具有強(qiáng)對(duì)稱自同態(tài)的環(huán)及其擴(kuò)張

王 堯,薛 嶺,任艷麗

(1.南京信息工程大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,南京 210044; 2.南京曉莊學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院,南京 211171)

(1-α(1))α(1)=1·(1-α(1))α(1)=0

(r1,s1)+(r2,s2)=(r1+r2,s1+s2), (r1,s1)(r2,s2)=(r1r2+s1r2+s2r1,s1s2),

具有強(qiáng)對(duì)稱自同態(tài)的環(huán)及其擴(kuò)張

王 堯1,薛 嶺1,任艷麗2

(1.南京信息工程大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,南京 210044; 2.南京曉莊學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院,南京 211171)

強(qiáng)α-對(duì)稱環(huán); 強(qiáng)α-可逆環(huán); 強(qiáng)α-半交換環(huán);α-compatible環(huán); 經(jīng)典右商環(huán); 斜多項(xiàng)式環(huán)

0 引 言

設(shè)本文討論的環(huán)R均為有單位元的結(jié)合環(huán),α是環(huán)R的一個(gè)非零自同態(tài).如果對(duì)任意的r∈R,由rα(r)=0可推出r=0,則稱環(huán)R的一個(gè)自同態(tài)α為rigid同態(tài)[1].如果α是環(huán)R的rigid同態(tài),則稱環(huán)R是α-rigid環(huán).如果R沒(méi)有非零冪零元,則稱環(huán)R是約化環(huán).如果對(duì)任意的a,b∈R,由ab=0可推出ba=0,則稱環(huán)R是可逆環(huán)[2].如果對(duì)任意的a,b∈R,由ab=0可推出bα(a)=0(α(b)a=0),則稱環(huán)R的一個(gè)自同態(tài)α是右(左)可逆的[3].如果α是環(huán)R的右(左)可逆同態(tài),則稱環(huán)R是右(左)α-可逆的.如果環(huán)R既是右α-可逆環(huán),也是左α-可逆環(huán),則稱環(huán)R是α-可逆環(huán).如果對(duì)任意的a,b∈R,由aα(b)=0(α(a)b=0)可推出ba=0,則稱環(huán)R的一個(gè)同態(tài)α是強(qiáng)右(左)可逆的[4].如果α是環(huán)R的強(qiáng)右(左)可逆同態(tài),則稱環(huán)R是強(qiáng)右(左)α-可逆環(huán).如果環(huán)R既是強(qiáng)右α-可逆環(huán),也是強(qiáng)左α-可逆環(huán),則稱環(huán)R是強(qiáng)α-可逆環(huán).強(qiáng)α-可逆環(huán)是α-可逆環(huán),但α-可逆環(huán)未必是強(qiáng)α-可逆環(huán),可逆環(huán)也未必是強(qiáng)α-可逆環(huán)[4].如果對(duì)任意的a,b∈R,由ab=0可推出aRb=0,則稱環(huán)R是半交換環(huán).對(duì)任何a,b∈R,如果由ab=0可推出aRα(b)=0(α(a)Rb=0),則稱環(huán)R是右(左)α-半交換環(huán)[5].

如果對(duì)任意的a,b,c∈R,由abc=0可推出acb=0,則稱環(huán)R是對(duì)稱環(huán)[6].Anderson等[7]證明了環(huán)R是對(duì)稱環(huán)的等價(jià)條件是對(duì)任意的r1,r2,…,rn∈R(n≥2),由r1r2…rn=0可推出rσ(1)rσ(2)…rσ(n)=0,其中σ∈Sn.如果對(duì)任意的a,b,c∈R,由abc=0可推出acα(b)=0(α(b)ac=0),則稱環(huán)R的自同態(tài)α是右(左)對(duì)稱的[8].如果α是環(huán)R的右(左)對(duì)稱同態(tài),則稱環(huán)R是右(左)α-對(duì)稱環(huán).如果環(huán)R既是左α-對(duì)稱環(huán),也是右α-對(duì)稱環(huán),則稱環(huán)R是α-對(duì)稱環(huán).對(duì)于環(huán)R的一個(gè)自同態(tài)α,如果對(duì)任意的a,b,c∈R,由abα(c)=0可推出acα(b)=0,則稱環(huán)R是對(duì)稱α-環(huán).上述各環(huán)間的關(guān)系是:α-rigid環(huán)?α-對(duì)稱環(huán)?α-可逆環(huán).逆向命題均不成立.

