巧用數(shù)軸,演繹精彩課堂

戴小軍

案例背景：

我認為要上好復習課，首先要引導學生溫故知新，其次要突出復習課承上啟下的作用。溫州市小學數(shù)學六年級備課會以“如何上好復習課”為主題展開研討，在確定要教學“數(shù)的認識”一課時，我發(fā)現(xiàn)這一課的概念非常多，而且容易混淆。如何讓學生清晰地建立數(shù)的概念體系，是這一課的教學難點?；谝陨险J識，我以數(shù)形結(jié)合和溫故知新為主線，設計“數(shù)的認識”一課的教學。

案例描述：

課始，先讓學生對所學的數(shù)進行系統(tǒng)梳理，把小學階段學過的數(shù)分為負數(shù)、０、正數(shù)三類，形成一個完整的知識網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)圖，再把復習范圍確定在正數(shù)以內(nèi)，引導學生回憶正數(shù)范圍內(nèi)學過的數(shù)有分數(shù)、小數(shù)、百分數(shù)等，然后對這些數(shù)逐一復習。

教學片斷一：

師：誰來介紹自然數(shù)２和９？

生１：２是偶數(shù)，并且是最小的偶數(shù)。

生２：２既是質(zhì)數(shù)，也是８的因數(shù)。

生３：９既是奇數(shù)，也是合數(shù)。

生４：９既是１８的因數(shù)，也是３的倍數(shù)。

師：先說一說什么是因數(shù)、倍數(shù)，然后找出８的因數(shù)與倍數(shù)并在數(shù)軸上表示出來。

生５：■

師：仔細觀察數(shù)軸，因數(shù)與倍數(shù)各有什么特征？

生６：我發(fā)現(xiàn)一個數(shù)的因數(shù)個數(shù)是有限的，而倍數(shù)的個數(shù)是無限的。

生７：我發(fā)現(xiàn)一個數(shù)最大的因數(shù)是它本身，最小的倍數(shù)也是它本身。

……

通過問題，引導學生回顧所學知識并逐一進行梳理。

教學片斷二：

師：什么叫奇數(shù)、偶數(shù)？奇數(shù)有哪些？偶數(shù)有哪些？奇數(shù)、偶數(shù)的個數(shù)有多少？

師：什么叫質(zhì)數(shù)、合數(shù)？質(zhì)數(shù)有哪些？合數(shù)有哪些？（讓學生以“開火車”的形式報２０以內(nèi)的質(zhì)數(shù)、合數(shù)）質(zhì)數(shù)、合數(shù)的個數(shù)有多少？

師（出示下圖）：觀察奇數(shù)、偶數(shù)與質(zhì)數(shù)、合數(shù)的數(shù)軸，它們有什么區(qū)別？

■

生１：從分布上看，奇數(shù)、偶數(shù)出現(xiàn)得很有規(guī)律，都是相差２，而質(zhì)數(shù)與合數(shù)的分布是雜亂無章的。

生２：從分類上看，所有非零自然數(shù)是按是否是２的倍數(shù)分為奇數(shù)、偶數(shù)，而按因數(shù)的個數(shù)來分，除了質(zhì)數(shù)、合數(shù)外，還有一個１。

生３：所有的奇數(shù)不一定是質(zhì)數(shù)，也有合數(shù)；所有的偶數(shù)除了２是質(zhì)數(shù)外，其余的都是合數(shù)。

生４：數(shù)軸越往右，質(zhì)數(shù)出現(xiàn)的頻率越低，合數(shù)出現(xiàn)的頻率越高。

生５：從質(zhì)數(shù)的數(shù)軸上看，除了２、３兩個連續(xù)的自然數(shù)都是質(zhì)數(shù)外，在右邊的數(shù)中就再也找不到兩個連續(xù)自然數(shù)都是質(zhì)數(shù)了。

生６：從合數(shù)的數(shù)軸上看，有三個連續(xù)的自然數(shù)都是合數(shù)，也有四個連續(xù)的自然數(shù)都是合數(shù)，那最多有幾個連續(xù)的自然數(shù)都是合數(shù)呢？

