“圖形與幾何”教學(xué)策略探析

沈勤

問題的緣起

錯例研究是一種從學(xué)生的錯誤入手，展現(xiàn)學(xué)生的真實(shí)思維，找出“出錯”的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行深入思辨，圍繞錯因與課堂教學(xué)行為之間的關(guān)系，從而有效改進(jìn)教學(xué)策略的研究。在典型錯例研究的過程中，一個錯例引發(fā)了筆者對“圖形與幾何”教學(xué)的思考。

錯題來源：2013年6月嘉興市小學(xué)數(shù)學(xué)六年級下冊期末檢測卷中第四題“圖形與計(jì)算”第3小題“算一算”。

問題一：計(jì)算陰影部分圖形的周長。

問題二：計(jì)算陰影部分圖形的面積。

筆者調(diào)查了兩個班級，共計(jì)95名學(xué)生對該題的答題情況。

“計(jì)算陰影部分圖形的周長”：共有41人錯誤，正確率僅為56.86%。

錯誤類型及數(shù)據(jù)分析（數(shù)據(jù)精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）

錯誤類型 錯誤

人數(shù) 百分比

只計(jì)算了圓周長的一半，沒有加上直徑的長度。3.14×3÷2=4.71cm 4人 4.21%

計(jì)算了一個圓的周長。

3.14×3=9.42cm 5人 5.26%

用正方形的周長減圓周長。

3×4-3.14×3=2.58cm 9人 9.47%

計(jì)算正方形的部分圖形的周長。

1.5×4=6cm 13人 13.68%

直徑數(shù)據(jù)錯誤 7人 7.37%

其他錯誤 3人 3.15%

“計(jì)算陰影部分圖形的面積”：共有35人錯誤，正確率僅為63.16%。

解題方法及數(shù)據(jù)分析（數(shù)據(jù)精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）

解答方法 使用人數(shù) 百分比

方法一：

3×1.5÷2=4.5÷2=2.25cm? 22人 23.16%

方法二：1.5×1.5=2.25cm? 13人 13.68%

方法三：3×3÷4=2.25 cm? 10人 10.53%

方法四：

3.14×1.5×1.5÷4=1.76625cm? 1.5×1.5-1.76625=0.48375cm? 1.76625+0.48375=2.25 cm? 15人 15.79%

方法錯誤 35人 36.84%

分析與診斷

透過錯例現(xiàn)象，經(jīng)過思辨加工，筆者從中梳理歸納出以下幾個問題產(chǎn)生的原因。

一、概念混淆——缺少對知識表征的感知活動

在計(jì)算陰影部分圖形的周長這一問題上，將近10%的學(xué)生選擇了用正方形的周長減去圓周長這一錯誤的方法。經(jīng)過分析，其原因在于學(xué)生對圖形知識表征采用的方式不恰當(dāng)，有的學(xué)生習(xí)慣用機(jī)械記憶的方式“死記”解題方法。當(dāng)學(xué)生看到這個圖形時，馬上與正方形中畫內(nèi)切圓這個圖形產(chǎn)生錯誤的聯(lián)系，把求面積的方法與求周長的方法混淆了。

在小學(xué)“圖形與幾何”的教學(xué)中，涉及了周長、面積和體積等概念?？臻g概念的形成具有一定的抽象性，對于以接觸感性知識為主的小學(xué)生來說，往往容易混淆圓的周長和面積的概念，弄不清體積與表面積的區(qū)別。學(xué)生對圖形知識表征的清晰度較差，習(xí)慣用經(jīng)驗(yàn)來思考和描述概念，從而影響對知識的理解和應(yīng)用。具體表現(xiàn)為學(xué)生認(rèn)為通過剪拼后圖形面積與周長都沒有變化，建立了錯誤的知識表征，因而形成了錯誤的認(rèn)識，認(rèn)為用正方形的周長減圓周長就是陰影部分圖形的周長。

二、套用公式——缺少思維品質(zhì)的探索經(jīng)歷

學(xué)生在解決有關(guān)陰影部分周長與面積時，已形成了一定的思維定勢。只會簡單地套用公式，用圓面積公式、圓周長公式、半圓面積公式、半圓周長公式等來解答。