本文考慮滿足如下假設(shè)條件的環(huán):

(H1) 對(duì)任意的a,b,c∈R,由abα(c)=0可推出acb=0.

命題1如果環(huán)R是一個(gè)α-rigid環(huán),則環(huán)R滿足假設(shè)條件(H1).

證明: 設(shè)abα(c)=0,a,b,c∈R,則有cabα(c)α(ab)=0,cabα(cab)=0.因?yàn)榄h(huán)R是α-rigid環(huán),所以有cab=0.因?yàn)棣?rigid環(huán)是對(duì)稱環(huán),從而可推出acb=0.

可見(jiàn)存在滿足假設(shè)條件(H1)的環(huán).下面舉例說(shuō)明滿足假設(shè)條件(H1)的環(huán)與α-對(duì)稱環(huán)是不同的概念.

例1設(shè)Z2為二元域,R=Z2⊕Z2.對(duì)于環(huán)R和R的自同態(tài)α:R→R,α((a,b))=(a,0),如果(a1,b1)(a2,b2)(a3,b3)=0,則有(a1,b1)(a3,b3)α((a2,b2))=0,且有α((a2,b2))(a1,b1)(a3,b3)=0.于是R是一個(gè)α- 對(duì)稱環(huán).但環(huán)R和自同態(tài)α不滿足假設(shè)條件(H1),因?yàn)?1,1)(0,1)α(1,1)=(0,0),而(1,1)(1,1)(0,1)=(0,1)≠(0,0).

1 強(qiáng)α-對(duì)稱環(huán)

定義1設(shè)R是一個(gè)環(huán),α是R的一個(gè)自同態(tài).如果對(duì)任意的a,b,c∈R,由abα(c)=0(α(a)bc=0)可推出acb=0(bac=0),則稱α是強(qiáng)右(左)對(duì)稱的.如果α是環(huán)R的強(qiáng)右(左)對(duì)稱的自同態(tài),則稱環(huán)R是強(qiáng)右(左)α-對(duì)稱環(huán).如果環(huán)R既是強(qiáng)右α-對(duì)稱環(huán),也是強(qiáng)左α-對(duì)稱環(huán),則稱環(huán)R是強(qiáng)α-對(duì)稱環(huán).

顯然,如果環(huán)R是對(duì)稱環(huán),則環(huán)R是一個(gè)強(qiáng)IdR-對(duì)稱環(huán),其中IdR表示環(huán)R的恒等自同態(tài).設(shè)α是環(huán)R的一個(gè)自同態(tài),R是強(qiáng)α-對(duì)稱環(huán).命題1表明α-rigid環(huán)是強(qiáng)右α-對(duì)稱環(huán).如果S是環(huán)R的一個(gè)子環(huán)且滿足α(S)?S,則S也是強(qiáng)α-對(duì)稱環(huán).

命題2如果一個(gè)環(huán)R是強(qiáng)右(左)α-對(duì)稱環(huán),則環(huán)R是對(duì)稱環(huán).

證明: 設(shè)環(huán)R是強(qiáng)右α-對(duì)稱環(huán).如果abc=0,a,b,c∈R,則有1·α(ab)α(c)=α(abc)=0,即cα(a)α(b)=0.于是又有1·cbα(a)=0,從而有acb=0.因此環(huán)R是對(duì)稱環(huán).

如果環(huán)R是一個(gè)強(qiáng)左α-對(duì)稱環(huán)且有abc=0,a,b,c∈R,則有α(a)α(bc)·1=α(abc)=0,α(b)(α(c)a)·1=0.可推出α(c)ab=0,從而有acb=0.同理可推出環(huán)R是對(duì)稱環(huán).

