對(duì)一道復(fù)習(xí)題的解題思路及其答案的探討

戎松魁

《中小學(xué)數(shù)學(xué)》2014年第三期刊登了馬永紅老師的題為《怎能從“確定性”推知“可能性”》一文。該文對(duì)人教版六年級(jí)下冊(cè)課本第六單元（整理與復(fù)習(xí)）中一道復(fù)習(xí)題（練習(xí)二十二的第6題，下簡稱“題6”）進(jìn)行了分析，提出了不少有益的意見。然而馬老師給出的答案仍然是錯(cuò)的，因此筆者認(rèn)為有必要對(duì)此進(jìn)行探討。

一、復(fù)習(xí)題的解題思路及其答案展示

人教版六年級(jí)下冊(cè)課本第113頁上“題6”是這樣的：甲、乙兩個(gè)足球隊(duì)之間近期的5場比賽成績?nèi)缬冶?。如果兩個(gè)隊(duì)現(xiàn)在進(jìn)行一場比賽，請(qǐng)預(yù)測一下哪個(gè)隊(duì)獲勝的可能性大？為什么？

與此課本配套的《教師教學(xué)用書》第165頁上給出了兩種不同的解題思路，并給出了兩個(gè)不同的答案。為了敘述方便，本文中把兩種解題思路分別稱為“解題思路1”和“解題思路2”。

解題思路1：“從兩隊(duì)的歷史戰(zhàn)績來看，各是兩勝一平兩負(fù)，不相上下；從這一點(diǎn)來判斷，兩隊(duì)獲勝的可能性都是二分之一?！?/p>

由此得到的答案是“兩隊(duì)獲勝的可能性相等，都是二分之一?！?/p>

解題思路2：“仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)：在離比賽日最近的兩場比賽中均是乙隊(duì)獲勝，說明最近乙隊(duì)的狀態(tài)好于甲隊(duì)，由此可以預(yù)測：乙隊(duì)獲勝的可能性稍大一點(diǎn)。這種判斷也有一定道理?！?/p>

由此得到的答案是“乙隊(duì)獲勝的可能性稍大一點(diǎn)?！?/p>

馬老師根據(jù)部分教師的教學(xué)實(shí)踐，又補(bǔ)充了兩種解題思路及答案，我們不妨把它們稱為“解題思路3”和“解題思路4”。

解題思路3：“從已經(jīng)結(jié)束的五場比賽的結(jié)果來看，兩隊(duì)各有二勝二負(fù)一平，因此，兩隊(duì)獲勝的場次均占總場次的，兩隊(duì)平局的場次占總場次的”，由此得到答案是“甲、乙兩隊(duì)獲勝的可能性相等，都是?！?/p>

解題思路4：“由于兩隊(duì)比賽，可能出現(xiàn)的結(jié)果共有三種：即甲勝乙負(fù)，甲負(fù)乙勝，甲乙平局，所以，每一種情況均占所有可能出現(xiàn)結(jié)果總數(shù)的，也就是兩隊(duì)獲勝的可能性相等，都是，平局的可能性也是?！?/p>

馬老師認(rèn)為：“前面的四種不同的觀點(diǎn)中，觀點(diǎn)之四是正確的，即甲、乙兩隊(duì)獲勝的可能性相等，都是，其余的三種觀點(diǎn)都是錯(cuò)誤的……”遺憾的是，馬老師并沒有詳細(xì)說明前三種答案為什么是錯(cuò)誤的，而且他認(rèn)為正確的第四種答案其實(shí)也是錯(cuò)誤的。

二、對(duì)各種解題思路及答案的探討

1.在解題思路1中，以兩隊(duì)的戰(zhàn)績不相上下為依據(jù)，斷定兩隊(duì)下一場比賽獲勝的可能性都是二分之一，其錯(cuò)誤是顯然的。錯(cuò)誤主要在于解題者沒有考慮到比賽可能會(huì)有平局的結(jié)果。為了能夠更簡便地說明問題，我們用字母表示兩隊(duì)第六次比賽的三種結(jié)果：A表示事件“甲勝乙負(fù)”，B表示事件“甲負(fù)乙勝”，C表示事件“甲乙平局”，顯然，A、B、C構(gòu)成了一個(gè)完備事件組，因此有P（A）+ P（B）+ P（C）=1，而答案中認(rèn)定P（A）=，P（B）=，由此導(dǎo)致P（C）=0，即第六場比賽一定不會(huì)出現(xiàn)“平局”的結(jié)果，這與事實(shí)不相符。從前五場比賽結(jié)果看，下一場比賽平局的可能性還是不小的。因此，即使下一場比賽中兩隊(duì)獲勝的可能性相同，也不可能都是二分之一。其次，從前三場比賽結(jié)果分析，甲隊(duì)明顯強(qiáng)于乙隊(duì)，雖然從五場比賽的結(jié)果分析，似乎甲、乙兩隊(duì)?wèi)?zhàn)績“不相上下”，但這個(gè)所謂“不相上下”僅僅是從這五場比賽中分析出來的，并不能表示兩隊(duì)實(shí)力完全一樣，兩個(gè)足球隊(duì)的水平很難達(dá)到“完全相同”，從這個(gè)觀點(diǎn)出發(fā)，也難以得出“下一場比賽兩隊(duì)獲勝的可能性都是二分之一”的結(jié)論。事實(shí)是：僅僅根據(jù)這樣的五場比賽的結(jié)果就想把下一場比賽甲隊(duì)（或乙隊(duì)）獲勝的可能性大小用一個(gè)確定的數(shù)（就是甲隊(duì)或乙隊(duì)獲勝的概率）表示出來，可以說是一件不可能的事。

