高中數(shù)學中的恒成立問題

費良瓊

摘 要 恒成立數(shù)學問題是有一定的難度、綜合性強的題型。下面從函數(shù)定義域不等式立體幾何數(shù)列四大類中恒成立題型作具體剖析，以提高我們分析數(shù)學問題解決數(shù)學理論和實際應用題的能力；實際上有的恒成立是對所有實數(shù)成立，而有的針對一定義范圍內都成立或者某種限制條件下都成立；解決恒成立題型能啟發(fā)人們高瞻遠矚地看待問題。

關鍵詞 定義域 不等式 數(shù)列 立體幾何 恒成立

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2014）13-0116-02

數(shù)學課本中的公理定理推論公式等都可作為恒成立的結論：一次函數(shù)圖象經(jīng)過了一二三象限的則不會過第四象限，過了一二四象限的圖象則不會過第三象限；二次函數(shù)圖象開口向下時，則函數(shù)值在頂點處取最大值，開口向上時，在對稱軸的右面呈遞增的特性；奇函數(shù)都有f（0）=0成立（f（x）在x=0有定義）；│f（x）│≥0在定義域內恒成立；指數(shù)函數(shù)的值恒為正；周期函數(shù)從任一起點的一個周期內的圖象截下沿X軸依次存放則成整個定義域內的圖象；等比數(shù)列相鄰相同項數(shù)的和與積都成等比數(shù)列；立體幾何圖形中的面積和體積不變問題等等。具體來說有下面的恒成立題型。

一、定義域中恒成立

案例1 如若函數(shù)f（x）=的定義域為R，則a的取值范圍是什么？（2007年高考）

解：∵f（x）=的定義域為x∈R，∴2x -2ax-a≥1恒成立，即x2-2ax-a≥0恒成立，∴△≤0即（2a）2-4€？-a） ≤0，解得-1≤a≤0.

案例2 已知：a > 1，若僅有一個常數(shù)c使得對于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]滿足方程loga x+loga y=c，求a的取值的集合為什么？ （2008年高考）

解：∵loga x+loga y=c，∴y=.

∵a > 1，∴y=在x∈[a，2a]上遞減，

∴ymax==ac-1，ymin==ac-1，

ac-1≤a2c≤3

ac-1≥aac-2≥2c≥loga 2+2

∵loga 2+2≤c≤3時，而c值只有1個，

∴c=3，即loga 2=1，有a=2.

∴a的取值的集合為：{2}

注：對于定義域問題，要注重各個基本函數(shù)的定義域條件，實際上是比較基礎的，主要是認出題目反映出來的是哪個基本函數(shù)。如果題目與其它知識交叉運用，則難度會增大；同時重視多個條件的限制。

二、不等式中恒成立

恒成立往往是在某個范圍內成立，所以經(jīng)常以不等式的形式出現(xiàn)。

案例3 集合A={t|t2-4≤0}，對于滿足集合A的所有實數(shù)t，則使不等式x2+tx-t>2x-1恒成立的x的取值范圍為什么？（2010年模擬）

解：∵A={t|t2-4≤0}， ∴A=[-2，2]，

∵（x-1）t+x2-2x+1>0對t∈A恒成立，

∴f（t）=（x-1）t+x2-2x+1對t∈[-2，2]恒有f（t）>0，

∴，即，解得

∴x的取值范圍為：x>3或x<-1

三、立體幾何中恒成立

高中數(shù)學中立體幾何內容涉及到線與線、線與面、面與面的位置關系，主要是垂直和平行關系的應用。其中不乏有趣味的幾何問題。

案例4 如圖示，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H、N分別是棱C1C、C1D1、D1D、DC、BC的的中點，點M在四邊形EFGH及其內部運動，則M只需滿足條件 時，就有MN∥平面B1BDD1

解：連結FH、HN，則FH∥DD1，HN∥BD，

∴FH∥平面B1BDD1，HN∥平面B1BDD1，∴平面

FHN∥平面B1BDD1，∴當M在線段FH上時，

MN 平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.即點M在線段FH上時，就有MN∥平面B1BDD1

四、數(shù)列中的恒成立

等差數(shù)列和等比數(shù)列中的規(guī)律不少，其中等比數(shù)列的規(guī)律更現(xiàn)奇妙。

案例5 等比數(shù)列{an}中，判定{an}中相鄰的連續(xù)k項之和所構成的新數(shù)列是什么數(shù)列？那么相鄰的連續(xù)k項之積所構成的新數(shù)列是什么數(shù)列呢？