在我們平時的教學(xué)中，也常會碰到這樣的問題：六年級上就有這樣一道練習(xí)題目：小正方形的面積為20厘米2，求圓的面積。

學(xué)生總是試圖先求出半徑，再利用s=πr?這一公式得出圓的面積，多數(shù)學(xué)生并沒有真正理解圓面積公式中的r?到底是指什么。在我們的教學(xué)中忽視了結(jié)合公式強(qiáng)調(diào)“圓的面積是r?的π倍”，其實(shí)圓的面積與r?有著更為直接的倍數(shù)關(guān)系。面對圖形的概念、公式等所謂的“死知識”，我們習(xí)以為常地認(rèn)為應(yīng)該把它們“教死”，學(xué)生就應(yīng)該“學(xué)死”。殊不知，這樣一來，學(xué)生掌握的永遠(yuǎn)都是機(jī)械的知識，解決問題時使用的永遠(yuǎn)都是單一套用的方法。學(xué)生缺少了探索公式時思維的靈活性、深刻度、廣度、求異性。因此，圖形稍有變化，學(xué)生就不知所措了。筆者認(rèn)為讓學(xué)生經(jīng)歷思維品質(zhì)的探索過程是非常重要的。

三、解法煩瑣——缺少對內(nèi)在本質(zhì)的深度把握

計(jì)算陰影部分圖形的面積這一問題，有近40%的學(xué)生按照已經(jīng)積累的活動經(jīng)驗(yàn)和已有的思想方法來進(jìn)行解答。陰影部分的面積等于半圓的面積減去空白部分的面積，可是空白部分是不規(guī)則圖形，無法求出其面積，因此有15%的學(xué)生用煩瑣的方法四解答，當(dāng)然不排除還有用更加復(fù)雜的解題思路來求出陰影部分面積的。這是一道難度系數(shù)并不高的圖形問題，題目不難為何錯誤率卻這么高，其原因就在于學(xué)生習(xí)慣于機(jī)械模仿，解題時缺乏“識圖”能力、“轉(zhuǎn)化”意識，缺少對幾何圖形內(nèi)在本質(zhì)的深度理解和正確把握。

四、知識脫節(jié)——缺失系統(tǒng)連貫的經(jīng)驗(yàn)建構(gòu)

對于計(jì)算陰影部分圖形的面積無從下手的學(xué)生，筆者與其進(jìn)行了交談。出現(xiàn)問題的主要原因是陰影部分并不是圓的，還多了一小部分，而且這一小部分又是一個不規(guī)則圖形，于是學(xué)生就被“困”住了。當(dāng)筆者把添好輔助線的圖形再給學(xué)生時，學(xué)生馬上喊道：“我會做了，太簡單了，我怎么沒有想到呢？”

平面幾何中添輔助線，需要具備對圖形的切拼構(gòu)造能力和圖形的對稱、旋轉(zhuǎn)和平移的幾何變換能力，而這種能力的形成需要學(xué)生日常在知識的學(xué)習(xí)過程中逐步積累，無法一蹴而就。

對策和措施

加深對“圖形與幾何”知識的理解、掌握，需要我們尋求“圖形與幾何”教學(xué)的有效策略。在圖形與幾何教學(xué)中，我們要重視知識表征，關(guān)注公式理解，聚焦圖形本質(zhì)，探尋解決策略，從而有效形成“圖形與幾何”問題的解決策略。endprint

策略一：重視感知，讓幾何圖形的表象“明”起來

在認(rèn)識圖形和圖形特征的探索過程中，學(xué)生必然要從事多種活動，這也是小學(xué)“圖形與幾何”學(xué)習(xí)的一個重要特征。這些活動，既包括學(xué)生的觀察活動，也包括學(xué)生的操作活動，如撕、剪、拼、折、畫，還包括學(xué)生的想象活動。因此，教師在進(jìn)行圖形與幾何的教學(xué)時，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行多種感知活動，從而理解幾何圖形的特征，使幾何圖形的表象和幾何概念明確起來。

教學(xué)案例1：人教版五下“長方體和正方體的認(rèn)識”一課。

1.注重觀察，加深“表象積累”

教材沒有給出長方體的定義，而是通過對課本中各圖形的觀察來認(rèn)識長方體。讓學(xué)生回憶生活中常見的長方體物體，并通過觀察實(shí)物、模型等方式讓學(xué)生了解長方體魚缸、紙盒等物體的表征，同時借助看、摸、比等方法，區(qū)別不同的立體圖形，從而認(rèn)識長方體、正方體的特征，并在腦海中形成正確的表象，清晰的概念。

2.注重操作，強(qiáng)化“概念深知”