2.在解題思路2中，認(rèn)為乙隊(duì)在最近的兩場比賽中獲勝，狀態(tài)好于甲隊(duì)，因此下一場比賽乙隊(duì)獲勝的可能性會(huì)大一點(diǎn)。這種判斷確實(shí)有一定道理。但是，如果我們換個(gè)角度進(jìn)行分析：“因?yàn)榧住⒁覂申?duì)在五場比賽后的總分相同（足球比賽的積分規(guī)則：勝一場得3分，平局各得1分，輸球不得分。若積分相等，則比較凈勝球數(shù)），然而甲隊(duì)比乙隊(duì)凈勝球多了一個(gè)，因此采用調(diào)整戰(zhàn)略、戰(zhàn)術(shù)等方法后，下一場甲隊(duì)獲勝的可能性會(huì)大一點(diǎn)”?；蛘哒J(rèn)為“甲、乙兩隊(duì)實(shí)力‘不相上下，平局的可能性會(huì)大一點(diǎn)?！边@樣的預(yù)測也是有一定道理的。總之，從不同的角度分析前五場比賽結(jié)果，可以得到不同的預(yù)測結(jié)論。并非只有“乙隊(duì)獲勝可能性會(huì)大一點(diǎn)”一種結(jié)論。

3.在解題思路3中，根據(jù)在五場比賽中兩隊(duì)各有二勝二負(fù)一平而得到兩隊(duì)獲勝的場次均占總場次的，從而得到甲、乙兩隊(duì)獲勝的可能性都是，這個(gè)答案的錯(cuò)誤是明顯的，只要我們重溫一下概率的統(tǒng)計(jì)定義即知其錯(cuò)誤所在。概率的統(tǒng)計(jì)定義是這樣的：“在不變的條件下，重復(fù)進(jìn)行n次試驗(yàn)，事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定地在某一常數(shù)P附近擺動(dòng)。且一般說來，n越大，擺動(dòng)幅度越小，則稱常數(shù)P為事件A的概率，記作P（A）?！?/p>

由此可知，只進(jìn)行五場比賽，是不能將甲隊(duì)（乙隊(duì)）獲勝的頻率當(dāng)作甲隊(duì)（乙隊(duì)）獲勝的概率的。需要特別指出的是，對(duì)于球賽來說，各場比賽并不是在“不變的條件下”進(jìn)行的，連概率統(tǒng)計(jì)定義中的條件都不滿足，因此不能用所謂的“事件發(fā)生的頻率”來表示“事件發(fā)生可能性的大小”。

舉個(gè)例來說，如果連續(xù)5次拋擲一個(gè)均勻的硬幣，發(fā)現(xiàn)有3次正面向上，2次正面向下，顯然我們不能認(rèn)為正面向上的可能性是，向下的可能性是，從而預(yù)測第六次拋擲后出現(xiàn)正面的可能性會(huì)大一點(diǎn)。事實(shí)上，有好幾位數(shù)學(xué)家曾進(jìn)行過拋擲硬幣這種“試驗(yàn)”，他們?cè)趻仈S成千上萬次硬幣后發(fā)現(xiàn)正面向上的頻率接近，而且隨著拋擲次數(shù)增加，頻率越來越接近，從而得到“拋擲一個(gè)均勻的硬幣，正面向上的概率是”的結(jié)論。當(dāng)然，這個(gè)結(jié)論也很容易從概率的古典定義得到。這就是說，不管你是第幾次拋擲一個(gè)均勻的硬幣，正面向上的可能性都是。

