fù)數(shù)性質(zhì)解題.設(shè)a= cos -cos +cos ， b=sin -sin + sin ， z=cos +isin ，則a+ib = z-z2+z3 = = = = +i .比較等式兩邊的實部，得a= ，即cos -cos +cos = .

四、 構(gòu)造圓錐曲線方程

當三角函數(shù)問題中的條件或者結(jié)論與圓錐曲線的定義有關(guān)的時候，我們就可以構(gòu)造圓錐曲線模型，利用圓錐曲線的性質(zhì)來進行求解.

例4 已知： + =1，求證： + =1

思路分析：這是一道純粹的三角命題，若能由題中式子的形式而聯(lián)想到橢圓方程，就有可能開辟以構(gòu)造橢圓方程證題的途徑.設(shè)橢圓C： + =1，由題設(shè)得點M（cos2A，sin2A）在橢圓C上.又N（cos2B，sin2B）也滿足橢圓C，可知點N也在橢圓上.過點N的橢圓C的切線方程為 +=1，即x+y=1.又點M（cos2A，sin2A）滿足x+y=1，所以點M也在此切線上.由過橢圓上一點的切線的唯一性，得點M和點N重合，于是cos2A= cos2B，sin2B=sin2A，所以 + = + =1.

總之，求解三角函數(shù)題的方法很多.若直接求解遇到困難時，就要轉(zhuǎn)換思路，根據(jù)所給式子的特點，構(gòu)造適宜的模型，就能使原來狹窄的思維豁然開朗.不僅能使復(fù)雜問題簡單化，而且還能溝通數(shù)學知識間的聯(lián)系，從而更好地提高學生分析問題和解決問題的能力，培養(yǎng)學生的想象能力和創(chuàng)新意識.

編輯：謝穎麗endprint

〔關(guān)鍵詞〕 數(shù)學教學；模型；構(gòu)建；三角函數(shù)題

〔中圖分類號〕 G633.6 〔文獻標識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2014）15—0120—01

三角函數(shù)這部分內(nèi)容的公式、概念較多，知識的涉及面廣，解題的技巧性較強.在解某些三角函數(shù)問題時，常規(guī)的思考方法是由條件到結(jié)論的定向思考，但有些問題按照這樣的思維方式來尋求解題途徑比較困難，甚至無從下手.在這種情況下，經(jīng)常要求我們改變思維方法，換一個角度思考.本文將從另一個角度出發(fā)，通過構(gòu)造數(shù)學模型來解決三角函數(shù)問題，培養(yǎng)學生觀察、分析、聯(lián)想以及創(chuàng)造力.

一、 構(gòu)造直角三角形

直角三角形是一類比較特殊的三角形，直角三角形中邊角之間的關(guān)系，是現(xiàn)實世界中應(yīng)用最廣泛的關(guān)系之一.而銳角三角形又揭示了直角三角形中銳角和邊之間的關(guān)系，在解決現(xiàn)實問題有著重要的作用.因此銳角三角函數(shù)與直角三角形關(guān)系密切，相互作用.構(gòu)建直角三角形，可以把三角形問題轉(zhuǎn)化為直角三角形中的邊的問題求解，既直觀簡潔，又有章可循.

例1 設(shè)x∈[ ， ]，求證：cscx-ctgx≥ -1

思路分析：由 、1聯(lián)想等腰直角三角形（如右圖所示），不妨構(gòu)造一個等腰直角三角形來研究.作Rt△ABC，令∠C=90°，AC=1，在AC上取一點D，記∠CDB=x，則BD=cscx，CD=ctgx，AD=1-ctgx，利用AD+DB≥AB= ，可得cscx-ctgx≥ -1，等號僅在x= 時成立.

二、 構(gòu)造函數(shù)法

用方程思想與三角函數(shù)的認知結(jié)構(gòu)優(yōu)化整合，可以將三角問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)來解決.

例2 已知x、y∈[- ， ]，a∈R，且x3+sinx-2a=0 ，4y3+sinycosy+a=0

求cos（x+2y）.

思路分析：x3+sinx與2（4y3+sinycosy）兩部分形式完全類似，由此可構(gòu)造函數(shù)形式.設(shè)f（t）=t3+sint，t∈[- ， ]，易證f（t）在[- ， ]上單調(diào)遞增.將題目中條件變?yōu)閒（x）-2a=0，f（-2y）-2a=0得f（x）= f（-2y），x= -2y，所以cos（x+2y）=0.

三、 構(gòu)造復(fù)數(shù)方程

復(fù)數(shù)是高中數(shù)學和高考的重要內(nèi)容之一，利用復(fù)數(shù)的代數(shù)式、三角式、模及其運算的幾何意義，能快速解決三角函數(shù)問題.

例3試證：cos -cos +cos =

思路分析：由上式可用匹配的三角函數(shù)對偶式來構(gòu)造復(fù)數(shù)方程，再利用復(fù)數(shù)性質(zhì)解題.設(shè)a= cos -cos +cos ， b=sin -sin + sin ， z=cos +isin ，則a+ib = z-z2+z3 = = = = +i .比較等式兩邊的實部，得a= ，即cos -cos +cos = .

四、 構(gòu)造圓錐曲線方程

當三角函數(shù)問題中的條件或者結(jié)論與圓錐曲線的定義有關(guān)的時候，我們就可以構(gòu)造圓錐曲線模型，利用圓錐曲線的性質(zhì)來進行求解.