正方體、長方體的展開圖可以加強(qiáng)學(xué)生對正方體和長方體的認(rèn)識。通過小組合作的形式讓學(xué)生剪紙盒，在主動地操作、交流中，體驗(yàn)長方體展開圖形狀的多樣性和組成的確定性。還可以結(jié)合課件進(jìn)行演示，使學(xué)生對圖形的認(rèn)識，概念的理解更加深入。

3.注重畫圖，深化“特征理解”

畫圖能使抽象的物體具體化。課堂上，可以讓學(xué)生拿實(shí)物，先在頭腦中想一想立體圖形的樣子，繼而畫一畫展開圖；也可以根據(jù)展開圖來畫立體圖形；還可以提供長方體的任意兩個相鄰面，讓學(xué)生想象長方體形狀，并畫出來，標(biāo)出長、寬、高。將具體的實(shí)物與抽象的幾何圖形建立橋梁，能夠深化學(xué)生對幾何圖形特征的理解。

教學(xué)周長、面積時，也要這樣的感知活動，才能讓幾何圖形的表象“明”起來。這也最好地詮釋了“我聽見了，我忘記了；我看見了，就記住了；我去做了，就理解了?！睆亩由罡拍畹睦斫馀c掌握。

策略二：經(jīng)歷過程，讓幾何圖形的公式“活”起來

掌握基本圖形的周長、面積和體積的計(jì)算公式，仍然是“圖形與幾何”教學(xué)內(nèi)容的重要方面，但教學(xué)不能將主要精力放在簡單套用公式進(jìn)行計(jì)算上。在學(xué)生的日常練習(xí)中，經(jīng)常會碰到已知梯形的“上下底之和”和“高”而不會求梯形的面積；已知r?是多少而不會求圓的面積的情況。機(jī)械的公式計(jì)算練習(xí)，讓學(xué)生逐漸形成了一看到題目就先去尋找公式中的各個要素的思維定勢：求梯形的面積，就要分別知道上底、下底和高；求圓的面積，就要知道半徑。學(xué)生沒有經(jīng)歷幾何圖形的公式的探索過程，對計(jì)算公式只知其然而不知其所以然。

教學(xué)案例2：人教版六年級上“圓的面積”一課。

1.比較，感受“變化本質(zhì)”

課前讓學(xué)生準(zhǔn)備5個大小不一的圓，為學(xué)生“主動地進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證”提供充分的準(zhǔn)備。學(xué)生通過觀察，引發(fā)面積變化的比較，激發(fā)學(xué)生的思考，在交流中初步發(fā)現(xiàn)引起圓面積變化的因素——直徑和半徑。

2.猜想，聚焦“核心知識”

筆者在課堂教學(xué)中設(shè)計(jì)了這樣一個環(huán)節(jié)：課件出示一個正方形，再以正方形的一個頂點(diǎn)為圓心，邊長為半徑畫一個圓，請學(xué)生觀察：正方形的邊長與圓有什么關(guān)系？猜想：圓的面積大約是正方形面積的幾倍？你是怎樣想的？

從學(xué)生熟悉的“數(shù)方格”初步驗(yàn)證猜想，借助圓內(nèi)接正方形，圓外切正方形得出圓的面積是正方形面積的3倍多一些，讓學(xué)生理解到圓的面積與r?有著更為直接的倍數(shù)關(guān)系。

3.驗(yàn)證，體現(xiàn)“過程理解”

驗(yàn)證環(huán)節(jié)，以小組為單位，通過轉(zhuǎn)化成已學(xué)過的圖形來推導(dǎo)圓面積公式。因?yàn)橛辛苏n堂反饋時多樣化的策略，雖然各小組選擇的方法不一，但都驗(yàn)證了圓面積的結(jié)果都一致，通過比較溝通了各種方法之間的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生真正經(jīng)歷了凸顯思維品質(zhì)的圓面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過程。

在練習(xí)中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生都能夠正確地利用公式求圓的面積，這說明學(xué)生對圓的面積公式有了真正意義上的掌握，r?是一個正方形的面積，圓的面積也就是正方形面積的π倍。如果沒有對圓面積與r?關(guān)系的深入知識本質(zhì)的理解，學(xué)生在處理相關(guān)問題時會花費(fèi)更多的精力與時間。筆者認(rèn)為只有在圖形公式教學(xué)中深入思維品質(zhì)的探索過程，才能讓幾何圖形的公式在運(yùn)用時更加靈活。