4.在解題思路4中，考慮到比賽結(jié)果有A、B、C三種，每種情況均占所有可能出現(xiàn)結(jié)果總數(shù)的，從而認(rèn)為A、B、C三個(gè)事件中每一個(gè)發(fā)生的可能性都是，這是缺乏根據(jù)的。因?yàn)橐玫竭@個(gè)結(jié)論必須要滿足“事件A、B、C發(fā)生的可能性相等”這一條件。馬老師在文章的結(jié)尾處指出：“在求隨機(jī)事件發(fā)生的可能性時(shí)……只能用指定事件所有結(jié)果的數(shù)量除以事件所有可能出現(xiàn)的數(shù)量。”但是用這種方法來確定事件發(fā)生可能性的大小必須滿足“所有可能發(fā)生的事件總數(shù)是有限的，而且各個(gè)事件發(fā)生的可能性是相等的”這樣的條件（古典概型應(yīng)滿足的條件），而對(duì)于足球賽而言，事件A、B、C的發(fā)生并不是等可能性的，因此不能應(yīng)用馬老師所說的方法計(jì)算出A、B、C發(fā)生的概率。這里得到“兩隊(duì)獲勝的可能性相等，都是”的結(jié)論是錯(cuò)誤的。

三、兩點(diǎn)思考

1.像“題6”這樣的習(xí)題出現(xiàn)在小學(xué)數(shù)學(xué)課本中是不合適的。

“題6”以足球比賽為題材，要學(xué)生預(yù)測比賽的結(jié)果。然而由于影響足球比賽勝負(fù)的因素很多，例如球隊(duì)的實(shí)力、球隊(duì)?wèi)?zhàn)略、戰(zhàn)術(shù)的變化，參賽球員的變化等，甚至比賽地點(diǎn)是主場還是客場也會(huì)影響比賽結(jié)果。由此可見，即使是相同球隊(duì)在同一地點(diǎn)的前后兩場比賽，也不能認(rèn)為是在相同條件下進(jìn)行的比賽，在“題6”給出的這種條件下，不同的人從不同的角度進(jìn)行分析，可能會(huì)得出不同的判斷：甲隊(duì)獲勝的可能性大；乙隊(duì)獲勝的可能性大；平局的可能性大。這些判斷看起來都“有一定道理”，但又覺得理由也不太充分?？傊?，比賽結(jié)果A、B、C都有可能發(fā)生，但是究竟哪一個(gè)事件發(fā)生的可能性大是難以斷定的。凡是在預(yù)測中用一個(gè)確定的數(shù)（如本文中所說的、、等）來表示甲隊(duì)（或乙隊(duì)）獲勝的可能性大小都是不準(zhǔn)確的，也可以說是錯(cuò)誤的。對(duì)小學(xué)生而言，要他們根據(jù)題中所提供的五場比賽的結(jié)果去預(yù)測第六場比賽哪個(gè)隊(duì)獲勝的可能性大，并說出理由，真有點(diǎn)勉為其難。這種習(xí)題出現(xiàn)在小學(xué)數(shù)學(xué)課本中弊多利少。

2.教師可以對(duì)“統(tǒng)計(jì)與概率”的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行更深入的研究。

“統(tǒng)計(jì)與概率”是在2001年《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》公布后新增的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，可能還有少數(shù)教師不是很熟悉，并沒有覺察《教師教學(xué)用書》中存在的問題。當(dāng)然，《教師教學(xué)用書》的作者應(yīng)該在該書修訂或再版前廣泛征求教師的意見，及時(shí)修改有關(guān)錯(cuò)誤或不妥之處，不斷提高該書質(zhì)量。而對(duì)于小學(xué)數(shù)學(xué)教師來說，可以對(duì)“統(tǒng)計(jì)與概率”的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行更深入的研究，以便更好地完成“統(tǒng)計(jì)與概率”的教學(xué)任務(wù)。

（杭州師范大學(xué)教育學(xué)院 311121）endprint

《中小學(xué)數(shù)學(xué)》2014年第三期刊登了馬永紅老師的題為《怎能從“確定性”推知“可能性”》一文。該文對(duì)人教版六年級(jí)下冊(cè)課本第六單元（整理與復(fù)習(xí)）中一道復(fù)習(xí)題（練習(xí)二十二的第6題，下簡稱“題6”）進(jìn)行了分析，提出了不少有益的意見。然而馬老師給出的答案仍然是錯(cuò)的，因此筆者認(rèn)為有必要對(duì)此進(jìn)行探討。

一、復(fù)習(xí)題的解題思路及其答案展示

人教版六年級(jí)下冊(cè)課本第113頁上“題6”是這樣的：甲、乙兩個(gè)足球隊(duì)之間近期的5場比賽成績?nèi)缬冶怼Ｈ绻麅蓚€(gè)隊(duì)現(xiàn)在進(jìn)行一場比賽，請(qǐng)預(yù)測一下哪個(gè)隊(duì)獲勝的可能性大？為什么？

與此課本配套的《教師教學(xué)用書》第165頁上給出了兩種不同的解題思路，并給出了兩個(gè)不同的答案。為了敘述方便，本文中把兩種解題思路分別稱為“解題思路1”和“解題思路2”。

解題思路1：“從兩隊(duì)的歷史戰(zhàn)績來看，各是兩勝一平兩負(fù)，不相上下；從這一點(diǎn)來判斷，兩隊(duì)獲勝的可能性都是二分之一?！?/p>