命題2表明強(qiáng)右(左)α-對(duì)稱環(huán)是對(duì)稱環(huán)的一個(gè)子類.下面舉例說(shuō)明當(dāng)α≠IdR時(shí),一個(gè)對(duì)稱環(huán)未必是強(qiáng)右(左)α-對(duì)稱環(huán).

例2設(shè)Z2是二元域,R=Z2⊕Z2,則環(huán)R是對(duì)稱環(huán).對(duì)于R的自同態(tài)α:R→R,α((x,y))=(y,x)和a=(1,1),b=(1,0)=c,有abα(c)=0,但acb=(1,0)≠0,故R不是一個(gè)強(qiáng)右α-對(duì)稱環(huán).

推論1設(shè)α是環(huán)R的一個(gè)自同態(tài),則R是強(qiáng)右α-對(duì)稱環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是強(qiáng)左α-對(duì)稱環(huán).

證明: 設(shè)R是強(qiáng)右α-對(duì)稱環(huán),α(a)bc=0,a,b,c∈R.因?yàn)榄h(huán)R是對(duì)稱環(huán),所以有bcα(a)=0,從而有bac=0,故R也是強(qiáng)左α-對(duì)稱環(huán).反之亦然.

推論1表明強(qiáng)左α-對(duì)稱環(huán)與強(qiáng)右α-對(duì)稱環(huán)是同一個(gè)概念,于是可對(duì)這兩個(gè)概念不加區(qū)分,統(tǒng)稱為強(qiáng)α-對(duì)稱環(huán).

命題3設(shè)α是環(huán)R的一個(gè)自同態(tài),如果R是強(qiáng)α-對(duì)稱環(huán),則有以下結(jié)論:

1)α是單同態(tài);

2)α(1)=1;

3)α(e)=e,其中e是環(huán)R的冪等元.

證明: 1) 任取a,b∈R,如果α(a)=α(b),則有1· 1·α(a-b)=0.由R是強(qiáng)α-對(duì)稱環(huán)可得a-b=0,故α是單同態(tài).

2) 因?yàn)?1-α(1))α(1)=0,所以由R是強(qiáng)α-對(duì)稱環(huán)知1-α(1)=0,即α(1)=1.

3) 因?yàn)?1-e)e=e(1-e)=0,所以由R是強(qiáng)α-對(duì)稱環(huán)得α(e)(1-e)=α(1-e)e=0,即α(e)=α(e)e=e.

對(duì)于環(huán)R的一個(gè)自同態(tài)α,如果對(duì)任意的a,b∈R,ab=0當(dāng)且僅當(dāng)aα(b)=0,則稱環(huán)R是α-compatible的[9].

引理1[9]環(huán)R是一個(gè)α-rigid環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是α-compatible的和約化的.

如果對(duì)任意的a∈R,由aRa=0可推出a=0,則稱環(huán)R是半素環(huán).

由命題1和推論1可知,α-rigid環(huán)是強(qiáng)α-對(duì)稱環(huán).進(jìn)一步， 有:

命題41) 環(huán)R是α-rigid環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是強(qiáng)α-對(duì)稱環(huán)和約化環(huán);

2) 環(huán)R是α-rigid環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是強(qiáng)α-對(duì)稱環(huán)且是半素環(huán).

證明: 1) 必要性.根據(jù)引理1知α-rigid環(huán)是約化環(huán).再據(jù)命題1和推論1即得結(jié)論.

充分性.設(shè)rα(r)=0,r∈R,則由R是強(qiáng)α-對(duì)稱環(huán)有r2=1·rα(r)=0,再由R是約化環(huán)知r=0.

2) 由約化環(huán)是半素環(huán)及1)即知.

下面給出強(qiáng)α-對(duì)稱環(huán)和α-compatible環(huán)之間的關(guān)系.

定理1環(huán)R是強(qiáng)α-對(duì)稱環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是對(duì)稱環(huán),且是α-compatible環(huán).

