培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性

姜明

思維嚴(yán)密性是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的主要特點(diǎn)之一，思維的嚴(yán)密性包含了思維的科學(xué)性、辯證性、深刻性和邏輯性。由于受認(rèn)知水平和年齡特征等因素的影響，初中生在進(jìn)行數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的過(guò)程中常常出現(xiàn)思維不嚴(yán)密現(xiàn)象，因此需要在數(shù)學(xué)教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)中努力培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性。

一、在變式教學(xué)中培養(yǎng)思維嚴(yán)密性

變式教學(xué)是應(yīng)用變式題進(jìn)行教學(xué)。在變式教學(xué)中，可以對(duì)原題的題設(shè)進(jìn)行變式，也可以對(duì)原題的結(jié)論進(jìn)行變式。變式教學(xué)必須抓住問(wèn)題的核心內(nèi)容適當(dāng)進(jìn)行變式，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注問(wèn)題的不同方面、轉(zhuǎn)化觀察問(wèn)題的不同角度及感受問(wèn)題的不同深度，從而引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)變化中不變的本質(zhì)，適應(yīng)數(shù)學(xué)問(wèn)題的不斷變化，加深對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解，提高思維的嚴(yán)密性。

【例1】如圖1，△ABC的角平分線BD和CD交于點(diǎn)D，試猜想∠BDC和∠A的關(guān)系，并說(shuō)明理由。

為了進(jìn)一步讓學(xué)生感受三角形角平分線的夾角與三角形內(nèi)角的關(guān)系，可以對(duì)上述原題的題設(shè)進(jìn)行變式，從而得到以下變?cè)囶}：

變式1：如圖2，△ABC的外角平分線BD和CD交于點(diǎn)D，試猜想∠BDC和∠A的關(guān)系，并說(shuō)明理由。

變式2：如圖3，已知△ABC，∠ABC的內(nèi)角平分線BD和∠ACB的外角平分線CD交于點(diǎn)D，試猜想∠BDC和∠A的關(guān)系，并說(shuō)明理由。

通過(guò)原題和兩個(gè)變式題的練習(xí)，讓學(xué)生分別感受由兩條內(nèi)角平分線構(gòu)成的鈍角與∠A的關(guān)系，由兩條外角平分線構(gòu)成的銳角與∠A的關(guān)系，由一條內(nèi)角平分線和一條外角平分線構(gòu)成的銳角與∠A的關(guān)系，從而使學(xué)生能活用三角形的內(nèi)角和定理與三角形外角定理，加深對(duì)此類(lèi)問(wèn)題的理解，發(fā)現(xiàn)這些變式題之間的實(shí)質(zhì)聯(lián)系，進(jìn)而提高解決問(wèn)題的能力，提高思維的嚴(yán)密性。

二、在計(jì)算教學(xué)中培養(yǎng)思維嚴(yán)密性

計(jì)算教學(xué)中，既要培養(yǎng)學(xué)生解題的基本技能，又要培養(yǎng)學(xué)生挖掘隱含條件的能力。所謂“隱含條件”，是相對(duì)“顯條件”而言的，是數(shù)學(xué)問(wèn)題中已知條件（顯條件）沒(méi)有明確表明，且對(duì)解決問(wèn)題至關(guān)重要的一些條件，如數(shù)學(xué)中的性質(zhì)、公式、定理等。如果在解題中由于思維的不嚴(yán)密，忽視這些隱含條件，往往會(huì)造成解答的不完整。

【例2】已知x1，x2，是關(guān)于x的方程■x2-（m+1）x+m2+m=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且S=x21+x22，當(dāng)m為何值時(shí)，S有最小值？最小值是多少？

學(xué)生錯(cuò)解：根據(jù)題意知x1+x2=4（m+1），x1x2=4（m2+m），所以S=x21+x22=（x1+x2）2-2x1x2=[4（m+1）]2-8（m2+m）=m+■2-2，當(dāng)m=-■時(shí)，S有最小值-2。

