這樣探究行嗎？

董文學(xué)

今年3月25日晚上，在武漢小學(xué)筆者有幸參加了“湖北省‘綜合與實(shí)踐學(xué)與教的研究”課題組研討活動?；顒又?，黃石市市府路小學(xué)的一位教師介紹了他們學(xué)校設(shè)計(jì)的一節(jié)“綜合與實(shí)踐”活動課，名為“小紙片，大玄機(jī)”。聽完介紹后筆者有一些不一樣的想法，在這里與大家一起分享，望各位教師一起探討、批評指正。

一、簡要的記錄

黃石市市府路小學(xué)教師設(shè)計(jì)的“小紙片，大玄機(jī)”這節(jié)課屬于“小課題”形式的數(shù)學(xué)活動課。教學(xué)對象是六年級學(xué)生。這節(jié)課引導(dǎo)學(xué)生研究的問題是：一張正方形紙，在它的四個(gè)角上各剪下一個(gè)相同的小正方形，然后將這張紙折成一個(gè)無蓋的長方體形狀的容器（如右上圖），怎樣剪，折成的長方體形狀容器的容積最大？教師特別說明：為了研究方便，折成長方體形狀容器的長、寬、高取整數(shù)厘米。

教師首先引導(dǎo)全班學(xué)生一起研究邊長為18厘米的正方形如何剪所得的長方體形狀的容器容積最大，以獲得初步的探索規(guī)律。然后將學(xué)生分兩大組分別研究邊長為12厘米、24厘米的正方形紙，并完成如下的記錄表：

折成容器的

學(xué)生在教師的引導(dǎo)下進(jìn)行有序研究，從折成長方體形狀容器的高入手，把高依次想成1，2，3，4……再分別算出折成長方體形狀容器的長、寬、容積，并找出容積最大的情況。

學(xué)生研究后找出的最大容積情況如下：

原正方形紙

然后教師引導(dǎo)學(xué)生觀察表格，得出結(jié)論：當(dāng)剪下小正方形的邊長（即折成的無蓋長方體形狀容器的高）是原正方形紙邊長的時(shí)，折成的長方體形狀容器的容積最大。

這時(shí)教師指出：這個(gè)規(guī)律是否真的存在，我們進(jìn)一步用數(shù)據(jù)來驗(yàn)證。于是教師要求學(xué)生分別用邊長30、36厘米的正方形紙進(jìn)行驗(yàn)證。

從以上的簡要記錄中可以看出，活動設(shè)計(jì)者可謂是頗有智慧、獨(dú)具慧眼，他從浩如煙海、紛繁復(fù)雜的生活問題中找到了適合學(xué)生探究、學(xué)生感興趣的問題，并讓學(xué)生在活動中經(jīng)歷探究的過程、交流各自的發(fā)現(xiàn)，從而享受成功的喜悅。這無疑是值得廣大教師認(rèn)真學(xué)習(xí)的。但是，筆者個(gè)人認(rèn)為這節(jié)課的探究過程還是有一些地方值得商榷。

二、值得商榷的問題

1. 教師說明“為了研究方便，折成長方體形狀容器的長、寬、高取整數(shù)厘米”合理嗎？

學(xué)生分組研究前，教師特別說明：為了研究方便，折成長方體形狀容器的長、寬、高取整數(shù)厘米。很顯然，取整數(shù)厘米，學(xué)生的探究次數(shù)是有限的，計(jì)算也較容易，但卻存在著一個(gè)問題。試想，如果學(xué)生用長、寬、高取整數(shù)厘米的辦法研究邊長16厘米的正方形，那么高是3厘米時(shí)，折成的長方體形狀容器的容積最大（見右上表），但這顯然與“當(dāng)剪下小正方形的邊長是原正方形紙邊長的時(shí)，折成的長方體形狀容器的容積最大”這一結(jié)論不符。

的錯(cuò)，限于小學(xué)生的認(rèn)知水平，不完全歸納法仍是一個(gè)探尋規(guī)律、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的好辦法。