由此得到的答案是“兩隊(duì)獲勝的可能性相等，都是二分之一?！?/p>

解題思路2：“仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)：在離比賽日最近的兩場比賽中均是乙隊(duì)獲勝，說明最近乙隊(duì)的狀態(tài)好于甲隊(duì)，由此可以預(yù)測：乙隊(duì)獲勝的可能性稍大一點(diǎn)。這種判斷也有一定道理?！?/p>

由此得到的答案是“乙隊(duì)獲勝的可能性稍大一點(diǎn)?！?/p>

馬老師根據(jù)部分教師的教學(xué)實(shí)踐，又補(bǔ)充了兩種解題思路及答案，我們不妨把它們稱為“解題思路3”和“解題思路4”。

解題思路3：“從已經(jīng)結(jié)束的五場比賽的結(jié)果來看，兩隊(duì)各有二勝二負(fù)一平，因此，兩隊(duì)獲勝的場次均占總場次的，兩隊(duì)平局的場次占總場次的”，由此得到答案是“甲、乙兩隊(duì)獲勝的可能性相等，都是?！?/p>

解題思路4：“由于兩隊(duì)比賽，可能出現(xiàn)的結(jié)果共有三種：即甲勝乙負(fù)，甲負(fù)乙勝，甲乙平局，所以，每一種情況均占所有可能出現(xiàn)結(jié)果總數(shù)的，也就是兩隊(duì)獲勝的可能性相等，都是，平局的可能性也是?！?/p>

馬老師認(rèn)為：“前面的四種不同的觀點(diǎn)中，觀點(diǎn)之四是正確的，即甲、乙兩隊(duì)獲勝的可能性相等，都是，其余的三種觀點(diǎn)都是錯(cuò)誤的……”遺憾的是，馬老師并沒有詳細(xì)說明前三種答案為什么是錯(cuò)誤的，而且他認(rèn)為正確的第四種答案其實(shí)也是錯(cuò)誤的。

二、對(duì)各種解題思路及答案的探討

1.在解題思路1中，以兩隊(duì)的戰(zhàn)績不相上下為依據(jù)，斷定兩隊(duì)下一場比賽獲勝的可能性都是二分之一，其錯(cuò)誤是顯然的。錯(cuò)誤主要在于解題者沒有考慮到比賽可能會(huì)有平局的結(jié)果。為了能夠更簡便地說明問題，我們用字母表示兩隊(duì)第六次比賽的三種結(jié)果：A表示事件“甲勝乙負(fù)”，B表示事件“甲負(fù)乙勝”，C表示事件“甲乙平局”，顯然，A、B、C構(gòu)成了一個(gè)完備事件組，因此有P（A）+ P（B）+ P（C）=1，而答案中認(rèn)定P（A）=，P（B）=，由此導(dǎo)致P（C）=0，即第六場比賽一定不會(huì)出現(xiàn)“平局”的結(jié)果，這與事實(shí)不相符。從前五場比賽結(jié)果看，下一場比賽平局的可能性還是不小的。因此，即使下一場比賽中兩隊(duì)獲勝的可能性相同，也不可能都是二分之一。其次，從前三場比賽結(jié)果分析，甲隊(duì)明顯強(qiáng)于乙隊(duì)，雖然從五場比賽的結(jié)果分析，似乎甲、乙兩隊(duì)?wèi)?zhàn)績“不相上下”，但這個(gè)所謂“不相上下”僅僅是從這五場比賽中分析出來的，并不能表示兩隊(duì)實(shí)力完全一樣，兩個(gè)足球隊(duì)的水平很難達(dá)到“完全相同”，從這個(gè)觀點(diǎn)出發(fā)，也難以得出“下一場比賽兩隊(duì)獲勝的可能性都是二分之一”的結(jié)論。事實(shí)是：僅僅根據(jù)這樣的五場比賽的結(jié)果就想把下一場比賽甲隊(duì)（或乙隊(duì)）獲勝的可能性大小用一個(gè)確定的數(shù)（就是甲隊(duì)或乙隊(duì)獲勝的概率）表示出來，可以說是一件不可能的事。

2.在解題思路2中，認(rèn)為乙隊(duì)在最近的兩場比賽中獲勝，狀態(tài)好于甲隊(duì)，因此下一場比賽乙隊(duì)獲勝的可能性會(huì)大一點(diǎn)。這種判斷確實(shí)有一定道理。但是，如果我們換個(gè)角度進(jìn)行分析：“因?yàn)榧住⒁覂申?duì)在五場比賽后的總分相同（足球比賽的積分規(guī)則：勝一場得3分，平局各得1分，輸球不得分。若積分相等，則比較凈勝球數(shù)），然而甲隊(duì)比乙隊(duì)凈勝球多了一個(gè)，因此采用調(diào)整戰(zhàn)略、戰(zhàn)術(shù)等方法后，下一場甲隊(duì)獲勝的可能性會(huì)大一點(diǎn)”?；蛘哒J(rèn)為“甲、乙兩隊(duì)實(shí)力‘不相上下，平局的可能性會(huì)大一點(diǎn)?！边@樣的預(yù)測也是有一定道理的?？傊?，從不同的角度分析前五場比賽結(jié)果，可以得到不同的預(yù)測結(jié)論。并非只有“乙隊(duì)獲勝可能性會(huì)大一點(diǎn)”一種結(jié)論。