解：取等比數(shù)列{an}中前n項的和為Sn

1.相鄰的連續(xù)k項之和所構成的新數(shù)列為：Sk ，S2k-Sk，S3k-S2k，S4k-S3k ，……

（1）等比數(shù)列公比q≠€？時，新數(shù)列{Tn}為：，，，， ……∴=qk為常數(shù)，即新數(shù)列{Tn}為等比數(shù)列；

（2）若q=1時，則連續(xù)的k項之和都是相等的且不為零，此時新數(shù)列為等比數(shù)列；

（3）若q=-1，且k為偶數(shù)時，有：=0

∴ 新數(shù)列各項為零，此時為等差數(shù)列，而不是等比數(shù)列。

2.相鄰的連續(xù)k項之積所構成的新數(shù)列為： a1…ak ，ak+1…a2k ，a2k+1…a3k， a3k+1…a4k ，……

∴ 即為：a1kq，a1kq，a1kq，a1kq…

∴新數(shù)列{Tn}有：=qk 為常數(shù)

即新數(shù)列{Tn}為等比數(shù)列。

說明：數(shù)列是高考中又一難點，對其中恒成立的結論依靠等差數(shù)列和等比列的基本性質，如通項和前n項和的公式；只要用這兩個特殊數(shù)列進行推導，會發(fā)現(xiàn)很多有趣的結論，此處就是一彈琵琶曲。

（責任編輯 易 凡）endprint

摘 要 恒成立數(shù)學問題是有一定的難度、綜合性強的題型。下面從函數(shù)定義域不等式立體幾何數(shù)列四大類中恒成立題型作具體剖析，以提高我們分析數(shù)學問題解決數(shù)學理論和實際應用題的能力；實際上有的恒成立是對所有實數(shù)成立，而有的針對一定義范圍內都成立或者某種限制條件下都成立；解決恒成立題型能啟發(fā)人們高瞻遠矚地看待問題。

關鍵詞 定義域 不等式 數(shù)列 立體幾何 恒成立

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2014）13-0116-02

數(shù)學課本中的公理定理推論公式等都可作為恒成立的結論：一次函數(shù)圖象經(jīng)過了一二三象限的則不會過第四象限，過了一二四象限的圖象則不會過第三象限；二次函數(shù)圖象開口向下時，則函數(shù)值在頂點處取最大值，開口向上時，在對稱軸的右面呈遞增的特性；奇函數(shù)都有f（0）=0成立（f（x）在x=0有定義）；│f（x）│≥0在定義域內恒成立；指數(shù)函數(shù)的值恒為正；周期函數(shù)從任一起點的一個周期內的圖象截下沿X軸依次存放則成整個定義域內的圖象；等比數(shù)列相鄰相同項數(shù)的和與積都成等比數(shù)列；立體幾何圖形中的面積和體積不變問題等等。具體來說有下面的恒成立題型。

一、定義域中恒成立

案例1 如若函數(shù)f（x）=的定義域為R，則a的取值范圍是什么？（2007年高考）

解：∵f（x）=的定義域為x∈R，∴2x -2ax-a≥1恒成立，即x2-2ax-a≥0恒成立，∴△≤0即（2a）2-4€？-a） ≤0，解得-1≤a≤0.

案例2 已知：a > 1，若僅有一個常數(shù)c使得對于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]滿足方程loga x+loga y=c，求a的取值的集合為什么？ （2008年高考）

解：∵loga x+loga y=c，∴y=.

∵a > 1，∴y=在x∈[a，2a]上遞減，

∴ymax==ac-1，ymin==ac-1，

ac-1≤a2c≤3

ac-1≥aac-2≥2c≥loga 2+2

∵loga 2+2≤c≤3時，而c值只有1個，

∴c=3，即loga 2=1，有a=2.