上述解答過(guò)程看似正確，但從結(jié)果看，S=x21+x22的值不能為負(fù)數(shù)，因此解答有誤，錯(cuò)解忽視了參數(shù)m的取值范圍。根據(jù)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根得到“?駐≥0”這個(gè)隱含條件，知（m+1）2-4×■（m2+m）≥0，進(jìn)而解得m≥-1，由上解知二次函數(shù)S=8m+■2-2圖像的對(duì)稱(chēng)軸為m=-■，當(dāng)m≥-1時(shí)，S隨自變量m的增大而增大，所以當(dāng)m=-1時(shí)，有最小值，最小值為S=0。

通過(guò)對(duì)錯(cuò)解的分析，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)了錯(cuò)誤的原因，鍛煉了其挖掘隱含條件的能力，提高了學(xué)生思維的嚴(yán)密性。

三、在證明教學(xué)中培養(yǎng)思維嚴(yán)密性

幾何證明教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生找到題目中題設(shè)與結(jié)論之間因果關(guān)系的關(guān)聯(lián)所在，對(duì)這種因果關(guān)系進(jìn)行有條理、有層次、有系統(tǒng)、有步驟的說(shuō)明，如果在某一步驟的說(shuō)明上因?yàn)樗季S的不嚴(yán)密出現(xiàn)了脫節(jié)，就會(huì)造成推理論證的不嚴(yán)密性。因此，在幾何證明教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)題目進(jìn)行正確、全面的分析，在書(shū)寫(xiě)證明過(guò)程之前要弄清楚哪些需要證明，哪些不需要證明，哪些需要先證明，哪些需要后證明，這些都弄清楚之后再書(shū)寫(xiě)證明過(guò)程，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性。

【例3】在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，邊AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，連接BE，求證：BE是△DEC外接圓的切線。

學(xué)生錯(cuò)解：如圖4所示，取CD的中點(diǎn)O，連接OE，∵OC=OE，∴∠OEC=∠C=30°，∴∠DOE+∠C=60°，∵DE為AC的垂直平分線，∴E為AC的中點(diǎn)，又∵∠ABC=90°，∴BE=CE，∴∠EBC=∠C=30°，∴∠BEO=180°-（∠EBC+∠DOE）=90°，又∵OE為半徑，∴BE是△DEC外接圓的切線。

上述解法忽視了一個(gè)需要證明的條件：DC為△DEC外接圓的直徑，DC的中點(diǎn)是圓心。造成這種現(xiàn)象的原因在于學(xué)生對(duì)定理“90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑”題設(shè)與結(jié)論的關(guān)系理解上存在“想當(dāng)然”。在學(xué)生心中，“有圓就有直徑”的觀念非常清晰，而且題目中有條件，所以CD是直徑就不用證明了。然而作為幾何證明題，要根據(jù)公理和定理進(jìn)行嚴(yán)格的推理論證，即使是簡(jiǎn)單的結(jié)論，也要進(jìn)行推理證明。

通過(guò)對(duì)錯(cuò)解的分析，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)了思維的缺陷，明白了簡(jiǎn)單的結(jié)論也要證明，培養(yǎng)了思維的嚴(yán)密性。

四、在試卷講評(píng)中培養(yǎng)思維嚴(yán)密性

數(shù)學(xué)試卷講評(píng)課是學(xué)生在考試之后，教師對(duì)其講解、分析和評(píng)價(jià)的一種課型，可對(duì)學(xué)生已學(xué)的知識(shí)起矯正、鞏固、充實(shí)、完善和深化的重要作用，是知識(shí)的再整理、再綜合、再運(yùn)用的過(guò)程，也是尋找學(xué)生失分的原因和思維誤區(qū)的過(guò)程。在講評(píng)課上可以與學(xué)生對(duì)話，暴露學(xué)生解答失分題目時(shí)的思路，分析產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因，尋找思維不嚴(yán)密之處，并進(jìn)行有針對(duì)性講評(píng)，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性，提高其解題能力。

