基本不等式中的數(shù)形結(jié)合

沈吉利

摘要：作為高中數(shù)學(xué)重要組成部分的基本不等式，其蘊(yùn)含在多個(gè)幾何圖形之中。從趙爽弦圖出發(fā)，結(jié)合幾何畫板，以學(xué)生動(dòng)手的形式，讓學(xué)生初步感受代數(shù)的幾何形式。再者，通過嚴(yán)格的證明與推導(dǎo)，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。最后，再出回到幾何，點(diǎn)明基本不等式的幾何意義。

關(guān)鍵詞：基本不等式；數(shù)形結(jié)合；教學(xué)設(shè)計(jì)

中圖分類號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2014）11-211-02

一、學(xué)習(xí)任務(wù)分析

本節(jié)課選自人教A版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)教科書?數(shù)學(xué)》必修5第3章第4節(jié)第1課時(shí)的內(nèi)容，主要研究基本不等式及其推導(dǎo)過程。

本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了不等式、一元二次不等式基礎(chǔ)上的一節(jié)課，它是學(xué)生學(xué)習(xí)的第一個(gè)重要不等式，它加深了學(xué)生對不等量關(guān)系的理解，為基本不等式應(yīng)用的學(xué)習(xí)提供了知識(shí)鋪墊。同時(shí)，其研究方法滲透了研究重要不等是的基本方法，為后續(xù)研究柯西不等式等重要不等式提供了方法儲(chǔ)備與技能鋪墊。教材從趙爽弦圖開始引入，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到中國數(shù)學(xué)的輝煌歷史，同時(shí)蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)換等數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)了學(xué)生推理論證，抽象概括等能力。

二、學(xué)習(xí)者分析

從已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)來看，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了不等式、一元二次不等式等相關(guān)知識(shí)；從已有能力來看，學(xué)生已經(jīng)初步具備了觀察分析，抽象概括等能力。但是在學(xué)習(xí)新的不等式時(shí)，仍會(huì)存在一定的思維障礙，如不能給出基本不等式的準(zhǔn)確推導(dǎo)等。

三、教學(xué)目標(biāo)分析

1、知識(shí)與技能：掌握兩種重要等式的形式及其成立的條件；會(huì)說明基本不等式的代數(shù)推

導(dǎo)過程；能解釋基本不等式的幾何意義；應(yīng)用基本不等式比較大小，證明其他不等式。

2、過程與方法：在經(jīng)歷觀察，分析，猜想，論證的過程中，探索基本不等式；在利用圖形感知基本不等式的過程中，感受到數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法；在經(jīng)歷不等式的證明過程中，體會(huì)分析法和綜合法的證明思路。

3、情感態(tài)度與價(jià)值觀：在利用趙爽弦圖感知不等式的過程中，感受到數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，增強(qiáng)愛國熱情；在探索基本不等式幾何意義的過程中，感受到數(shù)與形的辯證統(tǒng)一；在應(yīng)用基本不等式的過程中，體會(huì)到數(shù)學(xué)的對稱美與簡潔美；

四、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：掌握基本不等式的形式；能說明基本不等式的推導(dǎo)過程；

教學(xué)難點(diǎn)：應(yīng)用基本不等式。

五、教學(xué)過程

1、探究不等式a2+b2≥2ab

（1）創(chuàng)設(shè)情境，猜想命題1

【情境1】如圖1是在北京召開的第24界國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)

中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，

顏色的明暗使它看上去像一個(gè)風(fēng)車，

代表中國人民熱情好客。

【問1】你能在這圖(圖2）中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？

【師生活動(dòng)】讓學(xué)生獨(dú)立思考，教師點(diǎn)名回答，并且板書，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生從面積的角度尋找不等量關(guān)系。

【教師歸納】（1）AB2=2AE?BE+(AE﹣BE)2=AE2+BE2（勾股定理）

（2）a2+b2≥2ab（重要不等式）

（2）推理論證，證明命題1

【問2】你能對a2+b2≥2ab進(jìn)行嚴(yán)格的證明嗎？并說明該重要不等式中“=”何時(shí)成立？

【師生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立思考，教師點(diǎn)名回答。

【教師歸納】由于(a-b)2=a2+b2-2ab≥0，故a2+b2≥2ab當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，上述不等式取到“=”。

【設(shè)計(jì)意圖】這里主要是介紹一個(gè)重要的不等式a2+b2≥2ab，從趙爽弦圖引入，讓學(xué)生感受到中國數(shù)學(xué)的輝煌歷史的同時(shí)，也蘊(yùn)含這數(shù)形結(jié)合的思想。另一方面該重要不等式的證明，為后續(xù)證明基本不等式做鋪墊。

2、探究基本不等式ab ≤(a+b)/2

（1）創(chuàng)設(shè)情境，猜想命題2

【情境2】現(xiàn)將兩張正方形的紙片沿它們的對角線折成兩個(gè)等腰直角三角形，再用這兩

個(gè)三角形拼接構(gòu)造出一個(gè)矩形（兩邊分別等于兩個(gè)直角三角形的直角邊，多余部分折疊）。

【師生活動(dòng)】學(xué)生自己動(dòng)手構(gòu)造矩形，教師用幾何畫板動(dòng)畫演示如下過程：

【問3】在這一過程中，你能發(fā)現(xiàn)一個(gè)怎樣的不等式？

【師生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立思考，教師點(diǎn)名回答，必要是引導(dǎo)學(xué)生，并且板書。

【教師歸納】若a>0,b>0，則ab ≤(a+b)/2。

【設(shè)計(jì)意圖】在讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐的同時(shí)結(jié)合信息技術(shù)，讓學(xué)生直觀感受基本不等式的同時(shí)進(jìn)