∴a的取值的集合為：{2}

注：對于定義域問題，要注重各個基本函數(shù)的定義域條件，實際上是比較基礎的，主要是認出題目反映出來的是哪個基本函數(shù)。如果題目與其它知識交叉運用，則難度會增大；同時重視多個條件的限制。

二、不等式中恒成立

恒成立往往是在某個范圍內成立，所以經(jīng)常以不等式的形式出現(xiàn)。

案例3 集合A={t|t2-4≤0}，對于滿足集合A的所有實數(shù)t，則使不等式x2+tx-t>2x-1恒成立的x的取值范圍為什么？（2010年模擬）

解：∵A={t|t2-4≤0}， ∴A=[-2，2]，

∵（x-1）t+x2-2x+1>0對t∈A恒成立，

∴f（t）=（x-1）t+x2-2x+1對t∈[-2，2]恒有f（t）>0，

∴，即，解得

∴x的取值范圍為：x>3或x<-1

三、立體幾何中恒成立

高中數(shù)學中立體幾何內容涉及到線與線、線與面、面與面的位置關系，主要是垂直和平行關系的應用。其中不乏有趣味的幾何問題。

案例4 如圖示，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H、N分別是棱C1C、C1D1、D1D、DC、BC的的中點，點M在四邊形EFGH及其內部運動，則M只需滿足條件 時，就有MN∥平面B1BDD1

解：連結FH、HN，則FH∥DD1，HN∥BD，

∴FH∥平面B1BDD1，HN∥平面B1BDD1，∴平面

FHN∥平面B1BDD1，∴當M在線段FH上時，

MN 平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.即點M在線段FH上時，就有MN∥平面B1BDD1

四、數(shù)列中的恒成立

等差數(shù)列和等比數(shù)列中的規(guī)律不少，其中等比數(shù)列的規(guī)律更現(xiàn)奇妙。

案例5 等比數(shù)列{an}中，判定{an}中相鄰的連續(xù)k項之和所構成的新數(shù)列是什么數(shù)列？那么相鄰的連續(xù)k項之積所構成的新數(shù)列是什么數(shù)列呢？

解：取等比數(shù)列{an}中前n項的和為Sn

1.相鄰的連續(xù)k項之和所構成的新數(shù)列為：Sk ，S2k-Sk，S3k-S2k，S4k-S3k ，……

（1）等比數(shù)列公比q≠€？時，新數(shù)列{Tn}為：，，，， ……∴=qk為常數(shù)，即新數(shù)列{Tn}為等比數(shù)列；

（2）若q=1時，則連續(xù)的k項之和都是相等的且不為零，此時新數(shù)列為等比數(shù)列；

（3）若q=-1，且k為偶數(shù)時，有：=0

∴ 新數(shù)列各項為零，此時為等差數(shù)列，而不是等比數(shù)列。

2.相鄰的連續(xù)k項之積所構成的新數(shù)列為： a1…ak ，ak+1…a2k ，a2k+1…a3k， a3k+1…a4k ，……

∴ 即為：a1kq，a1kq，a1kq，a1kq…

∴新數(shù)列{Tn}有：=qk 為常數(shù)

即新數(shù)列{Tn}為等比數(shù)列。

說明：數(shù)列是高考中又一難點，對其中恒成立的結論依靠等差數(shù)列和等比列的基本性質，如通項和前n項和的公式；只要用這兩個特殊數(shù)列進行推導，會發(fā)現(xiàn)很多有趣的結論，此處就是一彈琵琶曲。

（責任編輯 易 凡）endprint

摘 要 恒成立數(shù)學問題是有一定的難度、綜合性強的題型。下面從函數(shù)定義域不等式立體幾何數(shù)列四大類中恒成立題型作具體剖析，以提高我們分析數(shù)學問題解決數(shù)學理論和實際應用題的能力；實際上有的恒成立是對所有實數(shù)成立，而有的針對一定義范圍內都成立或者某種限制條件下都成立；解決恒成立題型能啟發(fā)人們高瞻遠矚地看待問題。

關鍵詞 定義域 不等式 數(shù)列 立體幾何 恒成立

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2014）13-0116-02

數(shù)學課本中的公理定理推論公式等都可作為恒成立的結論：一次函數(shù)圖象經(jīng)過了一二三象限的則不會過第四象限，過了一二四象限的圖象則不會過第三象限；二次函數(shù)圖象開口向下時，則函數(shù)值在頂點處取最大值，開口向上時，在對稱軸的右面呈遞增的特性；奇函數(shù)都有f（0）=0成立（f（x）在x=0有定義）；│f（x）│≥0在定義域內恒成立；指數(shù)函數(shù)的值恒為正；周期函數(shù)從任一起點的一個周期內的圖象截下沿X軸依次存放則成整個定義域內的圖象；等比數(shù)列相鄰相同項數(shù)的和與積都成等比數(shù)列；立體幾何圖形中的面積和體積不變問題等等。具體來說有下面的恒成立題型。

一、定義域中恒成立

案例1 如若函數(shù)f（x）=的定義域為R，則a的取值范圍是什么？（2007年高考）

解：∵f（x）=的定義域為x∈R，∴2x -2ax-a≥1恒成立，即x2-2ax-a≥0恒成立，∴△≤0即（2a）2-4€？-a） ≤0，解得-1≤a≤0.