【例4】已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=-x2+ax（a>0），點(diǎn)A（n，y1）和B（n+1，y2）都在二次函數(shù)的圖像上，其中n為正整數(shù)，y1=y2，請(qǐng)說(shuō)明a必為奇數(shù)。

在課堂上，我先讓一位學(xué)生說(shuō)了他的解答，學(xué)生默認(rèn)為a是整數(shù)，于是我提示他是不是認(rèn)為a如果不是奇數(shù)就是偶數(shù)？可能是小數(shù)嗎？他恍然大悟。

在講評(píng)課上，教師不要急于指出學(xué)生的錯(cuò)誤，最好通過(guò)與學(xué)生的對(duì)話并進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤和思維的誤區(qū)，并自己糾正錯(cuò)誤，完善思維，進(jìn)而提高思維的嚴(yán)密性。

五、在編題練習(xí)中培養(yǎng)思維嚴(yán)密性

學(xué)生編題是根據(jù)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，在給出某個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的基礎(chǔ)上，進(jìn)行再加工、再創(chuàng)造后，編擬出新的數(shù)學(xué)問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的分析能力、聯(lián)想能力、綜合能力以及思維的靈活性。同時(shí)，由于學(xué)生知識(shí)面不廣泛以及思維缺乏嚴(yán)密性，在編題時(shí)會(huì)出現(xiàn)一些錯(cuò)題，教師應(yīng)針對(duì)學(xué)生編題的具體情況進(jìn)行有針對(duì)性的指導(dǎo)，找出因思維不嚴(yán)密而造成的不當(dāng)之處，提高編題的有效性。

【例5】在復(fù)習(xí)應(yīng)用題時(shí)，教師設(shè)計(jì)了這樣的題目：大賀卡3元/張，小賀卡2元/張，請(qǐng)你添加合理的情境和數(shù)據(jù)，使之成為一個(gè)完整的實(shí)際問(wèn)題，并能運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)來(lái)解決?，F(xiàn)摘錄學(xué)生編制的一個(gè)題目。

學(xué)生：小明“五一”節(jié)去超市買(mǎi)賀卡12張，其中大賀卡3元/張，小賀卡2元/張，付了30元找回7元，問(wèn)小明買(mǎi)了幾張大賀卡?

對(duì)于該生編錯(cuò)的題目，我請(qǐng)?jiān)撋ㄟ^(guò)計(jì)算答案反思問(wèn)題原因，從而解決了編題中的錯(cuò)誤。

通過(guò)編題練習(xí)，學(xué)生明白了編題要目的明確、表述清楚、準(zhǔn)確無(wú)誤、設(shè)問(wèn)可解、符合實(shí)際、全面考慮，有效培養(yǎng)了學(xué)生思維的嚴(yán)密性。

（責(zé)任編輯 劉 穎）

思維嚴(yán)密性是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的主要特點(diǎn)之一，思維的嚴(yán)密性包含了思維的科學(xué)性、辯證性、深刻性和邏輯性。由于受認(rèn)知水平和年齡特征等因素的影響，初中生在進(jìn)行數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的過(guò)程中常常出現(xiàn)思維不嚴(yán)密現(xiàn)象，因此需要在數(shù)學(xué)教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)中努力培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性。

一、在變式教學(xué)中培養(yǎng)思維嚴(yán)密性

變式教學(xué)是應(yīng)用變式題進(jìn)行教學(xué)。在變式教學(xué)中，可以對(duì)原題的題設(shè)進(jìn)行變式，也可以對(duì)原題的結(jié)論進(jìn)行變式。變式教學(xué)必須抓住問(wèn)題的核心內(nèi)容適當(dāng)進(jìn)行變式，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注問(wèn)題的不同方面、轉(zhuǎn)化觀察問(wèn)題的不同角度及感受問(wèn)題的不同深度，從而引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)變化中不變的本質(zhì)，適應(yīng)數(shù)學(xué)問(wèn)題的不斷變化，加深對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解，提高思維的嚴(yán)密性。