那么，取消“折成長方體形狀容器的長、寬、高取整數(shù)厘米”，是不是問題就迎刃而解了呢？顯然也不是。這樣一來學(xué)生就要探究無數(shù)次，因?yàn)檎鄢砷L方體形狀容器的高可以是0.1、0.24、0.312、0.4278……學(xué)生將無從下手。

2.教師指定研究邊長為12、18、24、30、36厘米的正方形合適嗎？

活動設(shè)計(jì)中，教師為了讓學(xué)生順利得出結(jié)論，精心選擇了邊長為12、18、24、30、36厘米的正方形進(jìn)行研究，以利于學(xué)生通過不完全歸納法得出正確結(jié)論?？墒牵付ㄈ舾蓚€(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行研究不符合“不完全歸納法”探索問題的常理。“不完全歸納法”是從一類對象中部分對象都具有某種性質(zhì)，推出這類對象全體都具有這種性質(zhì)的歸納推理方法。這里的“部分對象”應(yīng)是“一類對象”中的任意“部分”。也就是說學(xué)生應(yīng)有在一定范圍內(nèi)選擇研究對象（邊長為任意長度正方形）的權(quán)利，也只有這樣得出的結(jié)論才具有說服力。

總之，在此活動設(shè)計(jì)中，探究過程存在一定漏洞，得出的結(jié)論還不足以讓人信服。

三、改進(jìn)的建議

為解決以上兩個(gè)問題，筆者個(gè)人建議本次活動課的探究部分可以作如下改進(jìn)。

將探究過程分為兩大步驟。第一大步驟：初得結(jié)論。引導(dǎo)學(xué)生探究“邊長為6厘米倍數(shù)的正方形怎樣剪，折成的長方體形狀容器的容積最大？”這時(shí)，學(xué)生可自由選取邊長為6厘米倍數(shù)的任何一個(gè)正方形來研究。教師仍然提示“折成長方體形狀容器的長、寬、高取整數(shù)厘米”以簡化研究過程，方便研究。這樣，學(xué)生經(jīng)過自主探究，合作交流，可以得出結(jié)論：對于邊長為6厘米倍數(shù)的正方形，當(dāng)剪下的小正方形的邊長是原正方形紙邊長的時(shí)，折成的長方體形狀容器的容積最大。這時(shí)教師再提出問題：如果正方形邊長不是6厘米的倍數(shù)，是不是也存在同樣的規(guī)律呢？轉(zhuǎn)而進(jìn)入第二大步驟。

第二大步驟：結(jié)論推廣。讓學(xué)生猜想是否有同樣的規(guī)律，再想辦法進(jìn)行驗(yàn)證。這時(shí)就不再限定“長、寬、高取整數(shù)厘米”。在驗(yàn)證前可以引導(dǎo)學(xué)生觀察第一個(gè)步驟中的記錄表，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)折成的容器的高由小到大逐漸增加時(shí)，容器的容積變化特點(diǎn)是先變大，到達(dá)最大值后，又逐漸變小。再讓學(xué)生討論可以如何驗(yàn)證。實(shí)際上，驗(yàn)證時(shí)，學(xué)生可以先找出待驗(yàn)證的“最大容積”及這時(shí)容器的高，然后只需驗(yàn)證比這個(gè)“高”多一點(diǎn)和少一點(diǎn)時(shí)，長方體容積是不是比“最大容積”小就可以得出結(jié)論了。例如對于邊長為15厘米的正方形，學(xué)生猜想的結(jié)論是：當(dāng)剪下小正方形的邊長是原正方形紙邊長的，即是2.5厘米時(shí)，折成的容器容積最大，這時(shí)最大容積是250立方厘米。學(xué)生只需驗(yàn)證剪下小正方形的邊長是2.4厘米及2.6厘米（或2.49厘米及2.51厘米，或2.499厘米及2.501厘米……）時(shí)，容積是不是比250立方厘米小，如果是，說明猜想基本正確。

值得說明的是，在驗(yàn)證時(shí)應(yīng)允許學(xué)生用計(jì)算器或Excel等工具，當(dāng)然教師也可以利用幾何畫板，讓學(xué)生操作、觀察進(jìn)行驗(yàn)證。