證明: 必要性.如果環(huán)R是強(qiáng)α-對(duì)稱環(huán),由命題2知環(huán)R是對(duì)稱環(huán).下證強(qiáng)α-對(duì)稱環(huán)是α-compatible環(huán).任取a,b∈R,設(shè)ab=0.因?yàn)镽是對(duì)稱環(huán),從而是可逆環(huán),于是由ab=0 有ba=0和α(b)·1·α(a)=α(ba)=0.因?yàn)镽是強(qiáng)α-對(duì)稱環(huán),所以有α(b)a=0,于是有aα(b)=0.反之,任取a,b∈R,設(shè)aα(b)=0,由環(huán)R是有1的強(qiáng)α-對(duì)稱環(huán)得ba=0.又因?yàn)榄h(huán)R是可逆環(huán),所以ab=0.從而證明了環(huán)R是α-compatible環(huán),且R是對(duì)稱環(huán).

充分性.如果環(huán)R是對(duì)稱環(huán)且是α-compatible環(huán).設(shè)abα(c)=0,a,b,c∈R.因?yàn)榄h(huán)R是α-compatible環(huán),所以abc=0.同時(shí)由R也是對(duì)稱環(huán)可推出acb=0.于是知環(huán)R是強(qiáng)α-對(duì)稱環(huán).

定理2設(shè)α是環(huán)R的一個(gè)自同態(tài),R是一個(gè)α-compatible環(huán),則以下結(jié)論等價(jià):

1)R是強(qiáng)α-對(duì)稱環(huán);

2)R是α-對(duì)稱環(huán);

3)R是對(duì)稱α-環(huán);

4)R是對(duì)稱環(huán).

證明: 由文獻(xiàn)[10]中定理3.5和定理2.8即知.

引理2[9]如果R是α-compatible環(huán),則有下列結(jié)論:

1) 如果ab=0,則aαn(b)=an(a)b=0,其中n是任意正整數(shù);

2) 如果存在正整數(shù)k,使得αk(a)b=0,則ab=0;

3) 如果存在正整數(shù)k,使得aαk(b)=0,則ab=0.

推論2如果環(huán)R是強(qiáng)α-對(duì)稱環(huán),則對(duì)任意的a1,a2,a3∈R和非負(fù)整數(shù)i,j,k,對(duì)任何σ∈Sn,a1a2a3=0當(dāng)且僅當(dāng)αi(aσ(1))αj(aσ(2))αk(aσ(3))=0.

證明: 由定理1和引理2可得.

下面給出強(qiáng)α-對(duì)稱環(huán)的一些等價(jià)刻畫(huà).

定理3設(shè)α是環(huán)R的一個(gè)自同態(tài),則下列結(jié)論等價(jià):

1) 環(huán)R是強(qiáng)α-對(duì)稱環(huán);

2) 環(huán)R是α-對(duì)稱環(huán)且α是一個(gè)單同態(tài);

3) 環(huán)R是對(duì)稱的且是α-可逆環(huán),α是一個(gè)單同態(tài);

4) 環(huán)R是強(qiáng)α-可逆且R是對(duì)稱的;

5) 環(huán)R是對(duì)稱α-環(huán)且R是對(duì)稱的,α是一個(gè)單同態(tài).

證明: 如果一個(gè)環(huán)是強(qiáng)α-對(duì)稱環(huán),則α是一個(gè)單同態(tài),R是對(duì)稱環(huán).由推論2,有1)?2),1)?3)和1)?5)成立.

1)?4).設(shè)aα(b)=0(α(a)b=0).由1·aα(b)=0(α(a)b·1=0)及強(qiáng)α-對(duì)稱環(huán)的定義,有ba=0.

2)?1).任取a,b,c∈R,設(shè)abα(c)=0,即1·abα(c)=0.由R是右α-對(duì)稱環(huán)可推出1·α(cab)=0.因?yàn)棣潦且粋€(gè)單同態(tài),所以cab=0.而根據(jù)文獻(xiàn)[8]中定理2.5知,如果環(huán)R是右α-對(duì)稱環(huán)且α是一個(gè)單同態(tài),則R是對(duì)稱環(huán).于是有acb=0.