【例1】如圖1，△ABC的角平分線BD和CD交于點(diǎn)D，試猜想∠BDC和∠A的關(guān)系，并說(shuō)明理由。

為了進(jìn)一步讓學(xué)生感受三角形角平分線的夾角與三角形內(nèi)角的關(guān)系，可以對(duì)上述原題的題設(shè)進(jìn)行變式，從而得到以下變?cè)囶}：

變式1：如圖2，△ABC的外角平分線BD和CD交于點(diǎn)D，試猜想∠BDC和∠A的關(guān)系，并說(shuō)明理由。

變式2：如圖3，已知△ABC，∠ABC的內(nèi)角平分線BD和∠ACB的外角平分線CD交于點(diǎn)D，試猜想∠BDC和∠A的關(guān)系，并說(shuō)明理由。

通過(guò)原題和兩個(gè)變式題的練習(xí)，讓學(xué)生分別感受由兩條內(nèi)角平分線構(gòu)成的鈍角與∠A的關(guān)系，由兩條外角平分線構(gòu)成的銳角與∠A的關(guān)系，由一條內(nèi)角平分線和一條外角平分線構(gòu)成的銳角與∠A的關(guān)系，從而使學(xué)生能活用三角形的內(nèi)角和定理與三角形外角定理，加深對(duì)此類(lèi)問(wèn)題的理解，發(fā)現(xiàn)這些變式題之間的實(shí)質(zhì)聯(lián)系，進(jìn)而提高解決問(wèn)題的能力，提高思維的嚴(yán)密性。

二、在計(jì)算教學(xué)中培養(yǎng)思維嚴(yán)密性

計(jì)算教學(xué)中，既要培養(yǎng)學(xué)生解題的基本技能，又要培養(yǎng)學(xué)生挖掘隱含條件的能力。所謂“隱含條件”，是相對(duì)“顯條件”而言的，是數(shù)學(xué)問(wèn)題中已知條件（顯條件）沒(méi)有明確表明，且對(duì)解決問(wèn)題至關(guān)重要的一些條件，如數(shù)學(xué)中的性質(zhì)、公式、定理等。如果在解題中由于思維的不嚴(yán)密，忽視這些隱含條件，往往會(huì)造成解答的不完整。

【例2】已知x1，x2，是關(guān)于x的方程■x2-（m+1）x+m2+m=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且S=x21+x22，當(dāng)m為何值時(shí)，S有最小值？最小值是多少？

學(xué)生錯(cuò)解：根據(jù)題意知x1+x2=4（m+1），x1x2=4（m2+m），所以S=x21+x22=（x1+x2）2-2x1x2=[4（m+1）]2-8（m2+m）=m+■2-2，當(dāng)m=-■時(shí)，S有最小值-2。

上述解答過(guò)程看似正確，但從結(jié)果看，S=x21+x22的值不能為負(fù)數(shù)，因此解答有誤，錯(cuò)解忽視了參數(shù)m的取值范圍。根據(jù)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根得到“?駐≥0”這個(gè)隱含條件，知（m+1）2-4×■（m2+m）≥0，進(jìn)而解得m≥-1，由上解知二次函數(shù)S=8m+■2-2圖像的對(duì)稱(chēng)軸為m=-■，當(dāng)m≥-1時(shí)，S隨自變量m的增大而增大，所以當(dāng)m=-1時(shí)，有最小值，最小值為S=0。

通過(guò)對(duì)錯(cuò)解的分析，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)了錯(cuò)誤的原因，鍛煉了其挖掘隱含條件的能力，提高了學(xué)生思維的嚴(yán)密性。

三、在證明教學(xué)中培養(yǎng)思維嚴(yán)密性

幾何證明教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生找到題目中題設(shè)與結(jié)論之間因果關(guān)系的關(guān)聯(lián)所在，對(duì)這種因果關(guān)系進(jìn)行有條理、有層次、有系統(tǒng)、有步驟的說(shuō)明，如果在某一步驟的說(shuō)明上因?yàn)樗季S的不嚴(yán)密出現(xiàn)了脫節(jié)，就會(huì)造成推理論證的不嚴(yán)密性。因此，在幾何證明教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)題目進(jìn)行正確、全面的分析，在書(shū)寫(xiě)證明過(guò)程之前要弄清楚哪些需要證明，哪些不需要證明，哪些需要先證明，哪些需要后證明，這些都弄清楚之后再書(shū)寫(xiě)證明過(guò)程，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性。