通過這樣有層次的兩大步驟，學(xué)生可以得出令他們信服的結(jié)論，同時(shí)也經(jīng)歷了科學(xué)探究的一般過程，探究過程較為嚴(yán)謹(jǐn)。

四、補(bǔ)充的說明

從數(shù)學(xué)的角度出發(fā)，從“不完全歸納法”推理得出的結(jié)論是不可靠的，是需要證明的。就像哥德巴赫猜想一樣，大量的例子指向它是正確的，可是無人能進(jìn)行數(shù)學(xué)證明，所以至今只能叫“猜想”。那么本次活動中的結(jié)論對小學(xué)生來說是正確的，小學(xué)生沒有足夠的知識去質(zhì)疑它。但作為教師，可以用求函數(shù)極值的方法來得到這個(gè)結(jié)論。設(shè)原正方形邊長為1，剪下的小正方形邊長為x（0

于是有：y=（1-2x）2x

=4x3-4x2+x

令此函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為0，即12x2-8x+1=0，可求得唯一的駐點(diǎn)x=。

當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)

24x-8=24×-8=-4<0，

因此，當(dāng)x=時(shí)原函數(shù)有極大值。由于在定義域內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，且是極大值點(diǎn)，因此也就是取得最大值的點(diǎn)。也就是說剪下的小正方形邊長為原正方形邊長的時(shí)，折成的長方體形狀容器的容積最大。

（湖北省武漢市黃陂區(qū)前川鎮(zhèn)第五小學(xué) 430300）

今年3月25日晚上，在武漢小學(xué)筆者有幸參加了“湖北省‘綜合與實(shí)踐學(xué)與教的研究”課題組研討活動?；顒又校S石市市府路小學(xué)的一位教師介紹了他們學(xué)校設(shè)計(jì)的一節(jié)“綜合與實(shí)踐”活動課，名為“小紙片，大玄機(jī)”。聽完介紹后筆者有一些不一樣的想法，在這里與大家一起分享，望各位教師一起探討、批評指正。

一、簡要的記錄

黃石市市府路小學(xué)教師設(shè)計(jì)的“小紙片，大玄機(jī)”這節(jié)課屬于“小課題”形式的數(shù)學(xué)活動課。教學(xué)對象是六年級學(xué)生。這節(jié)課引導(dǎo)學(xué)生研究的問題是：一張正方形紙，在它的四個(gè)角上各剪下一個(gè)相同的小正方形，然后將這張紙折成一個(gè)無蓋的長方體形狀的容器（如右上圖），怎樣剪，折成的長方體形狀容器的容積最大？教師特別說明：為了研究方便，折成長方體形狀容器的長、寬、高取整數(shù)厘米。

教師首先引導(dǎo)全班學(xué)生一起研究邊長為18厘米的正方形如何剪所得的長方體形狀的容器容積最大，以獲得初步的探索規(guī)律。然后將學(xué)生分兩大組分別研究邊長為12厘米、24厘米的正方形紙，并完成如下的記錄表：

折成容器的

學(xué)生在教師的引導(dǎo)下進(jìn)行有序研究，從折成長方體形狀容器的高入手，把高依次想成1，2，3，4……再分別算出折成長方體形狀容器的長、寬、容積，并找出容積最大的情況。

學(xué)生研究后找出的最大容積情況如下：

原正方形紙

然后教師引導(dǎo)學(xué)生觀察表格，得出結(jié)論：當(dāng)剪下小正方形的邊長（即折成的無蓋長方體形狀容器的高）是原正方形紙邊長的時(shí)，折成的長方體形狀容器的容積最大。

這時(shí)教師指出：這個(gè)規(guī)律是否真的存在，我們進(jìn)一步用數(shù)據(jù)來驗(yàn)證。于是教師要求學(xué)生分別用邊長30、36厘米的正方形紙進(jìn)行驗(yàn)證。

從以上的簡要記錄中可以看出，活動設(shè)計(jì)者可謂是頗有智慧、獨(dú)具慧眼，他從浩如煙海、紛繁復(fù)雜的生活問題中找到了適合學(xué)生探究、學(xué)生感興趣的問題，并讓學(xué)生在活動中經(jīng)歷探究的過程、交流各自的發(fā)現(xiàn)，從而享受成功的喜悅。這無疑是值得廣大教師認(rèn)真學(xué)習(xí)的。但是，筆者個(gè)人認(rèn)為這節(jié)課的探究過程還是有一些地方值得商榷。