3)?1).任取a,b,c∈R,設(shè)abα(c)=0.由R是右α-可逆環(huán)可推出α(cab)=0.因?yàn)棣潦且粋€(gè)單同態(tài),所以cab=0.因?yàn)镽是對(duì)稱的,所以acb=0.

4)?1).任取a,b,c∈R,設(shè)abα(c)=0.由R是強(qiáng)α-可逆環(huán)推出cab=0.因?yàn)镽是對(duì)稱的,所以acb=0.

5)?1).任取a,b,c∈R,設(shè)abα(c)=0.已知R是對(duì)稱α-環(huán)且α是單同態(tài),則由

(1-α(1))α(1)=1·(1-α(1))α(1)=0

可得1·1·α(1-α(1))=α(1-α(1))=0,于是有1-α(1)=0,α(1)=1.又因?yàn)镽是有1的對(duì)稱環(huán),所以還有α(c)abα(1)=0.再由R是對(duì)稱α-環(huán)知α(c)·1·α(ab)=0,從而α(cab)=0.由α是單同態(tài)知cab=0.由環(huán)R是對(duì)稱環(huán)可得acb=0.

定義2設(shè)α是環(huán)R的一個(gè)自同態(tài).如果對(duì)任意的a,b∈R,由aα(b)=0(α(a)b=0)可推出aRb=0,則稱α是強(qiáng)右(左)半交換的.如果α是環(huán)R的強(qiáng)右(左)半交換的自同態(tài),則稱環(huán)R是強(qiáng)右(左)α-半交換環(huán).如果環(huán)R既是強(qiáng)右α-半交換環(huán),也是強(qiáng)左α-半交換環(huán),則稱環(huán)R是強(qiáng)α-半交換環(huán).

命題5環(huán)R是強(qiáng)α-對(duì)稱環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是對(duì)稱環(huán),且是強(qiáng)α-半交換環(huán).

證明: 必要性.由命題2知強(qiáng)α-對(duì)稱環(huán)是對(duì)稱環(huán),而強(qiáng)α-對(duì)稱環(huán)是強(qiáng)α-半交換環(huán).

充分性.設(shè)abα(c)=0,α(a)bc=0,a,b,c∈R.因?yàn)镽是強(qiáng)α-半交換環(huán),所以有abRc=0和aRbc=0.因?yàn)镽有1,故可推出abc=0.再由R是對(duì)稱環(huán)有acb=0.

命題61) 強(qiáng)α-半交換環(huán)是α-半交換環(huán); 2) 強(qiáng)α-半交換環(huán)是半交換環(huán).

證明: 1) 設(shè)ab=0,a,b∈R,則有α(ab)=α(a)α(b)=0.因?yàn)镽是強(qiáng)α-半交換環(huán),所以有aRα(b)=0和α(a)Rb=0.

2) 因?yàn)镽有1,故有α(a)b=aα(b)=0.再由R是強(qiáng)α-半交換環(huán),可得aRb=0.

2 強(qiáng)α-對(duì)稱環(huán)的擴(kuò)張

命題9設(shè)α是環(huán)R的一個(gè)自同態(tài),e是環(huán)R的中心冪等元且有α(e)=e,則下列結(jié)論等價(jià):

1)R是強(qiáng)α-對(duì)稱環(huán);

2)eR和(1-e)R是強(qiáng)α-對(duì)稱環(huán).

證明: 1)?2).設(shè)環(huán)R是強(qiáng)α-對(duì)稱環(huán).因?yàn)閑R,(1-e)R是環(huán)R的子環(huán),且α(eR)?eR,α((1-e)R)?(1-e)R,所以eR,(1-e)R都是強(qiáng)α-對(duì)稱環(huán).

2)?1).因?yàn)镽是eR和(1-e)R的直和,強(qiáng)α-對(duì)稱環(huán)的直和也是強(qiáng)α-對(duì)稱環(huán).因此,R也是強(qiáng)α-對(duì)稱環(huán).