【例3】在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，邊AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，連接BE，求證：BE是△DEC外接圓的切線。

學(xué)生錯(cuò)解：如圖4所示，取CD的中點(diǎn)O，連接OE，∵OC=OE，∴∠OEC=∠C=30°，∴∠DOE+∠C=60°，∵DE為AC的垂直平分線，∴E為AC的中點(diǎn)，又∵∠ABC=90°，∴BE=CE，∴∠EBC=∠C=30°，∴∠BEO=180°-（∠EBC+∠DOE）=90°，又∵OE為半徑，∴BE是△DEC外接圓的切線。

上述解法忽視了一個(gè)需要證明的條件：DC為△DEC外接圓的直徑，DC的中點(diǎn)是圓心。造成這種現(xiàn)象的原因在于學(xué)生對(duì)定理“90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑”題設(shè)與結(jié)論的關(guān)系理解上存在“想當(dāng)然”。在學(xué)生心中，“有圓就有直徑”的觀念非常清晰，而且題目中有條件，所以CD是直徑就不用證明了。然而作為幾何證明題，要根據(jù)公理和定理進(jìn)行嚴(yán)格的推理論證，即使是簡(jiǎn)單的結(jié)論，也要進(jìn)行推理證明。

通過(guò)對(duì)錯(cuò)解的分析，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)了思維的缺陷，明白了簡(jiǎn)單的結(jié)論也要證明，培養(yǎng)了思維的嚴(yán)密性。

四、在試卷講評(píng)中培養(yǎng)思維嚴(yán)密性

數(shù)學(xué)試卷講評(píng)課是學(xué)生在考試之后，教師對(duì)其講解、分析和評(píng)價(jià)的一種課型，可對(duì)學(xué)生已學(xué)的知識(shí)起矯正、鞏固、充實(shí)、完善和深化的重要作用，是知識(shí)的再整理、再綜合、再運(yùn)用的過(guò)程，也是尋找學(xué)生失分的原因和思維誤區(qū)的過(guò)程。在講評(píng)課上可以與學(xué)生對(duì)話，暴露學(xué)生解答失分題目時(shí)的思路，分析產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因，尋找思維不嚴(yán)密之處，并進(jìn)行有針對(duì)性講評(píng)，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性，提高其解題能力。

【例4】已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=-x2+ax（a>0），點(diǎn)A（n，y1）和B（n+1，y2）都在二次函數(shù)的圖像上，其中n為正整數(shù)，y1=y2，請(qǐng)說(shuō)明a必為奇數(shù)。

在課堂上，我先讓一位學(xué)生說(shuō)了他的解答，學(xué)生默認(rèn)為a是整數(shù)，于是我提示他是不是認(rèn)為a如果不是奇數(shù)就是偶數(shù)？可能是小數(shù)嗎？他恍然大悟。

在講評(píng)課上，教師不要急于指出學(xué)生的錯(cuò)誤，最好通過(guò)與學(xué)生的對(duì)話并進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤和思維的誤區(qū)，并自己糾正錯(cuò)誤，完善思維，進(jìn)而提高思維的嚴(yán)密性。

五、在編題練習(xí)中培養(yǎng)思維嚴(yán)密性

學(xué)生編題是根據(jù)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，在給出某個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的基礎(chǔ)上，進(jìn)行再加工、再創(chuàng)造后，編擬出新的數(shù)學(xué)問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的分析能力、聯(lián)想能力、綜合能力以及思維的靈活性。同時(shí)，由于學(xué)生知識(shí)面不廣泛以及思維缺乏嚴(yán)密性，在編題時(shí)會(huì)出現(xiàn)一些錯(cuò)題，教師應(yīng)針對(duì)學(xué)生編題的具體情況進(jìn)行有針對(duì)性的指導(dǎo)，找出因思維不嚴(yán)密而造成的不當(dāng)之處，提高編題的有效性。