……

通過以上討論，使學生深刻理解了這些數(shù)的概念。

教學片斷三：

師：首先，請同學們在數(shù)軸上標出０．１、２．２５、一個無限小數(shù)這三個數(shù)。

師：同學們標出前兩個小數(shù)沒有問題，那你們能找到一個無限小數(shù)嗎？

生：■、■……

師：剛才同學們找的都是無限循環(huán)小數(shù)，那你能找出一個無限不循環(huán)小數(shù)嗎？

（學生陷入深深的沉思）

師：同學們到了初中后，就可以找到很多無限不循環(huán)小數(shù)了。

……

這樣進行復習教學，讓學生厘清了小數(shù)的分類情況（小數(shù)可以分為有限小數(shù)、無限小數(shù)，無限小數(shù)又可分為無限循環(huán)小數(shù)和無限不循環(huán)小數(shù)），對學生的思維也提出了更高的要求。如學生只知道一個無限不循環(huán)小數(shù)π，但又無法找到一個具體的點表示π。教學中，教師可以告訴學生“初中學習數(shù)學時可以找到很多點表示無限不循環(huán)小數(shù)”，以此激發(fā)學生的求知欲望。

教學片斷四：

師：這兩個分數(shù)又在數(shù)軸上的哪一個點？

師：同學們，所有的分數(shù)可以分為哪幾類？

生１：我將分數(shù)分為真分數(shù)、假分數(shù)兩大類。

師：什么叫真、假分數(shù)？

生1：看分母與分子的大小。

師：在數(shù)軸上看，真分數(shù)、假分數(shù)都分布在哪里？（生答略）

師（出示下圖）：請同學們仔細觀察，是真分數(shù)多，還是假分數(shù)多？

■

生２：從數(shù)軸上看，假分數(shù)的范圍更廣，所以我認為假分數(shù)多。

生３：我認為真分數(shù)、假分數(shù)都是無限個，所以無法比較。

生４：假分數(shù)的分布廣，所以多。

……

師：我們來做個報數(shù)的游戲，你們報一個數(shù)，我報一個數(shù)，并想一想從中發(fā)現(xiàn)了什么。（師生玩報數(shù)游戲）

生５：我報一個數(shù)，老師也能報一個數(shù)，所以報的數(shù)一樣多。

……

通過游戲，讓學生真正感受到真、假分數(shù)可以一一對應，使學生初步感知所學內(nèi)容，為后續(xù)的數(shù)學學習打下基礎。

教學反思：

１．數(shù)形結(jié)合，突破難點

小學階段所學的數(shù)的概念非常多，很多數(shù)的概念只是一字之差，意思則完全不同，導致學生對這些數(shù)的概念容易產(chǎn)生混淆。如何在六年級的最后階段讓學生深刻理解數(shù)的概念的本質(zhì)特征，更好地溝通它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，一直是困擾我們教師的重要問題。

數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學思想方法。所謂數(shù)形結(jié)合，就是在研究數(shù)學問題時，由數(shù)思形、見形思數(shù)，使某些抽象的數(shù)學問題直觀化、生動化、簡單化，變抽象思維為形象思維，有助于學生把握數(shù)學問題的本質(zhì)。正如著名數(shù)學家華羅庚所說的“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”。因此，本堂課以數(shù)軸為主線，幫助學生梳理小學階段所有的數(shù)的概念。小學階段學的數(shù)都屬于實數(shù)，實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應的。所以，課堂中運用數(shù)形結(jié)合的思想方法進行教學，使學生對數(shù)的概念的理解清晰、深刻，既突破了教學難點，又為學生初中的數(shù)學學習打下扎實的基礎。

如在復習因數(shù)、倍數(shù)的環(huán)節(jié)中，通過數(shù)軸既使學生直觀地理解因數(shù)與倍數(shù)的特征、一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的、因數(shù)的個數(shù)是有限的，又使學生形象地看到一個數(shù)的最大因數(shù)與最小倍數(shù)都是它本身。又如，在復習奇數(shù)、偶數(shù)和質(zhì)數(shù)、合數(shù)時，通過對數(shù)軸的觀察，學生可以清晰地發(fā)現(xiàn)奇數(shù)、偶數(shù)與質(zhì)數(shù)、合數(shù)的分布存在明顯區(qū)別，即奇數(shù)、偶數(shù)分布十分規(guī)則，而質(zhì)數(shù)、合數(shù)的分布是雜亂無章的。通過想象數(shù)軸上質(zhì)數(shù)、合數(shù)的出現(xiàn)頻率，學生會發(fā)現(xiàn)質(zhì)數(shù)出現(xiàn)的頻率不斷下降，而合數(shù)出現(xiàn)的頻率不斷上升，從而培養(yǎng)了學生的觀察和概括能力。再如，在復習、梳理分數(shù)的過程中，通過讓學生尋找真分數(shù)、假分數(shù)在數(shù)軸上的區(qū)域，讓學生深刻地理解了真分數(shù)、假分數(shù)的意義，同時引發(fā)學生對真分數(shù)、假分數(shù)究竟誰多誰少的思考。從數(shù)軸上看，大部分學生會認為假分數(shù)多，但也有的學生認為不一定，學生在爭論這一問題的過程中，提高了他們的辨析能力。這一問題也讓學生在形象思維與抽象思維之間架起了一座溝通的橋梁，并通過報數(shù)游戲，向?qū)W生滲透了一一對應的思想。數(shù)形結(jié)合既讓學生清晰地梳理了小學階段學過的數(shù)，解決了數(shù)的概念復習的疑難問題，又提高了學生的分析能力和解決數(shù)學問題的能力。