3.在解題思路3中，根據(jù)在五場比賽中兩隊(duì)各有二勝二負(fù)一平而得到兩隊(duì)獲勝的場次均占總場次的，從而得到甲、乙兩隊(duì)獲勝的可能性都是，這個(gè)答案的錯(cuò)誤是明顯的，只要我們重溫一下概率的統(tǒng)計(jì)定義即知其錯(cuò)誤所在。概率的統(tǒng)計(jì)定義是這樣的：“在不變的條件下，重復(fù)進(jìn)行n次試驗(yàn)，事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定地在某一常數(shù)P附近擺動(dòng)。且一般說來，n越大，擺動(dòng)幅度越小，則稱常數(shù)P為事件A的概率，記作P（A）?！?/p>

由此可知，只進(jìn)行五場比賽，是不能將甲隊(duì)（乙隊(duì)）獲勝的頻率當(dāng)作甲隊(duì)（乙隊(duì)）獲勝的概率的。需要特別指出的是，對(duì)于球賽來說，各場比賽并不是在“不變的條件下”進(jìn)行的，連概率統(tǒng)計(jì)定義中的條件都不滿足，因此不能用所謂的“事件發(fā)生的頻率”來表示“事件發(fā)生可能性的大小”。

舉個(gè)例來說，如果連續(xù)5次拋擲一個(gè)均勻的硬幣，發(fā)現(xiàn)有3次正面向上，2次正面向下，顯然我們不能認(rèn)為正面向上的可能性是，向下的可能性是，從而預(yù)測第六次拋擲后出現(xiàn)正面的可能性會(huì)大一點(diǎn)。事實(shí)上，有好幾位數(shù)學(xué)家曾進(jìn)行過拋擲硬幣這種“試驗(yàn)”，他們?cè)趻仈S成千上萬次硬幣后發(fā)現(xiàn)正面向上的頻率接近，而且隨著拋擲次數(shù)增加，頻率越來越接近，從而得到“拋擲一個(gè)均勻的硬幣，正面向上的概率是”的結(jié)論。當(dāng)然，這個(gè)結(jié)論也很容易從概率的古典定義得到。這就是說，不管你是第幾次拋擲一個(gè)均勻的硬幣，正面向上的可能性都是。

4.在解題思路4中，考慮到比賽結(jié)果有A、B、C三種，每種情況均占所有可能出現(xiàn)結(jié)果總數(shù)的，從而認(rèn)為A、B、C三個(gè)事件中每一個(gè)發(fā)生的可能性都是，這是缺乏根據(jù)的。因?yàn)橐玫竭@個(gè)結(jié)論必須要滿足“事件A、B、C發(fā)生的可能性相等”這一條件。馬老師在文章的結(jié)尾處指出：“在求隨機(jī)事件發(fā)生的可能性時(shí)……只能用指定事件所有結(jié)果的數(shù)量除以事件所有可能出現(xiàn)的數(shù)量?！钡怯眠@種方法來確定事件發(fā)生可能性的大小必須滿足“所有可能發(fā)生的事件總數(shù)是有限的，而且各個(gè)事件發(fā)生的可能性是相等的”這樣的條件（古典概型應(yīng)滿足的條件），而對(duì)于足球賽而言，事件A、B、C的發(fā)生并不是等可能性的，因此不能應(yīng)用馬老師所說的方法計(jì)算出A、B、C發(fā)生的概率。這里得到“兩隊(duì)獲勝的可能性相等，都是”的結(jié)論是錯(cuò)誤的。