引理4[11]設(shè)R是約化環(huán),n是任意一個(gè)正整數(shù),則R[x]/(xn)是對(duì)稱環(huán),其中(xn)是由xn生成的理想.

證明: 根據(jù)定理3中4)知,環(huán)R是強(qiáng)α-對(duì)稱環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是強(qiáng)α-可逆環(huán),且R是對(duì)稱環(huán),再由引理3和引理4可得結(jié)論.證畢.

對(duì)于任何環(huán)R和整數(shù)n≥2.令

證明: 根據(jù)文獻(xiàn)[12],Vn(R)?R[x]/(xn).

推論5[11]如果R是約化環(huán),則T(R,R)是對(duì)稱環(huán).

命題5指出了α-rigid環(huán)R的平凡擴(kuò)張T(R,R)是強(qiáng)α-對(duì)稱環(huán),但文獻(xiàn)[4]中例3.6表明,n階主對(duì)角線元素相同的上三角陣環(huán)不是強(qiáng)右α-可逆環(huán),從而也不是強(qiáng)α-對(duì)稱環(huán)(n≥3).

證明: 由R是Δ-1R的子環(huán)知充分性成立.

從而abα(c)=0.而環(huán)R是強(qiáng)α-對(duì)稱環(huán),于是有acb=0.進(jìn)一步,有

ACB=μ-1aω-1cν-1b=μ-1ω-1ν-1(acb)=0.

推論6設(shè)α是環(huán)R的自同態(tài),如果環(huán)R是Armendariz環(huán),則下列結(jié)論等價(jià):

1)R是強(qiáng)α-對(duì)稱環(huán);

證明: 由命題12知,2)?3).2)?1)顯然.1)?2): 根據(jù)定理3中4)知,環(huán)R是強(qiáng)α-對(duì)稱環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是強(qiáng)α-可逆環(huán),且R是對(duì)稱環(huán).由文獻(xiàn)[4]中定理3.7知,如果環(huán)R是強(qiáng)α-可逆環(huán)且R是Armendariz環(huán),則R[x]是強(qiáng)α-可逆環(huán).再由文獻(xiàn)[14]中命題3.2知,如果環(huán)R是對(duì)稱環(huán)且R是Armendariz環(huán),則R[x]是對(duì)稱環(huán).

證明: 充分性顯然.下證必要性.

于是有如下等式:

由式(1)得a0b0c0=0.將式(2)左乘b0c0,由R為約化環(huán)得b0c0a1α(b0)α2(c0)=0,再據(jù)推論2和R為約化環(huán)有a1b0c0=0,a1α(b0)α2(c0)=0.將式(2)再左乘c0,重復(fù)應(yīng)用推論2和R為約化環(huán)的條件,有c0a0b1α2(c0)=0.于是有a0b1c0=0,a0b1α2(c0)=0. 代入式(2)可得a0b0c1=0.所以當(dāng)i+j+k=1時(shí),有aibjck=0.

歸納假設(shè)當(dāng)i+j+k

將式(p+1)右乘a0b0,由歸納假設(shè)可推出a0b0cp=0.將式(p+1)左乘b0c0,由推論2可得apb0c0=0.于是,式(p+1)變?yōu)?/p>

進(jìn)一步,將式(p+2)右乘a0b1,由歸納假設(shè)可得a0b1cp-1=0,

在式(p+3)右邊繼續(xù)分別乘以a0b2,a0b3,…,ap-1b1,則由歸納假設(shè)和推論2依次可得a0b2cp-2=0,a0b3cp-3=0,…,ap-1b1c0=0.

命題13設(shè)α是環(huán)R的自同態(tài),如果S是一個(gè)環(huán),且σ:R→S是環(huán)同構(gòu),則環(huán)R是強(qiáng)α-對(duì)稱環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)S是強(qiáng)σασ-1-對(duì)稱環(huán).