一步認(rèn)識(shí)到數(shù)與形的辯證統(tǒng)一，猜想出基本不等式。

（2）推理論證，證明命題2

【問4】你能對ab ≤(a+b)/2( a>0,b>0)進(jìn)行嚴(yán)格的證明嗎？并說明不等式中“=”何時(shí)成立？

【師生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立思考，教師點(diǎn)名讓學(xué)生板書。

【教師歸納】方法一：（分析法）由于a>0,b>0，要證(a+b)/2≥ ab，只需證(a)2+(b)2≥2ab,即證 (a)2+(b)2-2ab≥0，即證(a-b)2≥0，顯然成立。故(a+b)/2≥ ab。有上述證明過程可知當(dāng)a=b時(shí)，“=”成立。

方法二：（綜合法）由于x2+y2≥2xy，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取到“=”，令x=a，y=b代入上式有(a)2+(b)2≥2ab，即a+b≥2ab，證得 (a+b)/2≥ ab當(dāng)且僅當(dāng)a=b，即a=b時(shí)取到“=”。

【設(shè)計(jì)意圖】通過讓學(xué)生演示分析法與綜合法的證明，更好的體會(huì)這兩種方法的思想，同時(shí)加深對基本不等式的理解

3、明確不等式

（1）兩個(gè)不等式：①a2+b2≥2ab ("a∈R，b∈R)。②ab ≤(a+b)/2( a>0,b>0)————基本不等式。

（2）基本不等式的文字描述

【問5】我們常把(a+b)/2叫做算數(shù)平均數(shù)，把a(bǔ)b 叫做幾何平均數(shù)，如何用文字語言來描述基本不等式？

【師生活動(dòng)】學(xué)生思考，教師點(diǎn)名回答。

【教師歸納】正數(shù)的算數(shù)平均數(shù)不小于他們的幾何平均數(shù)。

（3）基本不等式的條件分析

【問6】為什么在基本不等式中要求a>0,b>0？

【師生活動(dòng)】學(xué)生思考，教師點(diǎn)名回答。

【教師歸納】 要使ab 有意義，則ab>0，若a<0,b<0，不等式左邊<0，右邊>0，顯然該不等式不成立，故a>0,b>0。

（4）基本不等式的幾何意義。

【問7】如圖3，AB是圓的直徑，點(diǎn)C

是AB上一點(diǎn)，AC=a，BC=b，過點(diǎn)C作垂

直于AB的弦DE，連接AD,BD，

你能利用這個(gè)圖形得出基本不等

式的幾何意義嗎？

【師生活動(dòng)】教師引導(dǎo)學(xué)生求出CD，讓學(xué)生獨(dú)立思考，教師點(diǎn)名回答。

【教師歸納】CD=ab 為半弦長，AB=a+b為直徑，(a+b)/2為半徑。由于(a+b)/2≥ ab，故在圓中，直徑不小于半弦長。

（一）運(yùn)用不等式

【例1】（1）已知都是正數(shù)，求證x/y+y/x≥2；（2）已知x>1，求證x+4/(x-1) ≥5。

【師生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立思考，教師點(diǎn)名回答，做適當(dāng)引導(dǎo)，并且板書

【解答】(1)∵x>0,y>0, ∴x/y>0,y/x>0, ∴x/y+y/x≥2(x/y)?(y/x) =2

(2)∵x>1∴x-1>0,∴x+4/(x-1)=x-1+4 /(x-1)+1≥2(x-1)?4/(x-1)+1=5

【設(shè)計(jì)意圖】涉及應(yīng)用基本不等式證明其他簡單的不等式。

【例2】已知a>b>1,P=loga?logb ,Q=(loga +logb)/2,R=log((a+b)/2)試比較P,Q,R 的大小。

【師生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立思考，教師點(diǎn)名回答，做適當(dāng)引導(dǎo)，并且板書

【解答】∵ a>b>1,∴l(xiāng)oga>logb>0,∴Q=(loga +logb)/2 ≥loga?logb =P

∵Q=(loga +logb)/2=(logab)/2=logab 且(a+b)/2≥ab ∴R=log((a+b)/2)>logab =Q

故R>Q>P.

【教師歸納】在應(yīng)用基本不等式時(shí)要注意一下三點(diǎn)：

一正：a>0,b>0；二定：ab（或a+b）為定值；三相等：當(dāng)且僅當(dāng)a=b是取到“=”。

【設(shè)計(jì)意圖】涉及應(yīng)用基本不等式比較大小，通過教師歸納加深學(xué)生對基本不等式使用條件及注意點(diǎn)的印象。

【變式】已知a、b是正數(shù)，試比較2/(1/a+1/b)與ab 的大小。

【師生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立思考，教師點(diǎn)名讓學(xué)生板書

【解答】∵a>0,b>0∴1/a>0,1/b>0∴1/a+1/b ≥21/a?1/b ,故2/(1/a+1/b) ≤2/(21/a?1/b )=ab

（5）課堂小結(jié)

【問】在本節(jié)課中有什么收獲？

【師生活動(dòng)】學(xué)生思考，教師點(diǎn)名回答，并且補(bǔ)充歸納

【教師歸納】1.兩個(gè)重要不等式：①a2+b2≥2ab ("a∈R，b∈R)。 ②ab ≤(a+b)/2 ( a>0,b>0)

2.用綜合法與分析法證明基本不等式；

3.利用基本不等證明其他不等式，比較大小等。

六、板書設(shè)計(jì)

§3.4.1基本不等式

四．基本不等式的證明

方法一：（分析法）

方法二：（綜合法） 例1

例2

變式