三、兩點(diǎn)思考

1.像“題6”這樣的習(xí)題出現(xiàn)在小學(xué)數(shù)學(xué)課本中是不合適的。

“題6”以足球比賽為題材，要學(xué)生預(yù)測比賽的結(jié)果。然而由于影響足球比賽勝負(fù)的因素很多，例如球隊(duì)的實(shí)力、球隊(duì)?wèi)?zhàn)略、戰(zhàn)術(shù)的變化，參賽球員的變化等，甚至比賽地點(diǎn)是主場還是客場也會(huì)影響比賽結(jié)果。由此可見，即使是相同球隊(duì)在同一地點(diǎn)的前后兩場比賽，也不能認(rèn)為是在相同條件下進(jìn)行的比賽，在“題6”給出的這種條件下，不同的人從不同的角度進(jìn)行分析，可能會(huì)得出不同的判斷：甲隊(duì)獲勝的可能性大；乙隊(duì)獲勝的可能性大；平局的可能性大。這些判斷看起來都“有一定道理”，但又覺得理由也不太充分?？傊荣惤Y(jié)果A、B、C都有可能發(fā)生，但是究竟哪一個(gè)事件發(fā)生的可能性大是難以斷定的。凡是在預(yù)測中用一個(gè)確定的數(shù)（如本文中所說的、、等）來表示甲隊(duì)（或乙隊(duì)）獲勝的可能性大小都是不準(zhǔn)確的，也可以說是錯(cuò)誤的。對(duì)小學(xué)生而言，要他們根據(jù)題中所提供的五場比賽的結(jié)果去預(yù)測第六場比賽哪個(gè)隊(duì)獲勝的可能性大，并說出理由，真有點(diǎn)勉為其難。這種習(xí)題出現(xiàn)在小學(xué)數(shù)學(xué)課本中弊多利少。

2.教師可以對(duì)“統(tǒng)計(jì)與概率”的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行更深入的研究。

“統(tǒng)計(jì)與概率”是在2001年《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》公布后新增的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，可能還有少數(shù)教師不是很熟悉，并沒有覺察《教師教學(xué)用書》中存在的問題。當(dāng)然，《教師教學(xué)用書》的作者應(yīng)該在該書修訂或再版前廣泛征求教師的意見，及時(shí)修改有關(guān)錯(cuò)誤或不妥之處，不斷提高該書質(zhì)量。而對(duì)于小學(xué)數(shù)學(xué)教師來說，可以對(duì)“統(tǒng)計(jì)與概率”的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行更深入的研究，以便更好地完成“統(tǒng)計(jì)與概率”的教學(xué)任務(wù)。

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《中小學(xué)數(shù)學(xué)》2014年第三期刊登了馬永紅老師的題為《怎能從“確定性”推知“可能性”》一文。該文對(duì)人教版六年級(jí)下冊(cè)課本第六單元（整理與復(fù)習(xí)）中一道復(fù)習(xí)題（練習(xí)二十二的第6題，下簡稱“題6”）進(jìn)行了分析，提出了不少有益的意見。然而馬老師給出的答案仍然是錯(cuò)的，因此筆者認(rèn)為有必要對(duì)此進(jìn)行探討。

一、復(fù)習(xí)題的解題思路及其答案展示

人教版六年級(jí)下冊(cè)課本第113頁上“題6”是這樣的：甲、乙兩個(gè)足球隊(duì)之間近期的5場比賽成績?nèi)缬冶?。如果兩個(gè)隊(duì)現(xiàn)在進(jìn)行一場比賽，請(qǐng)預(yù)測一下哪個(gè)隊(duì)獲勝的可能性大？為什么？

與此課本配套的《教師教學(xué)用書》第165頁上給出了兩種不同的解題思路，并給出了兩個(gè)不同的答案。為了敘述方便，本文中把兩種解題思路分別稱為“解題思路1”和“解題思路2”。

解題思路1：“從兩隊(duì)的歷史戰(zhàn)績來看，各是兩勝一平兩負(fù)，不相上下；從這一點(diǎn)來判斷，兩隊(duì)獲勝的可能性都是二分之一?！?/p>

由此得到的答案是“兩隊(duì)獲勝的可能性相等，都是二分之一?！?/p>

解題思路2：“仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)：在離比賽日最近的兩場比賽中均是乙隊(duì)獲勝，說明最近乙隊(duì)的狀態(tài)好于甲隊(duì)，由此可以預(yù)測：乙隊(duì)獲勝的可能性稍大一點(diǎn)。這種判斷也有一定道理?！?/p>

由此得到的答案是“乙隊(duì)獲勝的可能性稍大一點(diǎn)?！?/p>

馬老師根據(jù)部分教師的教學(xué)實(shí)踐，又補(bǔ)充了兩種解題思路及答案，我們不妨把它們稱為“解題思路3”和“解題思路4”。

解題思路3：“從已經(jīng)結(jié)束的五場比賽的結(jié)果來看，兩隊(duì)各有二勝二負(fù)一平，因此，兩隊(duì)獲勝的場次均占總場次的，兩隊(duì)平局的場次占總場次的”，由此得到答案是“甲、乙兩隊(duì)獲勝的可能性相等，都是?！?/p>

解題思路4：“由于兩隊(duì)比賽，可能出現(xiàn)的結(jié)果共有三種：即甲勝乙負(fù)，甲負(fù)乙勝，甲乙平局，所以，每一種情況均占所有可能出現(xiàn)結(jié)果總數(shù)的，也就是兩隊(duì)獲勝的可能性相等，都是，平局的可能性也是?！?/p>

馬老師認(rèn)為：“前面的四種不同的觀點(diǎn)中，觀點(diǎn)之四是正確的，即甲、乙兩隊(duì)獲勝的可能性相等，都是，其余的三種觀點(diǎn)都是錯(cuò)誤的……”遺憾的是，馬老師并沒有詳細(xì)說明前三種答案為什么是錯(cuò)誤的，而且他認(rèn)為正確的第四種答案其實(shí)也是錯(cuò)誤的。