【例5】在復(fù)習(xí)應(yīng)用題時(shí)，教師設(shè)計(jì)了這樣的題目：大賀卡3元/張，小賀卡2元/張，請(qǐng)你添加合理的情境和數(shù)據(jù)，使之成為一個(gè)完整的實(shí)際問(wèn)題，并能運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)來(lái)解決?，F(xiàn)摘錄學(xué)生編制的一個(gè)題目。

學(xué)生：小明“五一”節(jié)去超市買(mǎi)賀卡12張，其中大賀卡3元/張，小賀卡2元/張，付了30元找回7元，問(wèn)小明買(mǎi)了幾張大賀卡?

對(duì)于該生編錯(cuò)的題目，我請(qǐng)?jiān)撋ㄟ^(guò)計(jì)算答案反思問(wèn)題原因，從而解決了編題中的錯(cuò)誤。

通過(guò)編題練習(xí)，學(xué)生明白了編題要目的明確、表述清楚、準(zhǔn)確無(wú)誤、設(shè)問(wèn)可解、符合實(shí)際、全面考慮，有效培養(yǎng)了學(xué)生思維的嚴(yán)密性。

（責(zé)任編輯 劉 穎）

思維嚴(yán)密性是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的主要特點(diǎn)之一，思維的嚴(yán)密性包含了思維的科學(xué)性、辯證性、深刻性和邏輯性。由于受認(rèn)知水平和年齡特征等因素的影響，初中生在進(jìn)行數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的過(guò)程中常常出現(xiàn)思維不嚴(yán)密現(xiàn)象，因此需要在數(shù)學(xué)教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)中努力培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性。

一、在變式教學(xué)中培養(yǎng)思維嚴(yán)密性

變式教學(xué)是應(yīng)用變式題進(jìn)行教學(xué)。在變式教學(xué)中，可以對(duì)原題的題設(shè)進(jìn)行變式，也可以對(duì)原題的結(jié)論進(jìn)行變式。變式教學(xué)必須抓住問(wèn)題的核心內(nèi)容適當(dāng)進(jìn)行變式，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注問(wèn)題的不同方面、轉(zhuǎn)化觀察問(wèn)題的不同角度及感受問(wèn)題的不同深度，從而引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)變化中不變的本質(zhì)，適應(yīng)數(shù)學(xué)問(wèn)題的不斷變化，加深對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解，提高思維的嚴(yán)密性。

【例1】如圖1，△ABC的角平分線BD和CD交于點(diǎn)D，試猜想∠BDC和∠A的關(guān)系，并說(shuō)明理由。

為了進(jìn)一步讓學(xué)生感受三角形角平分線的夾角與三角形內(nèi)角的關(guān)系，可以對(duì)上述原題的題設(shè)進(jìn)行變式，從而得到以下變?cè)囶}：

變式1：如圖2，△ABC的外角平分線BD和CD交于點(diǎn)D，試猜想∠BDC和∠A的關(guān)系，并說(shuō)明理由。

變式2：如圖3，已知△ABC，∠ABC的內(nèi)角平分線BD和∠ACB的外角平分線CD交于點(diǎn)D，試猜想∠BDC和∠A的關(guān)系，并說(shuō)明理由。

通過(guò)原題和兩個(gè)變式題的練習(xí)，讓學(xué)生分別感受由兩條內(nèi)角平分線構(gòu)成的鈍角與∠A的關(guān)系，由兩條外角平分線構(gòu)成的銳角與∠A的關(guān)系，由一條內(nèi)角平分線和一條外角平分線構(gòu)成的銳角與∠A的關(guān)系，從而使學(xué)生能活用三角形的內(nèi)角和定理與三角形外角定理，加深對(duì)此類(lèi)問(wèn)題的理解，發(fā)現(xiàn)這些變式題之間的實(shí)質(zhì)聯(lián)系，進(jìn)而提高解決問(wèn)題的能力，提高思維的嚴(yán)密性。