案例2 已知：a > 1，若僅有一個常數(shù)c使得對于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]滿足方程loga x+loga y=c，求a的取值的集合為什么？ （2008年高考）

解：∵loga x+loga y=c，∴y=.

∵a > 1，∴y=在x∈[a，2a]上遞減，

∴ymax==ac-1，ymin==ac-1，

ac-1≤a2c≤3

ac-1≥aac-2≥2c≥loga 2+2

∵loga 2+2≤c≤3時，而c值只有1個，

∴c=3，即loga 2=1，有a=2.

∴a的取值的集合為：{2}

注：對于定義域問題，要注重各個基本函數(shù)的定義域條件，實際上是比較基礎的，主要是認出題目反映出來的是哪個基本函數(shù)。如果題目與其它知識交叉運用，則難度會增大；同時重視多個條件的限制。

二、不等式中恒成立

恒成立往往是在某個范圍內成立，所以經(jīng)常以不等式的形式出現(xiàn)。

案例3 集合A={t|t2-4≤0}，對于滿足集合A的所有實數(shù)t，則使不等式x2+tx-t>2x-1恒成立的x的取值范圍為什么？（2010年模擬）

解：∵A={t|t2-4≤0}， ∴A=[-2，2]，

∵（x-1）t+x2-2x+1>0對t∈A恒成立，

∴f（t）=（x-1）t+x2-2x+1對t∈[-2，2]恒有f（t）>0，

∴，即，解得

∴x的取值范圍為：x>3或x<-1

三、立體幾何中恒成立

高中數(shù)學中立體幾何內容涉及到線與線、線與面、面與面的位置關系，主要是垂直和平行關系的應用。其中不乏有趣味的幾何問題。

案例4 如圖示，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H、N分別是棱C1C、C1D1、D1D、DC、BC的的中點，點M在四邊形EFGH及其內部運動，則M只需滿足條件 時，就有MN∥平面B1BDD1

解：連結FH、HN，則FH∥DD1，HN∥BD，

∴FH∥平面B1BDD1，HN∥平面B1BDD1，∴平面

FHN∥平面B1BDD1，∴當M在線段FH上時，

MN 平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.即點M在線段FH上時，就有MN∥平面B1BDD1

四、數(shù)列中的恒成立

等差數(shù)列和等比數(shù)列中的規(guī)律不少，其中等比數(shù)列的規(guī)律更現(xiàn)奇妙。

案例5 等比數(shù)列{an}中，判定{an}中相鄰的連續(xù)k項之和所構成的新數(shù)列是什么數(shù)列？那么相鄰的連續(xù)k項之積所構成的新數(shù)列是什么數(shù)列呢？

解：取等比數(shù)列{an}中前n項的和為Sn

1.相鄰的連續(xù)k項之和所構成的新數(shù)列為：Sk ，S2k-Sk，S3k-S2k，S4k-S3k ，……

（1）等比數(shù)列公比q≠€？時，新數(shù)列{Tn}為：，，，， ……∴=qk為常數(shù)，即新數(shù)列{Tn}為等比數(shù)列；

（2）若q=1時，則連續(xù)的k項之和都是相等的且不為零，此時新數(shù)列為等比數(shù)列；

（3）若q=-1，且k為偶數(shù)時，有：=0

∴ 新數(shù)列各項為零，此時為等差數(shù)列，而不是等比數(shù)列。

2.相鄰的連續(xù)k項之積所構成的新數(shù)列為： a1…ak ，ak+1…a2k ，a2k+1…a3k， a3k+1…a4k ，……

∴ 即為：a1kq，a1kq，a1kq，a1kq…

∴新數(shù)列{Tn}有：=qk 為常數(shù)

即新數(shù)列{Tn}為等比數(shù)列。

說明：數(shù)列是高考中又一難點，對其中恒成立的結論依靠等差數(shù)列和等比列的基本性質，如通項和前n項和的公式；只要用這兩個特殊數(shù)列進行推導，會發(fā)現(xiàn)很多有趣的結論，此處就是一彈琵琶曲。

（責任編輯 易 凡）endprint