二、值得商榷的問題

1. 教師說明“為了研究方便，折成長方體形狀容器的長、寬、高取整數(shù)厘米”合理嗎？

學(xué)生分組研究前，教師特別說明：為了研究方便，折成長方體形狀容器的長、寬、高取整數(shù)厘米。很顯然，取整數(shù)厘米，學(xué)生的探究次數(shù)是有限的，計(jì)算也較容易，但卻存在著一個(gè)問題。試想，如果學(xué)生用長、寬、高取整數(shù)厘米的辦法研究邊長16厘米的正方形，那么高是3厘米時(shí)，折成的長方體形狀容器的容積最大（見右上表），但這顯然與“當(dāng)剪下小正方形的邊長是原正方形紙邊長的時(shí)，折成的長方體形狀容器的容積最大”這一結(jié)論不符。

的錯(cuò)，限于小學(xué)生的認(rèn)知水平，不完全歸納法仍是一個(gè)探尋規(guī)律、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的好辦法。

那么，取消“折成長方體形狀容器的長、寬、高取整數(shù)厘米”，是不是問題就迎刃而解了呢？顯然也不是。這樣一來學(xué)生就要探究無數(shù)次，因?yàn)檎鄢砷L方體形狀容器的高可以是0.1、0.24、0.312、0.4278……學(xué)生將無從下手。

2.教師指定研究邊長為12、18、24、30、36厘米的正方形合適嗎？

活動設(shè)計(jì)中，教師為了讓學(xué)生順利得出結(jié)論，精心選擇了邊長為12、18、24、30、36厘米的正方形進(jìn)行研究，以利于學(xué)生通過不完全歸納法得出正確結(jié)論?？墒?，指定若干個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行研究不符合“不完全歸納法”探索問題的常理?！安煌耆珰w納法”是從一類對象中部分對象都具有某種性質(zhì)，推出這類對象全體都具有這種性質(zhì)的歸納推理方法。這里的“部分對象”應(yīng)是“一類對象”中的任意“部分”。也就是說學(xué)生應(yīng)有在一定范圍內(nèi)選擇研究對象（邊長為任意長度正方形）的權(quán)利，也只有這樣得出的結(jié)論才具有說服力。

總之，在此活動設(shè)計(jì)中，探究過程存在一定漏洞，得出的結(jié)論還不足以讓人信服。

三、改進(jìn)的建議

為解決以上兩個(gè)問題，筆者個(gè)人建議本次活動課的探究部分可以作如下改進(jìn)。

將探究過程分為兩大步驟。第一大步驟：初得結(jié)論。引導(dǎo)學(xué)生探究“邊長為6厘米倍數(shù)的正方形怎樣剪，折成的長方體形狀容器的容積最大？”這時(shí)，學(xué)生可自由選取邊長為6厘米倍數(shù)的任何一個(gè)正方形來研究。教師仍然提示“折成長方體形狀容器的長、寬、高取整數(shù)厘米”以簡化研究過程，方便研究。這樣，學(xué)生經(jīng)過自主探究，合作交流，可以得出結(jié)論：對于邊長為6厘米倍數(shù)的正方形，當(dāng)剪下的小正方形的邊長是原正方形紙邊長的時(shí)，折成的長方體形狀容器的容積最大。這時(shí)教師再提出問題：如果正方形邊長不是6厘米的倍數(shù)，是不是也存在同樣的規(guī)律呢？轉(zhuǎn)而進(jìn)入第二大步驟。