二、在計(jì)算教學(xué)中培養(yǎng)思維嚴(yán)密性

計(jì)算教學(xué)中，既要培養(yǎng)學(xué)生解題的基本技能，又要培養(yǎng)學(xué)生挖掘隱含條件的能力。所謂“隱含條件”，是相對(duì)“顯條件”而言的，是數(shù)學(xué)問(wèn)題中已知條件（顯條件）沒(méi)有明確表明，且對(duì)解決問(wèn)題至關(guān)重要的一些條件，如數(shù)學(xué)中的性質(zhì)、公式、定理等。如果在解題中由于思維的不嚴(yán)密，忽視這些隱含條件，往往會(huì)造成解答的不完整。

【例2】已知x1，x2，是關(guān)于x的方程■x2-（m+1）x+m2+m=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且S=x21+x22，當(dāng)m為何值時(shí)，S有最小值？最小值是多少？

學(xué)生錯(cuò)解：根據(jù)題意知x1+x2=4（m+1），x1x2=4（m2+m），所以S=x21+x22=（x1+x2）2-2x1x2=[4（m+1）]2-8（m2+m）=m+■2-2，當(dāng)m=-■時(shí)，S有最小值-2。

上述解答過(guò)程看似正確，但從結(jié)果看，S=x21+x22的值不能為負(fù)數(shù)，因此解答有誤，錯(cuò)解忽視了參數(shù)m的取值范圍。根據(jù)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根得到“?駐≥0”這個(gè)隱含條件，知（m+1）2-4×■（m2+m）≥0，進(jìn)而解得m≥-1，由上解知二次函數(shù)S=8m+■2-2圖像的對(duì)稱(chēng)軸為m=-■，當(dāng)m≥-1時(shí)，S隨自變量m的增大而增大，所以當(dāng)m=-1時(shí)，有最小值，最小值為S=0。

通過(guò)對(duì)錯(cuò)解的分析，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)了錯(cuò)誤的原因，鍛煉了其挖掘隱含條件的能力，提高了學(xué)生思維的嚴(yán)密性。

三、在證明教學(xué)中培養(yǎng)思維嚴(yán)密性

幾何證明教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生找到題目中題設(shè)與結(jié)論之間因果關(guān)系的關(guān)聯(lián)所在，對(duì)這種因果關(guān)系進(jìn)行有條理、有層次、有系統(tǒng)、有步驟的說(shuō)明，如果在某一步驟的說(shuō)明上因?yàn)樗季S的不嚴(yán)密出現(xiàn)了脫節(jié)，就會(huì)造成推理論證的不嚴(yán)密性。因此，在幾何證明教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)題目進(jìn)行正確、全面的分析，在書(shū)寫(xiě)證明過(guò)程之前要弄清楚哪些需要證明，哪些不需要證明，哪些需要先證明，哪些需要后證明，這些都弄清楚之后再書(shū)寫(xiě)證明過(guò)程，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性。

【例3】在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，邊AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，連接BE，求證：BE是△DEC外接圓的切線。

學(xué)生錯(cuò)解：如圖4所示，取CD的中點(diǎn)O，連接OE，∵OC=OE，∴∠OEC=∠C=30°，∴∠DOE+∠C=60°，∵DE為AC的垂直平分線，∴E為AC的中點(diǎn)，又∵∠ABC=90°，∴BE=CE，∴∠EBC=∠C=30°，∴∠BEO=180°-（∠EBC+∠DOE）=90°，又∵OE為半徑，∴BE是△DEC外接圓的切線。

上述解法忽視了一個(gè)需要證明的條件：DC為△DEC外接圓的直徑，DC的中點(diǎn)是圓心。造成這種現(xiàn)象的原因在于學(xué)生對(duì)定理“90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑”題設(shè)與結(jié)論的關(guān)系理解上存在“想當(dāng)然”。在學(xué)生心中，“有圓就有直徑”的觀念非常清晰，而且題目中有條件，所以CD是直徑就不用證明了。然而作為幾何證明題，要根據(jù)公理和定理進(jìn)行嚴(yán)格的推理論證，即使是簡(jiǎn)單的結(jié)論，也要進(jìn)行推理證明。