２．形成網(wǎng)絡圖，溫故知新

新課程理念下的復習課有兩大任務：一是理，即對所學的知識進行系統(tǒng)整理，使之豎成線、橫成片、結(jié)成網(wǎng)；二是通，即將所學知識融會貫通，弄清知識的來龍去脈，為后續(xù)學習打下扎實的基礎。

小學數(shù)學中數(shù)的概念繁多雜亂，猶如一顆顆斷了線的“珍珠”，如何在復習課中把這些散落的“珍珠”串成線、織成網(wǎng)，使數(shù)的概念形成一個整體呢？本節(jié)課教學以數(shù)軸為主線，以實數(shù)與數(shù)軸一一對應為核心，引導學生系統(tǒng)地梳理了小學階段學過的數(shù)，使學生對數(shù)的概念清晰、深刻。小學數(shù)學的大部分數(shù)都屬于正數(shù)范圍內(nèi)，那么正數(shù)范圍內(nèi)的數(shù)有非零自然數(shù)和分數(shù)、小數(shù)，以這條主線梳理數(shù)的概念十分清晰，能讓學生構(gòu)成知識網(wǎng)絡圖（如下）。

■

古代大教育家孔子曰：“溫故而知新?！痹趶土曊n教學中，教師不僅要引導學生“溫故”，更要使學生“知新”。如在復習奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)時，讓學生觀察數(shù)在數(shù)軸上的分布規(guī)律，感知奇數(shù)、偶數(shù)分布的規(guī)則和質(zhì)數(shù)、合數(shù)分布的不規(guī)則；讓學生想象質(zhì)數(shù)、合數(shù)在數(shù)軸上的出現(xiàn)頻率，培養(yǎng)學生的觀察和概括能力；辨析是否還有像２、３兩個連續(xù)自然數(shù)都是質(zhì)數(shù)的情況，思考最多有幾個連續(xù)自然數(shù)都是合數(shù)的問題，培養(yǎng)學生良好的數(shù)學思維方式；當學生找到無限小數(shù)時，追問學生能否在數(shù)軸上找到一個點表示無限不循環(huán)小數(shù)，這樣既引導學生梳理了小數(shù)的分類，又極大地激發(fā)了學生的求知欲望；讓學生辨析真分數(shù)多還是假分數(shù)多時，既是對學生思維方式的一次突破，又滲透了一一對應的思想……

這樣巧用數(shù)軸進行數(shù)的概念的復習教學，充分體現(xiàn)了復習課不僅要“溫故”，而且要“知新”，使學生獲得真正的發(fā)展。

（責編杜華）

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案例背景：

我認為要上好復習課，首先要引導學生溫故知新，其次要突出復習課承上啟下的作用。溫州市小學數(shù)學六年級備課會以“如何上好復習課”為主題展開研討，在確定要教學“數(shù)的認識”一課時，我發(fā)現(xiàn)這一課的概念非常多，而且容易混淆。如何讓學生清晰地建立數(shù)的概念體系，是這一課的教學難點?；谝陨险J識，我以數(shù)形結(jié)合和溫故知新為主線，設計“數(shù)的認識”一課的教學。

案例描述：

課始，先讓學生對所學的數(shù)進行系統(tǒng)梳理，把小學階段學過的數(shù)分為負數(shù)、０、正數(shù)三類，形成一個完整的知識網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)圖，再把復習范圍確定在正數(shù)以內(nèi)，引導學生回憶正數(shù)范圍內(nèi)學過的數(shù)有分數(shù)、小數(shù)、百分數(shù)等，然后對這些數(shù)逐一復習。