第二大步驟：結(jié)論推廣。讓學(xué)生猜想是否有同樣的規(guī)律，再想辦法進(jìn)行驗(yàn)證。這時(shí)就不再限定“長、寬、高取整數(shù)厘米”。在驗(yàn)證前可以引導(dǎo)學(xué)生觀察第一個(gè)步驟中的記錄表，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)折成的容器的高由小到大逐漸增加時(shí)，容器的容積變化特點(diǎn)是先變大，到達(dá)最大值后，又逐漸變小。再讓學(xué)生討論可以如何驗(yàn)證。實(shí)際上，驗(yàn)證時(shí)，學(xué)生可以先找出待驗(yàn)證的“最大容積”及這時(shí)容器的高，然后只需驗(yàn)證比這個(gè)“高”多一點(diǎn)和少一點(diǎn)時(shí)，長方體容積是不是比“最大容積”小就可以得出結(jié)論了。例如對于邊長為15厘米的正方形，學(xué)生猜想的結(jié)論是：當(dāng)剪下小正方形的邊長是原正方形紙邊長的，即是2.5厘米時(shí)，折成的容器容積最大，這時(shí)最大容積是250立方厘米。學(xué)生只需驗(yàn)證剪下小正方形的邊長是2.4厘米及2.6厘米（或2.49厘米及2.51厘米，或2.499厘米及2.501厘米……）時(shí)，容積是不是比250立方厘米小，如果是，說明猜想基本正確。

值得說明的是，在驗(yàn)證時(shí)應(yīng)允許學(xué)生用計(jì)算器或Excel等工具，當(dāng)然教師也可以利用幾何畫板，讓學(xué)生操作、觀察進(jìn)行驗(yàn)證。

通過這樣有層次的兩大步驟，學(xué)生可以得出令他們信服的結(jié)論，同時(shí)也經(jīng)歷了科學(xué)探究的一般過程，探究過程較為嚴(yán)謹(jǐn)。

四、補(bǔ)充的說明

從數(shù)學(xué)的角度出發(fā)，從“不完全歸納法”推理得出的結(jié)論是不可靠的，是需要證明的。就像哥德巴赫猜想一樣，大量的例子指向它是正確的，可是無人能進(jìn)行數(shù)學(xué)證明，所以至今只能叫“猜想”。那么本次活動中的結(jié)論對小學(xué)生來說是正確的，小學(xué)生沒有足夠的知識去質(zhì)疑它。但作為教師，可以用求函數(shù)極值的方法來得到這個(gè)結(jié)論。設(shè)原正方形邊長為1，剪下的小正方形邊長為x（0

于是有：y=（1-2x）2x

=4x3-4x2+x

令此函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為0，即12x2-8x+1=0，可求得唯一的駐點(diǎn)x=。

當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)

24x-8=24×-8=-4<0，

因此，當(dāng)x=時(shí)原函數(shù)有極大值。由于在定義域內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，且是極大值點(diǎn)，因此也就是取得最大值的點(diǎn)。也就是說剪下的小正方形邊長為原正方形邊長的時(shí)，折成的長方體形狀容器的容積最大。

（湖北省武漢市黃陂區(qū)前川鎮(zhèn)第五小學(xué) 430300）

今年3月25日晚上，在武漢小學(xué)筆者有幸參加了“湖北省‘綜合與實(shí)踐學(xué)與教的研究”課題組研討活動?；顒又?，黃石市市府路小學(xué)的一位教師介紹了他們學(xué)校設(shè)計(jì)的一節(jié)“綜合與實(shí)踐”活動課，名為“小紙片，大玄機(jī)”。聽完介紹后筆者有一些不一樣的想法，在這里與大家一起分享，望各位教師一起探討、批評指正。

一、簡要的記錄

黃石市市府路小學(xué)教師設(shè)計(jì)的“小紙片，大玄機(jī)”這節(jié)課屬于“小課題”形式的數(shù)學(xué)活動課。教學(xué)對象是六年級學(xué)生。這節(jié)課引導(dǎo)學(xué)生研究的問題是：一張正方形紙，在它的四個(gè)角上各剪下一個(gè)相同的小正方形，然后將這張紙折成一個(gè)無蓋的長方體形狀的容器（如右上圖），怎樣剪，折成的長方體形狀容器的容積最大？教師特別說明：為了研究方便，折成長方體形狀容器的長、寬、高取整數(shù)厘米。

教師首先引導(dǎo)全班學(xué)生一起研究邊長為18厘米的正方形如何剪所得的長方體形狀的容器容積最大，以獲得初步的探索規(guī)律。然后將學(xué)生分兩大組分別研究邊長為12厘米、24厘米的正方形紙，并完成如下的記錄表：