策略三：巧妙設(shè)計(jì)，讓幾何圖形的本質(zhì)“凸”起來

有心理學(xué)工作者曾對小學(xué)三、四、五年級學(xué)生識別幾何圖形的情況作過調(diào)查，以直角三角形為例，正確識別標(biāo)準(zhǔn)圖形的占被測人數(shù)的76.7%，而正確識別其變式圖形的只占35%。教學(xué)中經(jīng)常會發(fā)現(xiàn)一些基本圖形稍作變化，學(xué)生就會不認(rèn)識。因此在“圖形與幾何”的教學(xué)中教師要有意識地將轉(zhuǎn)化和優(yōu)化的思想滲透到課堂中，讓幾何圖形的本質(zhì)凸顯起來。

1.加強(qiáng)“識圖意識”的練習(xí)

不會識圖，認(rèn)識不了圖形，就解決不了問題。因此，在教學(xué)中要利用標(biāo)準(zhǔn)圖形，適當(dāng)?shù)刈儞Q方位，重新組合，促進(jìn)學(xué)生對新圖形的認(rèn)識。通過變式圖形與標(biāo)準(zhǔn)圖形的比較，培養(yǎng)學(xué)生的識圖能力。

例1：下面是面積相等的四個正方形，四個圖中陰影部分面積是否也相等？為什么？

圖形進(jìn)行了變換，但陰影部分的面積還是等于正方形的面積減去圓的面積這一本質(zhì)。通過精心設(shè)計(jì)題組，在分解、組合平面圖形中進(jìn)行圖形的不斷變換，以提高學(xué)生的識圖能力。

2.加強(qiáng)“轉(zhuǎn)化意識”的練習(xí)

轉(zhuǎn)化是圖形與幾何教學(xué)的核心本質(zhì)。在解決比較復(fù)雜的圖形問題時，通過轉(zhuǎn)化手段，把原來的圖形轉(zhuǎn)化成我們熟悉的“標(biāo)準(zhǔn)”圖形，轉(zhuǎn)化成能解決或比較容易解決的問題，起到化繁為簡、化難為易的作用，從而順利地解決問題。

例2：如果平行四邊形的面積是80平方厘米，求陰影部分的面積。

只有在平時的教學(xué)中經(jīng)常設(shè)計(jì)這樣練習(xí)，才能有效落實(shí)轉(zhuǎn)化意識，提高學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力。

3.加強(qiáng)“思想方法”的練習(xí)

課程教材研究所研究員章建躍先生在“通性通法”中指出，“通性”就是概念所反映的數(shù)學(xué)基本性質(zhì)，“通法”就是概念所蘊(yùn)含的思想方法。在“圖形與幾何”的解題教學(xué)中，要注重蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，才能追求圖形教學(xué)的“長期利益”。endprint

例3：一個密封的長方體水箱，長20厘米，寬15厘米，高10厘米，當(dāng)水箱如下A圖放置，水深8厘米；當(dāng)如B圖放置時，水的高度是多少厘米？

很多學(xué)生都弄不明白長方體水箱的體積、橫放時水的體積、豎放時水的體積三者之間的關(guān)系與聯(lián)系。這時教師應(yīng)重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生“水箱橫放和豎放，什么變了，什么不變”這一核心問題加以辨析。分辨出哪些是關(guān)鍵因素，哪些是無關(guān)因素，如何根據(jù)關(guān)鍵因素和不變關(guān)系確定解決問題的思路。這樣的教學(xué)，著眼于“如何想”，重視題中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。

策略四：整體建構(gòu)，讓幾何圖形問題的解決策略“厚”起來

對學(xué)生進(jìn)行幾何圖形的分割與拼組能力的培養(yǎng)，是整體建構(gòu)幾何知識的有效手段，也是空間想象能力深化的標(biāo)志。在教學(xué)中，我們應(yīng)該有意識地加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，使學(xué)生在圖形處理過程中真正認(rèn)識圖形，理解圖形，使空間圖形在學(xué)生面前不再僵化、呆板，從而使幾何圖形的解決策略豐厚起來。

1.答案開放中厚實(shí)思維

在認(rèn)識圖形的特征后，教師可設(shè)計(jì)一些非標(biāo)準(zhǔn)圖形分割與拼組的練習(xí)。通過這樣的訓(xùn)練，讓學(xué)生更好地把握圖形的特征。特別是圖形的分割聯(lián)系能為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)添加輔助線打下基礎(chǔ)。