教學片斷一：

師：誰來介紹自然數(shù)２和９？

生１：２是偶數(shù)，并且是最小的偶數(shù)。

生２：２既是質(zhì)數(shù)，也是８的因數(shù)。

生３：９既是奇數(shù)，也是合數(shù)。

生４：９既是１８的因數(shù)，也是３的倍數(shù)。

師：先說一說什么是因數(shù)、倍數(shù)，然后找出８的因數(shù)與倍數(shù)并在數(shù)軸上表示出來。

生５：■

師：仔細觀察數(shù)軸，因數(shù)與倍數(shù)各有什么特征？

生６：我發(fā)現(xiàn)一個數(shù)的因數(shù)個數(shù)是有限的，而倍數(shù)的個數(shù)是無限的。

生７：我發(fā)現(xiàn)一個數(shù)最大的因數(shù)是它本身，最小的倍數(shù)也是它本身。

……

通過問題，引導學生回顧所學知識并逐一進行梳理。

教學片斷二：

師：什么叫奇數(shù)、偶數(shù)？奇數(shù)有哪些？偶數(shù)有哪些？奇數(shù)、偶數(shù)的個數(shù)有多少？

師：什么叫質(zhì)數(shù)、合數(shù)？質(zhì)數(shù)有哪些？合數(shù)有哪些？（讓學生以“開火車”的形式報２０以內(nèi)的質(zhì)數(shù)、合數(shù)）質(zhì)數(shù)、合數(shù)的個數(shù)有多少？

師（出示下圖）：觀察奇數(shù)、偶數(shù)與質(zhì)數(shù)、合數(shù)的數(shù)軸，它們有什么區(qū)別？

■

生１：從分布上看，奇數(shù)、偶數(shù)出現(xiàn)得很有規(guī)律，都是相差２，而質(zhì)數(shù)與合數(shù)的分布是雜亂無章的。

生２：從分類上看，所有非零自然數(shù)是按是否是２的倍數(shù)分為奇數(shù)、偶數(shù)，而按因數(shù)的個數(shù)來分，除了質(zhì)數(shù)、合數(shù)外，還有一個１。

生３：所有的奇數(shù)不一定是質(zhì)數(shù)，也有合數(shù)；所有的偶數(shù)除了２是質(zhì)數(shù)外，其余的都是合數(shù)。

生４：數(shù)軸越往右，質(zhì)數(shù)出現(xiàn)的頻率越低，合數(shù)出現(xiàn)的頻率越高。

生５：從質(zhì)數(shù)的數(shù)軸上看，除了２、３兩個連續(xù)的自然數(shù)都是質(zhì)數(shù)外，在右邊的數(shù)中就再也找不到兩個連續(xù)自然數(shù)都是質(zhì)數(shù)了。

生６：從合數(shù)的數(shù)軸上看，有三個連續(xù)的自然數(shù)都是合數(shù)，也有四個連續(xù)的自然數(shù)都是合數(shù)，那最多有幾個連續(xù)的自然數(shù)都是合數(shù)呢？

……

通過以上討論，使學生深刻理解了這些數(shù)的概念。

教學片斷三：

師：首先，請同學們在數(shù)軸上標出０．１、２．２５、一個無限小數(shù)這三個數(shù)。

師：同學們標出前兩個小數(shù)沒有問題，那你們能找到一個無限小數(shù)嗎？

生：■、■……

師：剛才同學們找的都是無限循環(huán)小數(shù)，那你能找出一個無限不循環(huán)小數(shù)嗎？

（學生陷入深深的沉思）

師：同學們到了初中后，就可以找到很多無限不循環(huán)小數(shù)了。

……

這樣進行復習教學，讓學生厘清了小數(shù)的分類情況（小數(shù)可以分為有限小數(shù)、無限小數(shù)，無限小數(shù)又可分為無限循環(huán)小數(shù)和無限不循環(huán)小數(shù)），對學生的思維也提出了更高的要求。如學生只知道一個無限不循環(huán)小數(shù)π，但又無法找到一個具體的點表示π。教學中，教師可以告訴學生“初中學習數(shù)學時可以找到很多點表示無限不循環(huán)小數(shù)”，以此激發(fā)學生的求知欲望。