折成容器的

學(xué)生在教師的引導(dǎo)下進(jìn)行有序研究，從折成長方體形狀容器的高入手，把高依次想成1，2，3，4……再分別算出折成長方體形狀容器的長、寬、容積，并找出容積最大的情況。

學(xué)生研究后找出的最大容積情況如下：

原正方形紙

然后教師引導(dǎo)學(xué)生觀察表格，得出結(jié)論：當(dāng)剪下小正方形的邊長（即折成的無蓋長方體形狀容器的高）是原正方形紙邊長的時(shí)，折成的長方體形狀容器的容積最大。

這時(shí)教師指出：這個(gè)規(guī)律是否真的存在，我們進(jìn)一步用數(shù)據(jù)來驗(yàn)證。于是教師要求學(xué)生分別用邊長30、36厘米的正方形紙進(jìn)行驗(yàn)證。

從以上的簡要記錄中可以看出，活動設(shè)計(jì)者可謂是頗有智慧、獨(dú)具慧眼，他從浩如煙海、紛繁復(fù)雜的生活問題中找到了適合學(xué)生探究、學(xué)生感興趣的問題，并讓學(xué)生在活動中經(jīng)歷探究的過程、交流各自的發(fā)現(xiàn)，從而享受成功的喜悅。這無疑是值得廣大教師認(rèn)真學(xué)習(xí)的。但是，筆者個(gè)人認(rèn)為這節(jié)課的探究過程還是有一些地方值得商榷。

二、值得商榷的問題

1. 教師說明“為了研究方便，折成長方體形狀容器的長、寬、高取整數(shù)厘米”合理嗎？

學(xué)生分組研究前，教師特別說明：為了研究方便，折成長方體形狀容器的長、寬、高取整數(shù)厘米。很顯然，取整數(shù)厘米，學(xué)生的探究次數(shù)是有限的，計(jì)算也較容易，但卻存在著一個(gè)問題。試想，如果學(xué)生用長、寬、高取整數(shù)厘米的辦法研究邊長16厘米的正方形，那么高是3厘米時(shí)，折成的長方體形狀容器的容積最大（見右上表），但這顯然與“當(dāng)剪下小正方形的邊長是原正方形紙邊長的時(shí)，折成的長方體形狀容器的容積最大”這一結(jié)論不符。

的錯(cuò)，限于小學(xué)生的認(rèn)知水平，不完全歸納法仍是一個(gè)探尋規(guī)律、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的好辦法。

那么，取消“折成長方體形狀容器的長、寬、高取整數(shù)厘米”，是不是問題就迎刃而解了呢？顯然也不是。這樣一來學(xué)生就要探究無數(shù)次，因?yàn)檎鄢砷L方體形狀容器的高可以是0.1、0.24、0.312、0.4278……學(xué)生將無從下手。

2.教師指定研究邊長為12、18、24、30、36厘米的正方形合適嗎？

活動設(shè)計(jì)中，教師為了讓學(xué)生順利得出結(jié)論，精心選擇了邊長為12、18、24、30、36厘米的正方形進(jìn)行研究，以利于學(xué)生通過不完全歸納法得出正確結(jié)論。可是，指定若干個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行研究不符合“不完全歸納法”探索問題的常理。“不完全歸納法”是從一類對象中部分對象都具有某種性質(zhì)，推出這類對象全體都具有這種性質(zhì)的歸納推理方法。這里的“部分對象”應(yīng)是“一類對象”中的任意“部分”。也就是說學(xué)生應(yīng)有在一定范圍內(nèi)選擇研究對象（邊長為任意長度正方形）的權(quán)利，也只有這樣得出的結(jié)論才具有說服力。