證明: 充分性.設(shè)S是強(qiáng)σασ-1-對(duì)稱環(huán),abα(c)=0,a,b,c∈R,則有σ(a)σ(b)σασ-1(σ(c))=σ(abα(c))=0.因?yàn)镾是強(qiáng)σασ-1-對(duì)稱環(huán),所以σ(acb)=σ(a)σ(c)σ(b)=0.而σ是一個(gè)環(huán)同構(gòu),于是有acb=0,因此環(huán)R是強(qiáng)α-對(duì)稱環(huán).

必要性.由充分性證明可知.

命題14設(shè)A是環(huán)R相應(yīng)的Jordan擴(kuò)張,則環(huán)R是強(qiáng)α-對(duì)稱環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)A是強(qiáng)α-對(duì)稱環(huán).

證明: 由R是環(huán)A的子環(huán)知充分性成立.

必要性.設(shè)abα(c)=0,其中a,b,c∈A,則存在n≥0,使得αn(a),αn(b),αn(c)∈R.于是有αn(a)αn(b)α(αn(c))=αn(abα(c))=0.由環(huán)R是強(qiáng)α-對(duì)稱環(huán)可知αn(acb)=αn(a)αn(c)αn(b)=0.因?yàn)棣潦黔h(huán)A的同構(gòu),所以有acb=0.從而A是強(qiáng)α-對(duì)稱環(huán).

給定交換環(huán)S上的代數(shù)R,R通過(guò)S的Dorroh擴(kuò)張是Abel群D=R⊕S,其運(yùn)算如下:

(r1,s1)+(r2,s2)=(r1+r2,s1+s2), (r1,s1)(r2,s2)=(r1r2+s1r2+s2r1,s1s2),

證明: 充分性顯然.

s1s2s3=0,r1r2α(r3)+s1r2α(r3)+s2r1α(r3)+s1s2α(r3)+s3r1r2+s3s1r2+s3s2r1=0.

因?yàn)镾是無(wú)零因子環(huán),所以有s1=0或s2=0或s3=0.如果s1=0,則有

r1r2α(r3)+s2r1α(r3)+s3r1r2+s3s2r1=0.

因?yàn)榄h(huán)R是交換的且α(1)=1,所以

于是由R是強(qiáng)α-對(duì)稱環(huán)可得r1(r3+s3)(r2+s2)=0,即有

r1r3r2+r1r3s2+r1s3r2+r1s3s2=0.

因此

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(責(zé)任編輯： 趙立芹)

RingswithStronglySymmetricEndomorphismsandTheirExtensions

WANG Yao1,XUE Ling1,REN Yanli2
(1.SchoolofMathematicsandStatistics,NanjingUniversityofInformationScienceandTechnology,Nanjing210044,
China; 2.SchoolofMathematicsandInformationTechnology,NanjingXiaozhuangUniversity,Nanjing211171,China)

The rings with strongly symmetric endomorphisms were investigated.Letαbe an endomorphism of ringR.RingRis known as strong rightα-symmetric ifabα(c)=0 impliesacb=0 for anya,b,c∈R.The relationships between strongα-symmetric ring and symmetric,strongα-reversible or strongα-semicommutative ring were discussed,and some extensions of strongα-symmetric rings were studied.It is proved that 1) RingRis strongα-symmetric if and only ifRis symmetric andα-compatible; 2) RingRis strongα-symmetric if and only ifR[x;α] is strongα-symmetric; 3) Ifαis an automorphism of right Ore ringR,thenRis strongα-symmetric if and only if the classical right quotient ringQ(R) ofRis strongα-symmetric.

strongα-symmetric ring; strongα-reversible ring; strongα-semicommutative ring;α-compatible ring; classical right quotient ring; skew polynomial ring

2014-01-13.

王 堯(1962—),男,漢族,博士,教授,從事環(huán)論、 微分代數(shù)和代數(shù)表示論的研究,E-mail: wangyao@nuist.edu.cn.通信作者： 任艷麗(1965—),女,漢族,碩士,教授,從事環(huán)論的研究,E-mail: renyanlisx@163.com.

國(guó)家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào): 11101217)和江蘇省自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào): BK20141476).

O153.3

A

1671-5489(2014)05-0861-08