教學片斷四：

師：這兩個分數(shù)又在數(shù)軸上的哪一個點？

師：同學們，所有的分數(shù)可以分為哪幾類？

生１：我將分數(shù)分為真分數(shù)、假分數(shù)兩大類。

師：什么叫真、假分數(shù)？

生1：看分母與分子的大小。

師：在數(shù)軸上看，真分數(shù)、假分數(shù)都分布在哪里？（生答略）

師（出示下圖）：請同學們仔細觀察，是真分數(shù)多，還是假分數(shù)多？

■

生２：從數(shù)軸上看，假分數(shù)的范圍更廣，所以我認為假分數(shù)多。

生３：我認為真分數(shù)、假分數(shù)都是無限個，所以無法比較。

生４：假分數(shù)的分布廣，所以多。

……

師：我們來做個報數(shù)的游戲，你們報一個數(shù)，我報一個數(shù)，并想一想從中發(fā)現(xiàn)了什么。（師生玩報數(shù)游戲）

生５：我報一個數(shù)，老師也能報一個數(shù)，所以報的數(shù)一樣多。

……

通過游戲，讓學生真正感受到真、假分數(shù)可以一一對應，使學生初步感知所學內(nèi)容，為后續(xù)的數(shù)學學習打下基礎。

教學反思：

１．數(shù)形結(jié)合，突破難點

小學階段所學的數(shù)的概念非常多，很多數(shù)的概念只是一字之差，意思則完全不同，導致學生對這些數(shù)的概念容易產(chǎn)生混淆。如何在六年級的最后階段讓學生深刻理解數(shù)的概念的本質(zhì)特征，更好地溝通它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，一直是困擾我們教師的重要問題。

數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學思想方法。所謂數(shù)形結(jié)合，就是在研究數(shù)學問題時，由數(shù)思形、見形思數(shù)，使某些抽象的數(shù)學問題直觀化、生動化、簡單化，變抽象思維為形象思維，有助于學生把握數(shù)學問題的本質(zhì)。正如著名數(shù)學家華羅庚所說的“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”。因此，本堂課以數(shù)軸為主線，幫助學生梳理小學階段所有的數(shù)的概念。小學階段學的數(shù)都屬于實數(shù)，實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應的。所以，課堂中運用數(shù)形結(jié)合的思想方法進行教學，使學生對數(shù)的概念的理解清晰、深刻，既突破了教學難點，又為學生初中的數(shù)學學習打下扎實的基礎。

如在復習因數(shù)、倍數(shù)的環(huán)節(jié)中，通過數(shù)軸既使學生直觀地理解因數(shù)與倍數(shù)的特征、一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的、因數(shù)的個數(shù)是有限的，又使學生形象地看到一個數(shù)的最大因數(shù)與最小倍數(shù)都是它本身。又如，在復習奇數(shù)、偶數(shù)和質(zhì)數(shù)、合數(shù)時，通過對數(shù)軸的觀察，學生可以清晰地發(fā)現(xiàn)奇數(shù)、偶數(shù)與質(zhì)數(shù)、合數(shù)的分布存在明顯區(qū)別，即奇數(shù)、偶數(shù)分布十分規(guī)則，而質(zhì)數(shù)、合數(shù)的分布是雜亂無章的。通過想象數(shù)軸上質(zhì)數(shù)、合數(shù)的出現(xiàn)頻率，學生會發(fā)現(xiàn)質(zhì)數(shù)出現(xiàn)的頻率不斷下降，而合數(shù)出現(xiàn)的頻率不斷上升，從而培養(yǎng)了學生的觀察和概括能力。再如，在復習、梳理分數(shù)的過程中，通過讓學生尋找真分數(shù)、假分數(shù)在數(shù)軸上的區(qū)域，讓學生深刻地理解了真分數(shù)、假分數(shù)的意義，同時引發(fā)學生對真分數(shù)、假分數(shù)究竟誰多誰少的思考。從數(shù)軸上看，大部分學生會認為假分數(shù)多，但也有的學生認為不一定，學生在爭論這一問題的過程中，提高了他們的辨析能力。這一問題也讓學生在形象思維與抽象思維之間架起了一座溝通的橋梁，并通過報數(shù)游戲，向?qū)W生滲透了一一對應的思想。數(shù)形結(jié)合既讓學生清晰地梳理了小學階段學過的數(shù)，解決了數(shù)的概念復習的疑難問題，又提高了學生的分析能力和解決數(shù)學問題的能力。

２．形成網(wǎng)絡圖，溫故知新

新課程理念下的復習課有兩大任務：一是理，即對所學的知識進行系統(tǒng)整理，使之豎成線、橫成片、結(jié)成網(wǎng)；二是通，即將所學知識融會貫通，弄清知識的來龍去脈，為后續(xù)學習打下扎實的基礎。

小學數(shù)學中數(shù)的概念繁多雜亂，猶如一顆顆斷了線的“珍珠”，如何在復習課中把這些散落的“珍珠”串成線、織成網(wǎng)，使數(shù)的概念形成一個整體呢？本節(jié)課教學以數(shù)軸為主線，以實數(shù)與數(shù)軸一一對應為核心，引導學生系統(tǒng)地梳理了小學階段學過的數(shù)，使學生對數(shù)的概念清晰、深刻。小學數(shù)學的大部分數(shù)都屬于正數(shù)范圍內(nèi)，那么正數(shù)范圍內(nèi)的數(shù)有非零自然數(shù)和分數(shù)、小數(shù)，以這條主線梳理數(shù)的概念十分清晰，能讓學生構(gòu)成知識網(wǎng)絡圖（如下）。