二、對(duì)各種解題思路及答案的探討

1.在解題思路1中，以兩隊(duì)的戰(zhàn)績不相上下為依據(jù)，斷定兩隊(duì)下一場比賽獲勝的可能性都是二分之一，其錯(cuò)誤是顯然的。錯(cuò)誤主要在于解題者沒有考慮到比賽可能會(huì)有平局的結(jié)果。為了能夠更簡便地說明問題，我們用字母表示兩隊(duì)第六次比賽的三種結(jié)果：A表示事件“甲勝乙負(fù)”，B表示事件“甲負(fù)乙勝”，C表示事件“甲乙平局”，顯然，A、B、C構(gòu)成了一個(gè)完備事件組，因此有P（A）+ P（B）+ P（C）=1，而答案中認(rèn)定P（A）=，P（B）=，由此導(dǎo)致P（C）=0，即第六場比賽一定不會(huì)出現(xiàn)“平局”的結(jié)果，這與事實(shí)不相符。從前五場比賽結(jié)果看，下一場比賽平局的可能性還是不小的。因此，即使下一場比賽中兩隊(duì)獲勝的可能性相同，也不可能都是二分之一。其次，從前三場比賽結(jié)果分析，甲隊(duì)明顯強(qiáng)于乙隊(duì)，雖然從五場比賽的結(jié)果分析，似乎甲、乙兩隊(duì)?wèi)?zhàn)績“不相上下”，但這個(gè)所謂“不相上下”僅僅是從這五場比賽中分析出來的，并不能表示兩隊(duì)實(shí)力完全一樣，兩個(gè)足球隊(duì)的水平很難達(dá)到“完全相同”，從這個(gè)觀點(diǎn)出發(fā)，也難以得出“下一場比賽兩隊(duì)獲勝的可能性都是二分之一”的結(jié)論。事實(shí)是：僅僅根據(jù)這樣的五場比賽的結(jié)果就想把下一場比賽甲隊(duì)（或乙隊(duì)）獲勝的可能性大小用一個(gè)確定的數(shù)（就是甲隊(duì)或乙隊(duì)獲勝的概率）表示出來，可以說是一件不可能的事。

2.在解題思路2中，認(rèn)為乙隊(duì)在最近的兩場比賽中獲勝，狀態(tài)好于甲隊(duì)，因此下一場比賽乙隊(duì)獲勝的可能性會(huì)大一點(diǎn)。這種判斷確實(shí)有一定道理。但是，如果我們換個(gè)角度進(jìn)行分析：“因?yàn)榧?、乙兩?duì)在五場比賽后的總分相同（足球比賽的積分規(guī)則：勝一場得3分，平局各得1分，輸球不得分。若積分相等，則比較凈勝球數(shù)），然而甲隊(duì)比乙隊(duì)凈勝球多了一個(gè)，因此采用調(diào)整戰(zhàn)略、戰(zhàn)術(shù)等方法后，下一場甲隊(duì)獲勝的可能性會(huì)大一點(diǎn)”?；蛘哒J(rèn)為“甲、乙兩隊(duì)實(shí)力‘不相上下，平局的可能性會(huì)大一點(diǎn)?！边@樣的預(yù)測也是有一定道理的?？傊?，從不同的角度分析前五場比賽結(jié)果，可以得到不同的預(yù)測結(jié)論。并非只有“乙隊(duì)獲勝可能性會(huì)大一點(diǎn)”一種結(jié)論。

3.在解題思路3中，根據(jù)在五場比賽中兩隊(duì)各有二勝二負(fù)一平而得到兩隊(duì)獲勝的場次均占總場次的，從而得到甲、乙兩隊(duì)獲勝的可能性都是，這個(gè)答案的錯(cuò)誤是明顯的，只要我們重溫一下概率的統(tǒng)計(jì)定義即知其錯(cuò)誤所在。概率的統(tǒng)計(jì)定義是這樣的：“在不變的條件下，重復(fù)進(jìn)行n次試驗(yàn)，事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定地在某一常數(shù)P附近擺動(dòng)。且一般說來，n越大，擺動(dòng)幅度越小，則稱常數(shù)P為事件A的概率，記作P（A）?！?/p>

由此可知，只進(jìn)行五場比賽，是不能將甲隊(duì)（乙隊(duì)）獲勝的頻率當(dāng)作甲隊(duì)（乙隊(duì)）獲勝的概率的。需要特別指出的是，對(duì)于球賽來說，各場比賽并不是在“不變的條件下”進(jìn)行的，連概率統(tǒng)計(jì)定義中的條件都不滿足，因此不能用所謂的“事件發(fā)生的頻率”來表示“事件發(fā)生可能性的大小”。