總之，在此活動設(shè)計(jì)中，探究過程存在一定漏洞，得出的結(jié)論還不足以讓人信服。

三、改進(jìn)的建議

為解決以上兩個(gè)問題，筆者個(gè)人建議本次活動課的探究部分可以作如下改進(jìn)。

將探究過程分為兩大步驟。第一大步驟：初得結(jié)論。引導(dǎo)學(xué)生探究“邊長為6厘米倍數(shù)的正方形怎樣剪，折成的長方體形狀容器的容積最大？”這時(shí)，學(xué)生可自由選取邊長為6厘米倍數(shù)的任何一個(gè)正方形來研究。教師仍然提示“折成長方體形狀容器的長、寬、高取整數(shù)厘米”以簡化研究過程，方便研究。這樣，學(xué)生經(jīng)過自主探究，合作交流，可以得出結(jié)論：對于邊長為6厘米倍數(shù)的正方形，當(dāng)剪下的小正方形的邊長是原正方形紙邊長的時(shí)，折成的長方體形狀容器的容積最大。這時(shí)教師再提出問題：如果正方形邊長不是6厘米的倍數(shù)，是不是也存在同樣的規(guī)律呢？轉(zhuǎn)而進(jìn)入第二大步驟。

第二大步驟：結(jié)論推廣。讓學(xué)生猜想是否有同樣的規(guī)律，再想辦法進(jìn)行驗(yàn)證。這時(shí)就不再限定“長、寬、高取整數(shù)厘米”。在驗(yàn)證前可以引導(dǎo)學(xué)生觀察第一個(gè)步驟中的記錄表，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)折成的容器的高由小到大逐漸增加時(shí)，容器的容積變化特點(diǎn)是先變大，到達(dá)最大值后，又逐漸變小。再讓學(xué)生討論可以如何驗(yàn)證。實(shí)際上，驗(yàn)證時(shí)，學(xué)生可以先找出待驗(yàn)證的“最大容積”及這時(shí)容器的高，然后只需驗(yàn)證比這個(gè)“高”多一點(diǎn)和少一點(diǎn)時(shí)，長方體容積是不是比“最大容積”小就可以得出結(jié)論了。例如對于邊長為15厘米的正方形，學(xué)生猜想的結(jié)論是：當(dāng)剪下小正方形的邊長是原正方形紙邊長的，即是2.5厘米時(shí)，折成的容器容積最大，這時(shí)最大容積是250立方厘米。學(xué)生只需驗(yàn)證剪下小正方形的邊長是2.4厘米及2.6厘米（或2.49厘米及2.51厘米，或2.499厘米及2.501厘米……）時(shí)，容積是不是比250立方厘米小，如果是，說明猜想基本正確。

值得說明的是，在驗(yàn)證時(shí)應(yīng)允許學(xué)生用計(jì)算器或Excel等工具，當(dāng)然教師也可以利用幾何畫板，讓學(xué)生操作、觀察進(jìn)行驗(yàn)證。

通過這樣有層次的兩大步驟，學(xué)生可以得出令他們信服的結(jié)論，同時(shí)也經(jīng)歷了科學(xué)探究的一般過程，探究過程較為嚴(yán)謹(jǐn)。

四、補(bǔ)充的說明

從數(shù)學(xué)的角度出發(fā)，從“不完全歸納法”推理得出的結(jié)論是不可靠的，是需要證明的。就像哥德巴赫猜想一樣，大量的例子指向它是正確的，可是無人能進(jìn)行數(shù)學(xué)證明，所以至今只能叫“猜想”。那么本次活動中的結(jié)論對小學(xué)生來說是正確的，小學(xué)生沒有足夠的知識去質(zhì)疑它。但作為教師，可以用求函數(shù)極值的方法來得到這個(gè)結(jié)論。設(shè)原正方形邊長為1，剪下的小正方形邊長為x（0

于是有：y=（1-2x）2x

=4x3-4x2+x

令此函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為0，即12x2-8x+1=0，可求得唯一的駐點(diǎn)x=。

當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)

24x-8=24×-8=-4<0，

因此，當(dāng)x=時(shí)原函數(shù)有極大值。由于在定義域內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，且是極大值點(diǎn)，因此也就是取得最大值的點(diǎn)。也就是說剪下的小正方形邊長為原正方形邊長的時(shí)，折成的長方體形狀容器的容積最大。

（湖北省武漢市黃陂區(qū)前川鎮(zhèn)第五小學(xué) 430300）