■

古代大教育家孔子曰：“溫故而知新。”在復習課教學中，教師不僅要引導學生“溫故”，更要使學生“知新”。如在復習奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)時，讓學生觀察數(shù)在數(shù)軸上的分布規(guī)律，感知奇數(shù)、偶數(shù)分布的規(guī)則和質(zhì)數(shù)、合數(shù)分布的不規(guī)則；讓學生想象質(zhì)數(shù)、合數(shù)在數(shù)軸上的出現(xiàn)頻率，培養(yǎng)學生的觀察和概括能力；辨析是否還有像２、３兩個連續(xù)自然數(shù)都是質(zhì)數(shù)的情況，思考最多有幾個連續(xù)自然數(shù)都是合數(shù)的問題，培養(yǎng)學生良好的數(shù)學思維方式；當學生找到無限小數(shù)時，追問學生能否在數(shù)軸上找到一個點表示無限不循環(huán)小數(shù)，這樣既引導學生梳理了小數(shù)的分類，又極大地激發(fā)了學生的求知欲望；讓學生辨析真分數(shù)多還是假分數(shù)多時，既是對學生思維方式的一次突破，又滲透了一一對應的思想……

這樣巧用數(shù)軸進行數(shù)的概念的復習教學，充分體現(xiàn)了復習課不僅要“溫故”，而且要“知新”，使學生獲得真正的發(fā)展。

（責編杜華）

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案例背景：

我認為要上好復習課，首先要引導學生溫故知新，其次要突出復習課承上啟下的作用。溫州市小學數(shù)學六年級備課會以“如何上好復習課”為主題展開研討，在確定要教學“數(shù)的認識”一課時，我發(fā)現(xiàn)這一課的概念非常多，而且容易混淆。如何讓學生清晰地建立數(shù)的概念體系，是這一課的教學難點?；谝陨险J識，我以數(shù)形結(jié)合和溫故知新為主線，設計“數(shù)的認識”一課的教學。

案例描述：

課始，先讓學生對所學的數(shù)進行系統(tǒng)梳理，把小學階段學過的數(shù)分為負數(shù)、０、正數(shù)三類，形成一個完整的知識網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)圖，再把復習范圍確定在正數(shù)以內(nèi)，引導學生回憶正數(shù)范圍內(nèi)學過的數(shù)有分數(shù)、小數(shù)、百分數(shù)等，然后對這些數(shù)逐一復習。

教學片斷一：

師：誰來介紹自然數(shù)２和９？

生１：２是偶數(shù)，并且是最小的偶數(shù)。

生２：２既是質(zhì)數(shù)，也是８的因數(shù)。

生３：９既是奇數(shù)，也是合數(shù)。

生４：９既是１８的因數(shù)，也是３的倍數(shù)。

師：先說一說什么是因數(shù)、倍數(shù)，然后找出８的因數(shù)與倍數(shù)并在數(shù)軸上表示出來。

生５：■

師：仔細觀察數(shù)軸，因數(shù)與倍數(shù)各有什么特征？

生６：我發(fā)現(xiàn)一個數(shù)的因數(shù)個數(shù)是有限的，而倍數(shù)的個數(shù)是無限的。

生７：我發(fā)現(xiàn)一個數(shù)最大的因數(shù)是它本身，最小的倍數(shù)也是它本身。

……

通過問題，引導學生回顧所學知識并逐一進行梳理。

教學片斷二：

師：什么叫奇數(shù)、偶數(shù)？奇數(shù)有哪些？偶數(shù)有哪些？奇數(shù)、偶數(shù)的個數(shù)有多少？

師：什么叫質(zhì)數(shù)、合數(shù)？質(zhì)數(shù)有哪些？合數(shù)有哪些？（讓學生以“開火車”的形式報２０以內(nèi)的質(zhì)數(shù)、合數(shù)）質(zhì)數(shù)、合數(shù)的個數(shù)有多少？

師（出示下圖）：觀察奇數(shù)、偶數(shù)與質(zhì)數(shù)、合數(shù)的數(shù)軸，它們有什么區(qū)別？

■

生１：從分布上看，奇數(shù)、偶數(shù)出現(xiàn)得很有規(guī)律，都是相差２，而質(zhì)數(shù)與合數(shù)的分布是雜亂無章的。

生２：從分類上看，所有非零自然數(shù)是按是否是２的倍數(shù)分為奇數(shù)、偶數(shù)，而按因數(shù)的個數(shù)來分，除了質(zhì)數(shù)、合數(shù)外，還有一個１。