例4 已知： + =1，求證： + =1

思路分析：這是一道純粹的三角命題，若能由題中式子的形式而聯(lián)想到橢圓方程，就有可能開辟以構(gòu)造橢圓方程證題的途徑.設(shè)橢圓C： + =1，由題設(shè)得點M（cos2A，sin2A）在橢圓C上.又N（cos2B，sin2B）也滿足橢圓C，可知點N也在橢圓上.過點N的橢圓C的切線方程為 +=1，即x+y=1.又點M（cos2A，sin2A）滿足x+y=1，所以點M也在此切線上.由過橢圓上一點的切線的唯一性，得點M和點N重合，于是cos2A= cos2B，sin2B=sin2A，所以 + = + =1.

總之，求解三角函數(shù)題的方法很多.若直接求解遇到困難時，就要轉(zhuǎn)換思路，根據(jù)所給式子的特點，構(gòu)造適宜的模型，就能使原來狹窄的思維豁然開朗.不僅能使復(fù)雜問題簡單化，而且還能溝通數(shù)學知識間的聯(lián)系，從而更好地提高學生分析問題和解決問題的能力，培養(yǎng)學生的想象能力和創(chuàng)新意識.

編輯：謝穎麗endprint

〔關(guān)鍵詞〕 數(shù)學教學；模型；構(gòu)建；三角函數(shù)題

〔中圖分類號〕 G633.6 〔文獻標識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2014）15—0120—01

三角函數(shù)這部分內(nèi)容的公式、概念較多，知識的涉及面廣，解題的技巧性較強.在解某些三角函數(shù)問題時，常規(guī)的思考方法是由條件到結(jié)論的定向思考，但有些問題按照這樣的思維方式來尋求解題途徑比較困難，甚至無從下手.在這種情況下，經(jīng)常要求我們改變思維方法，換一個角度思考.本文將從另一個角度出發(fā)，通過構(gòu)造數(shù)學模型來解決三角函數(shù)問題，培養(yǎng)學生觀察、分析、聯(lián)想以及創(chuàng)造力.

一、 構(gòu)造直角三角形

直角三角形是一類比較特殊的三角形，直角三角形中邊角之間的關(guān)系，是現(xiàn)實世界中應(yīng)用最廣泛的關(guān)系之一.而銳角三角形又揭示了直角三角形中銳角和邊之間的關(guān)系，在解決現(xiàn)實問題有著重要的作用.因此銳角三角函數(shù)與直角三角形關(guān)系密切，相互作用.構(gòu)建直角三角形，可以把三角形問題轉(zhuǎn)化為直角三角形中的邊的問題求解，既直觀簡潔，又有章可循.

例1 設(shè)x∈[ ， ]，求證：cscx-ctgx≥ -1

思路分析：由 、1聯(lián)想等腰直角三角形（如右圖所示），不妨構(gòu)造一個等腰直角三角形來研究.作Rt△ABC，令∠C=90°，AC=1，在AC上取一點D，記∠CDB=x，則BD=cscx，CD=ctgx，AD=1-ctgx，利用AD+DB≥AB= ，可得cscx-ctgx≥ -1，等號僅在x= 時成立.

二、 構(gòu)造函數(shù)法

用方程思想與三角函數(shù)的認知結(jié)構(gòu)優(yōu)化整合，可以將三角問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)來解決.

例2 已知x、y∈[- ， ]，a∈R，且x3+sinx-2a=0 ，4y3+sinycosy+a=0

求cos（x+2y）.

思路分析：x3+sinx與2（4y3+sinycosy）兩部分形式完全類似，由此可構(gòu)造函數(shù)形式.設(shè)f（t）=t3+sint，t∈[- ， ]，易證f（t）在[- ， ]上單調(diào)遞增.將題目中條件變?yōu)閒（x）-2a=0，f（-2y）-2a=0得f（x）= f（-2y），x= -2y，所以cos（x+2y）=0.

三、 構(gòu)造復(fù)數(shù)方程

復(fù)數(shù)是高中數(shù)學和高考的重要內(nèi)容之一，利用復(fù)數(shù)的代數(shù)式、三角式、模及其運算的幾何意義，能快速解決三角函數(shù)問題.

例3試證：cos -cos +cos =

思路分析：由上式可用匹配的三角函數(shù)對偶式來構(gòu)造復(fù)數(shù)方程，再利用復(fù)數(shù)性質(zhì)解題.設(shè)a= cos -cos +cos ， b=sin -sin + sin ， z=cos +isin ，則a+ib = z-z2+z3 = = = = +i .比較等式兩邊的實部，得a= ，即cos -cos +cos = .

四、 構(gòu)造圓錐曲線方程

當三角函數(shù)問題中的條件或者結(jié)論與圓錐曲線的定義有關(guān)的時候，我們就可以構(gòu)造圓錐曲線模型，利用圓錐曲線的性質(zhì)來進行求解.

例4 已知： + =1，求證： + =1

思路分析：這是一道純粹的三角命題，若能由題中式子的形式而聯(lián)想到橢圓方程，就有可能開辟以構(gòu)造橢圓方程證題的途徑.設(shè)橢圓C： + =1，由題設(shè)得點M（cos2A，sin2A）在橢圓C上.又N（cos2B，sin2B）也滿足橢圓C，可知點N也在橢圓上.過點N的橢圓C的切線方程為 +=1，即x+y=1.又點M（cos2A，sin2A）滿足x+y=1，所以點M也在此切線上.由過橢圓上一點的切線的唯一性，得點M和點N重合，于是cos2A= cos2B，sin2B=sin2A，所以 + = + =1.

總之，求解三角函數(shù)題的方法很多.若直接求解遇到困難時，就要轉(zhuǎn)換思路，根據(jù)所給式子的特點，構(gòu)造適宜的模型，就能使原來狹窄的思維豁然開朗.不僅能使復(fù)雜問題簡單化，而且還能溝通數(shù)學知識間的聯(lián)系，從而更好地提高學生分析問題和解決問題的能力，培養(yǎng)學生的想象能力和創(chuàng)新意識.

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