舉個(gè)例來說，如果連續(xù)5次拋擲一個(gè)均勻的硬幣，發(fā)現(xiàn)有3次正面向上，2次正面向下，顯然我們不能認(rèn)為正面向上的可能性是，向下的可能性是，從而預(yù)測第六次拋擲后出現(xiàn)正面的可能性會(huì)大一點(diǎn)。事實(shí)上，有好幾位數(shù)學(xué)家曾進(jìn)行過拋擲硬幣這種“試驗(yàn)”，他們?cè)趻仈S成千上萬次硬幣后發(fā)現(xiàn)正面向上的頻率接近，而且隨著拋擲次數(shù)增加，頻率越來越接近，從而得到“拋擲一個(gè)均勻的硬幣，正面向上的概率是”的結(jié)論。當(dāng)然，這個(gè)結(jié)論也很容易從概率的古典定義得到。這就是說，不管你是第幾次拋擲一個(gè)均勻的硬幣，正面向上的可能性都是。

4.在解題思路4中，考慮到比賽結(jié)果有A、B、C三種，每種情況均占所有可能出現(xiàn)結(jié)果總數(shù)的，從而認(rèn)為A、B、C三個(gè)事件中每一個(gè)發(fā)生的可能性都是，這是缺乏根據(jù)的。因?yàn)橐玫竭@個(gè)結(jié)論必須要滿足“事件A、B、C發(fā)生的可能性相等”這一條件。馬老師在文章的結(jié)尾處指出：“在求隨機(jī)事件發(fā)生的可能性時(shí)……只能用指定事件所有結(jié)果的數(shù)量除以事件所有可能出現(xiàn)的數(shù)量?！钡怯眠@種方法來確定事件發(fā)生可能性的大小必須滿足“所有可能發(fā)生的事件總數(shù)是有限的，而且各個(gè)事件發(fā)生的可能性是相等的”這樣的條件（古典概型應(yīng)滿足的條件），而對(duì)于足球賽而言，事件A、B、C的發(fā)生并不是等可能性的，因此不能應(yīng)用馬老師所說的方法計(jì)算出A、B、C發(fā)生的概率。這里得到“兩隊(duì)獲勝的可能性相等，都是”的結(jié)論是錯(cuò)誤的。

三、兩點(diǎn)思考

1.像“題6”這樣的習(xí)題出現(xiàn)在小學(xué)數(shù)學(xué)課本中是不合適的。

“題6”以足球比賽為題材，要學(xué)生預(yù)測比賽的結(jié)果。然而由于影響足球比賽勝負(fù)的因素很多，例如球隊(duì)的實(shí)力、球隊(duì)?wèi)?zhàn)略、戰(zhàn)術(shù)的變化，參賽球員的變化等，甚至比賽地點(diǎn)是主場還是客場也會(huì)影響比賽結(jié)果。由此可見，即使是相同球隊(duì)在同一地點(diǎn)的前后兩場比賽，也不能認(rèn)為是在相同條件下進(jìn)行的比賽，在“題6”給出的這種條件下，不同的人從不同的角度進(jìn)行分析，可能會(huì)得出不同的判斷：甲隊(duì)獲勝的可能性大；乙隊(duì)獲勝的可能性大；平局的可能性大。這些判斷看起來都“有一定道理”，但又覺得理由也不太充分?？傊?，比賽結(jié)果A、B、C都有可能發(fā)生，但是究竟哪一個(gè)事件發(fā)生的可能性大是難以斷定的。凡是在預(yù)測中用一個(gè)確定的數(shù)（如本文中所說的、、等）來表示甲隊(duì)（或乙隊(duì)）獲勝的可能性大小都是不準(zhǔn)確的，也可以說是錯(cuò)誤的。對(duì)小學(xué)生而言，要他們根據(jù)題中所提供的五場比賽的結(jié)果去預(yù)測第六場比賽哪個(gè)隊(duì)獲勝的可能性大，并說出理由，真有點(diǎn)勉為其難。這種習(xí)題出現(xiàn)在小學(xué)數(shù)學(xué)課本中弊多利少。

2.教師可以對(duì)“統(tǒng)計(jì)與概率”的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行更深入的研究。

“統(tǒng)計(jì)與概率”是在2001年《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》公布后新增的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，可能還有少數(shù)教師不是很熟悉，并沒有覺察《教師教學(xué)用書》中存在的問題。當(dāng)然，《教師教學(xué)用書》的作者應(yīng)該在該書修訂或再版前廣泛征求教師的意見，及時(shí)修改有關(guān)錯(cuò)誤或不妥之處，不斷提高該書質(zhì)量。而對(duì)于小學(xué)數(shù)學(xué)教師來說，可以對(duì)“統(tǒng)計(jì)與概率”的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行更深入的研究，以便更好地完成“統(tǒng)計(jì)與概率”的教學(xué)任務(wù)。

（杭州師范大學(xué)教育學(xué)院 311121）endprint