生３：所有的奇數(shù)不一定是質(zhì)數(shù)，也有合數(shù)；所有的偶數(shù)除了２是質(zhì)數(shù)外，其余的都是合數(shù)。

生４：數(shù)軸越往右，質(zhì)數(shù)出現(xiàn)的頻率越低，合數(shù)出現(xiàn)的頻率越高。

生５：從質(zhì)數(shù)的數(shù)軸上看，除了２、３兩個連續(xù)的自然數(shù)都是質(zhì)數(shù)外，在右邊的數(shù)中就再也找不到兩個連續(xù)自然數(shù)都是質(zhì)數(shù)了。

生６：從合數(shù)的數(shù)軸上看，有三個連續(xù)的自然數(shù)都是合數(shù)，也有四個連續(xù)的自然數(shù)都是合數(shù)，那最多有幾個連續(xù)的自然數(shù)都是合數(shù)呢？

……

通過以上討論，使學生深刻理解了這些數(shù)的概念。

教學片斷三：

師：首先，請同學們在數(shù)軸上標出０．１、２．２５、一個無限小數(shù)這三個數(shù)。

師：同學們標出前兩個小數(shù)沒有問題，那你們能找到一個無限小數(shù)嗎？

生：■、■……

師：剛才同學們找的都是無限循環(huán)小數(shù)，那你能找出一個無限不循環(huán)小數(shù)嗎？

（學生陷入深深的沉思）

師：同學們到了初中后，就可以找到很多無限不循環(huán)小數(shù)了。

……

這樣進行復習教學，讓學生厘清了小數(shù)的分類情況（小數(shù)可以分為有限小數(shù)、無限小數(shù)，無限小數(shù)又可分為無限循環(huán)小數(shù)和無限不循環(huán)小數(shù)），對學生的思維也提出了更高的要求。如學生只知道一個無限不循環(huán)小數(shù)π，但又無法找到一個具體的點表示π。教學中，教師可以告訴學生“初中學習數(shù)學時可以找到很多點表示無限不循環(huán)小數(shù)”，以此激發(fā)學生的求知欲望。

教學片斷四：

師：這兩個分數(shù)又在數(shù)軸上的哪一個點？

師：同學們，所有的分數(shù)可以分為哪幾類？

生１：我將分數(shù)分為真分數(shù)、假分數(shù)兩大類。

師：什么叫真、假分數(shù)？

生1：看分母與分子的大小。

師：在數(shù)軸上看，真分數(shù)、假分數(shù)都分布在哪里？（生答略）

師（出示下圖）：請同學們仔細觀察，是真分數(shù)多，還是假分數(shù)多？

■

生２：從數(shù)軸上看，假分數(shù)的范圍更廣，所以我認為假分數(shù)多。

生３：我認為真分數(shù)、假分數(shù)都是無限個，所以無法比較。

生４：假分數(shù)的分布廣，所以多。

……

師：我們來做個報數(shù)的游戲，你們報一個數(shù)，我報一個數(shù)，并想一想從中發(fā)現(xiàn)了什么。（師生玩報數(shù)游戲）

生５：我報一個數(shù)，老師也能報一個數(shù)，所以報的數(shù)一樣多。

……

通過游戲，讓學生真正感受到真、假分數(shù)可以一一對應，使學生初步感知所學內(nèi)容，為后續(xù)的數(shù)學學習打下基礎。

教學反思：

１．數(shù)形結(jié)合，突破難點

小學階段所學的數(shù)的概念非常多，很多數(shù)的概念只是一字之差，意思則完全不同，導致學生對這些數(shù)的概念容易產(chǎn)生混淆。如何在六年級的最后階段讓學生深刻理解數(shù)的概念的本質(zhì)特征，更好地溝通它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，一直是困擾我們教師的重要問題。

數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學思想方法。所謂數(shù)形結(jié)合，就是在研究數(shù)學問題時，由數(shù)思形、見形思數(shù)，使某些抽象的數(shù)學問題直觀化、生動化、簡單化，變抽象思維為形象思維，有助于學生把握數(shù)學問題的本質(zhì)。正如著名數(shù)學家華羅庚所說的“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”。因此，本堂課以數(shù)軸為主線，幫助學生梳理小學階段所有的數(shù)的概念。小學階段學的數(shù)都屬于實數(shù)，實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應的。所以，課堂中運用數(shù)形結(jié)合的思想方法進行教學，使學生對數(shù)的概念的理解清晰、深刻，既突破了教學難點，又為學生初中的數(shù)學學習打下扎實的基礎。

