多邊形的外角和與邊數(shù)無關(guān)性質(zhì)的新證

毋桂萍

中學(xué)教材中在推導(dǎo)多邊形的內(nèi)角和及外角和的計(jì)算公式時(shí)，一般采用下列步驟：

首先將一個(gè)n邊形分成（n-2）個(gè)三角形，從而得到n邊形的內(nèi)角和為（n-2）180°。

再由相鄰?fù)饨桥c內(nèi)角的互補(bǔ)關(guān)系得到n邊形的外角和恒為360°的結(jié)論，從而也間接地證明了多邊形的外角和與其邊數(shù)多少無關(guān)的這一重要性質(zhì)。

但是，由上述方法得到的外角和性質(zhì)，主要是通過代數(shù)演算而得到的，致使學(xué)生甚至一部分教師很難從幾何意義上徹底理解。為了向?qū)W生說明其幾何意義，老師們也絞盡腦汁地進(jìn)行了多種探索，但終是沒能揭示其實(shí)質(zhì)。下面舉兩種常見的解釋方法：

（1）外角變小說：如果一個(gè)多邊形的邊數(shù)增加，則一些內(nèi)角便會(huì)增大，對應(yīng)的外角就會(huì)隨之變小。這時(shí)雖然外角的個(gè)數(shù)增加，但由于一些外角變小，使得外角和保持不變。這種說法不能說明外角個(gè)數(shù)增加與外角度數(shù)變小之間的數(shù)量關(guān)系，因此缺乏說服力。

（2）繞圈說：以圖1為例：將鉛筆尖作為指向，鉛筆的另一端作為始點(diǎn)，先將鉛筆置于圖中多邊形的CD邊上，并沿線段CD指向D點(diǎn)。然后將鉛筆沿線段CD向D點(diǎn)滑移，使始點(diǎn)置于D點(diǎn)，再將鉛筆按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到DE邊上并指向E點(diǎn)，此時(shí)鉛筆轉(zhuǎn)過的角度就是∠D的外角。用同樣的操作方法，將鉛筆的始點(diǎn)依次滑移到E、A、B、C各點(diǎn)并旋轉(zhuǎn)后會(huì)發(fā)現(xiàn)，鉛筆轉(zhuǎn)過的總的角度正好是多邊形的各個(gè)外角之和，而同時(shí)鉛筆也正好旋轉(zhuǎn)了一整周，即360°。于是得到多邊形的外角和恒為360°而與其邊數(shù)無關(guān)的結(jié)論。這一解釋方法，雖然形象直觀地直接得到了多邊形外角和的值，但絲毫沒有提及外角和與邊數(shù)之間的變化過程及其相互關(guān)聯(lián)，因此也不理想。

不過，值得一提的是，上述“繞圈法”的一個(gè)獨(dú)特作用是顛覆本文開頭提到的傳統(tǒng)教材中的“由內(nèi)角和求外角和”的編排順序，改為由外角和求內(nèi)角和：

設(shè)n邊形的各個(gè)內(nèi)角分別為A1，A2，…An，由上面的繞圈法可知n邊形的外角和恒為360°，又由相鄰?fù)饨桥c內(nèi)角的互補(bǔ)關(guān)系，便可以得到計(jì)算n邊形外角和的表達(dá)式為：

于是，得到n邊形的內(nèi)角和的公式：

這便是由多邊形的外角和推得的熟知的多邊形的內(nèi)角和公式。

特別地，當(dāng)n=3時(shí)，就可以得到三角形的內(nèi)角和為180°。

上述有趣的推證方法，還可以作為學(xué)生數(shù)學(xué)課外活動(dòng)的內(nèi)容。

下面給出筆者關(guān)于這一問題的純幾何證明方法。

定理：多邊形的外角和與其邊數(shù)無關(guān)。

證明：需要說明的是，中學(xué)教材中所說的多邊形，都是指簡單的凸多邊形，即各個(gè)內(nèi)角均小于180°的簡單的多邊形。

首先看一種最簡單情況：假設(shè)多邊形只增加了一條邊，為保證增加一條邊后，多邊形仍是凸多邊形，我們可以過原多邊形的相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)，例如A、B兩點(diǎn)，畫一條外凸的弧線（不一定是圓弧），如圖2所示。在弧線上取一點(diǎn)P，連接PA、PB，此時(shí)若將P點(diǎn)作為多邊形的一個(gè)新頂點(diǎn)，則這個(gè)新的多邊形便比原多邊形多了一個(gè)頂點(diǎn)和一條邊，從而也就多了一個(gè)外角∠MPB。同時(shí)，原多邊形在頂點(diǎn)A和點(diǎn)B處的外角也由原來的∠RAB和∠SBA，分別變成∠RAP和∠SBP，分別減小了∠PAB和∠PBA的度數(shù)。

又由于∠MPB同時(shí)也是△PAB的外角，由三角形的外角定理可知：

∠MPB=∠PAB+∠PBA。

這個(gè)等式說明：新多邊形增加的那個(gè)外角∠MPB的度數(shù)，與原來多邊形的兩個(gè)外角∠RAB和∠SBA變成新多邊形的外角后減少的度數(shù)（即∠PAB+∠PBA）正好相等，兩者抵消后，使得新舊兩個(gè)多邊形的外角和相等。這就證明了當(dāng)多邊形增加一條邊后，多邊形的外角和保持不變。

若再增加一條邊，證明的方法相同。就是說，不論多邊形增加多少條邊，其外角之和恒保持不變。（反之，若邊數(shù)減少，證明方法類似，只是順序相反。）

由于中學(xué)數(shù)學(xué)材中研究的是邊數(shù)有限的多邊形，所以，以上步驟就完成了定理的證明。（外角和的值恒為360°的推導(dǎo)，仍可用教材中的方法。）

以上證法的特點(diǎn)是，徹底揭示了問題的本質(zhì)，即：當(dāng)一個(gè)多邊形的邊數(shù)增加（或減少）時(shí)，新增（或減少）的那個(gè)外角的度數(shù)恰同與它相鄰的兩個(gè)外角減少（或增加）的度數(shù)之和相等而互相抵消，使得多邊形邊數(shù)的改變不會(huì)影響其外角和的值（只會(huì)影響其內(nèi)角和的值）。此外，本證法還能從幾何圖形的直觀上看清楚外角之間隨著多邊形邊數(shù)改變的變化情況，使得這一長期困擾師生的難題得到徹底解決。

編輯 李博寧