通過(guò)對(duì)錯(cuò)解的分析，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)了思維的缺陷，明白了簡(jiǎn)單的結(jié)論也要證明，培養(yǎng)了思維的嚴(yán)密性。

四、在試卷講評(píng)中培養(yǎng)思維嚴(yán)密性

數(shù)學(xué)試卷講評(píng)課是學(xué)生在考試之后，教師對(duì)其講解、分析和評(píng)價(jià)的一種課型，可對(duì)學(xué)生已學(xué)的知識(shí)起矯正、鞏固、充實(shí)、完善和深化的重要作用，是知識(shí)的再整理、再綜合、再運(yùn)用的過(guò)程，也是尋找學(xué)生失分的原因和思維誤區(qū)的過(guò)程。在講評(píng)課上可以與學(xué)生對(duì)話，暴露學(xué)生解答失分題目時(shí)的思路，分析產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因，尋找思維不嚴(yán)密之處，并進(jìn)行有針對(duì)性講評(píng)，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性，提高其解題能力。

【例4】已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=-x2+ax（a>0），點(diǎn)A（n，y1）和B（n+1，y2）都在二次函數(shù)的圖像上，其中n為正整數(shù)，y1=y2，請(qǐng)說(shuō)明a必為奇數(shù)。

在課堂上，我先讓一位學(xué)生說(shuō)了他的解答，學(xué)生默認(rèn)為a是整數(shù)，于是我提示他是不是認(rèn)為a如果不是奇數(shù)就是偶數(shù)？可能是小數(shù)嗎？他恍然大悟。

在講評(píng)課上，教師不要急于指出學(xué)生的錯(cuò)誤，最好通過(guò)與學(xué)生的對(duì)話并進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤和思維的誤區(qū)，并自己糾正錯(cuò)誤，完善思維，進(jìn)而提高思維的嚴(yán)密性。

五、在編題練習(xí)中培養(yǎng)思維嚴(yán)密性

學(xué)生編題是根據(jù)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，在給出某個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的基礎(chǔ)上，進(jìn)行再加工、再創(chuàng)造后，編擬出新的數(shù)學(xué)問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的分析能力、聯(lián)想能力、綜合能力以及思維的靈活性。同時(shí)，由于學(xué)生知識(shí)面不廣泛以及思維缺乏嚴(yán)密性，在編題時(shí)會(huì)出現(xiàn)一些錯(cuò)題，教師應(yīng)針對(duì)學(xué)生編題的具體情況進(jìn)行有針對(duì)性的指導(dǎo)，找出因思維不嚴(yán)密而造成的不當(dāng)之處，提高編題的有效性。

【例5】在復(fù)習(xí)應(yīng)用題時(shí)，教師設(shè)計(jì)了這樣的題目：大賀卡3元/張，小賀卡2元/張，請(qǐng)你添加合理的情境和數(shù)據(jù)，使之成為一個(gè)完整的實(shí)際問(wèn)題，并能運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)來(lái)解決?，F(xiàn)摘錄學(xué)生編制的一個(gè)題目。

學(xué)生：小明“五一”節(jié)去超市買(mǎi)賀卡12張，其中大賀卡3元/張，小賀卡2元/張，付了30元找回7元，問(wèn)小明買(mǎi)了幾張大賀卡?

對(duì)于該生編錯(cuò)的題目，我請(qǐng)?jiān)撋ㄟ^(guò)計(jì)算答案反思問(wèn)題原因，從而解決了編題中的錯(cuò)誤。

通過(guò)編題練習(xí)，學(xué)生明白了編題要目的明確、表述清楚、準(zhǔn)確無(wú)誤、設(shè)問(wèn)可解、符合實(shí)際、全面考慮，有效培養(yǎng)了學(xué)生思維的嚴(yán)密性。

（責(zé)任編輯 劉 穎）