如在復習因數(shù)、倍數(shù)的環(huán)節(jié)中，通過數(shù)軸既使學生直觀地理解因數(shù)與倍數(shù)的特征、一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的、因數(shù)的個數(shù)是有限的，又使學生形象地看到一個數(shù)的最大因數(shù)與最小倍數(shù)都是它本身。又如，在復習奇數(shù)、偶數(shù)和質(zhì)數(shù)、合數(shù)時，通過對數(shù)軸的觀察，學生可以清晰地發(fā)現(xiàn)奇數(shù)、偶數(shù)與質(zhì)數(shù)、合數(shù)的分布存在明顯區(qū)別，即奇數(shù)、偶數(shù)分布十分規(guī)則，而質(zhì)數(shù)、合數(shù)的分布是雜亂無章的。通過想象數(shù)軸上質(zhì)數(shù)、合數(shù)的出現(xiàn)頻率，學生會發(fā)現(xiàn)質(zhì)數(shù)出現(xiàn)的頻率不斷下降，而合數(shù)出現(xiàn)的頻率不斷上升，從而培養(yǎng)了學生的觀察和概括能力。再如，在復習、梳理分數(shù)的過程中，通過讓學生尋找真分數(shù)、假分數(shù)在數(shù)軸上的區(qū)域，讓學生深刻地理解了真分數(shù)、假分數(shù)的意義，同時引發(fā)學生對真分數(shù)、假分數(shù)究竟誰多誰少的思考。從數(shù)軸上看，大部分學生會認為假分數(shù)多，但也有的學生認為不一定，學生在爭論這一問題的過程中，提高了他們的辨析能力。這一問題也讓學生在形象思維與抽象思維之間架起了一座溝通的橋梁，并通過報數(shù)游戲，向?qū)W生滲透了一一對應的思想。數(shù)形結(jié)合既讓學生清晰地梳理了小學階段學過的數(shù)，解決了數(shù)的概念復習的疑難問題，又提高了學生的分析能力和解決數(shù)學問題的能力。

２．形成網(wǎng)絡圖，溫故知新

新課程理念下的復習課有兩大任務：一是理，即對所學的知識進行系統(tǒng)整理，使之豎成線、橫成片、結(jié)成網(wǎng)；二是通，即將所學知識融會貫通，弄清知識的來龍去脈，為后續(xù)學習打下扎實的基礎。

小學數(shù)學中數(shù)的概念繁多雜亂，猶如一顆顆斷了線的“珍珠”，如何在復習課中把這些散落的“珍珠”串成線、織成網(wǎng)，使數(shù)的概念形成一個整體呢？本節(jié)課教學以數(shù)軸為主線，以實數(shù)與數(shù)軸一一對應為核心，引導學生系統(tǒng)地梳理了小學階段學過的數(shù)，使學生對數(shù)的概念清晰、深刻。小學數(shù)學的大部分數(shù)都屬于正數(shù)范圍內(nèi)，那么正數(shù)范圍內(nèi)的數(shù)有非零自然數(shù)和分數(shù)、小數(shù)，以這條主線梳理數(shù)的概念十分清晰，能讓學生構(gòu)成知識網(wǎng)絡圖（如下）。

■

古代大教育家孔子曰：“溫故而知新?！痹趶土曊n教學中，教師不僅要引導學生“溫故”，更要使學生“知新”。如在復習奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)時，讓學生觀察數(shù)在數(shù)軸上的分布規(guī)律，感知奇數(shù)、偶數(shù)分布的規(guī)則和質(zhì)數(shù)、合數(shù)分布的不規(guī)則；讓學生想象質(zhì)數(shù)、合數(shù)在數(shù)軸上的出現(xiàn)頻率，培養(yǎng)學生的觀察和概括能力；辨析是否還有像２、３兩個連續(xù)自然數(shù)都是質(zhì)數(shù)的情況，思考最多有幾個連續(xù)自然數(shù)都是合數(shù)的問題，培養(yǎng)學生良好的數(shù)學思維方式；當學生找到無限小數(shù)時，追問學生能否在數(shù)軸上找到一個點表示無限不循環(huán)小數(shù)，這樣既引導學生梳理了小數(shù)的分類，又極大地激發(fā)了學生的求知欲望；讓學生辨析真分數(shù)多還是假分數(shù)多時，既是對學生思維方式的一次突破，又滲透了一一對應的思想……

這樣巧用數(shù)軸進行數(shù)的概念的復習教學，充分體現(xiàn)了復習課不僅要“溫故”，而且要“知新”，使學生獲得真正的發(fā)展。

（責編杜華）

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