例4：從A點(diǎn)出發(fā)畫出兩條直線，把右圖分割成一個四邊形和兩個三角形。

這樣的練習(xí)學(xué)生需要掌握四邊形和三角形的基本特征，培養(yǎng)學(xué)生整體把握、綜合分析、聯(lián)系圖形之間的關(guān)系的能力。在答案的不唯一中，提升學(xué)生的思維，培養(yǎng)幾何圖形的分割與拼組能力和添輔助線的意識。

2.在解題多樣中豐厚方法

解決圖形與幾何問題時，對同一個圖形運(yùn)用不同的解決方法，能夠從不同的角度對圖形與幾何的屬性進(jìn)行思考。

例6：下圖是由一個長6厘米、寬3厘米的長方形和一個邊長為3厘米的正方形組成的圖形，你能用多少種方法求出陰影部分的面積？

方法一.從整個圖形中減去空白三角形。

6×3+3×3-（3+3）×6÷2=9（厘米2）

方法二.陰影三角形旋轉(zhuǎn)到空白三角形位置，正方形面積就是陰影部分面積。

3×3=9（厘米2）

方法三.添輔助線，從三角形中減去一個長方形。

6×6÷2-3×（6-3）=9（厘米2）

通過“你能用多少種方法求出陰影部分的面積？”這個問題，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用“割”“補(bǔ)”“移”的方法來解決問題。特別是“添輔助線”的方法，輔助線是圖形與圖形之間搭起的“橋梁”，有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖形與圖形之間、問題與條件之間的關(guān)系，從而找到解題思路。在平時的教學(xué)中教師要對“割”“補(bǔ)”“移”“添輔助線”等方法進(jìn)行整體把握，從不同的角度對點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與線、線與線以及面與面的關(guān)系進(jìn)行刻畫，讓學(xué)生的解題方法“豐厚”起來。

總之，教師在圖形與幾何教學(xué)時，應(yīng)全面把握教材的體系，認(rèn)真研讀教材，做到既為“眼前利益”著想，又為“長遠(yuǎn)利益”考慮。根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，充分利用各種條件，采用多種教學(xué)手段，引導(dǎo)學(xué)生通過多種感官對物體、模型、圖形進(jìn)行感知，促使學(xué)生更好地理解幾何圖形的本質(zhì)屬性，形成圖形的表象和清晰的幾何概念，讓幾何圖形在學(xué)生心中真正“活”起來，讓學(xué)生對圖形與幾何知識的學(xué)習(xí)更加自信。

（浙江省平湖市乍浦天妃小學(xué) 314201）endprint

例3：一個密封的長方體水箱，長20厘米，寬15厘米，高10厘米，當(dāng)水箱如下A圖放置，水深8厘米；當(dāng)如B圖放置時，水的高度是多少厘米？

很多學(xué)生都弄不明白長方體水箱的體積、橫放時水的體積、豎放時水的體積三者之間的關(guān)系與聯(lián)系。這時教師應(yīng)重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生“水箱橫放和豎放，什么變了，什么不變”這一核心問題加以辨析。分辨出哪些是關(guān)鍵因素，哪些是無關(guān)因素，如何根據(jù)關(guān)鍵因素和不變關(guān)系確定解決問題的思路。這樣的教學(xué)，著眼于“如何想”，重視題中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。

策略四：整體建構(gòu)，讓幾何圖形問題的解決策略“厚”起來

對學(xué)生進(jìn)行幾何圖形的分割與拼組能力的培養(yǎng)，是整體建構(gòu)幾何知識的有效手段，也是空間想象能力深化的標(biāo)志。在教學(xué)中，我們應(yīng)該有意識地加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，使學(xué)生在圖形處理過程中真正認(rèn)識圖形，理解圖形，使空間圖形在學(xué)生面前不再僵化、呆板，從而使幾何圖形的解決策略豐厚起來。

1.答案開放中厚實(shí)思維

在認(rèn)識圖形的特征后，教師可設(shè)計(jì)一些非標(biāo)準(zhǔn)圖形分割與拼組的練習(xí)。通過這樣的訓(xùn)練，讓學(xué)生更好地把握圖形的特征。特別是圖形的分割聯(lián)系能為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)添加輔助線打下基礎(chǔ)。

例4：從A點(diǎn)出發(fā)畫出兩條直線，把右圖分割成一個四邊形和兩個三角形。

這樣的練習(xí)學(xué)生需要掌握四邊形和三角形的基本特征，培養(yǎng)學(xué)生整體把握、綜合分析、聯(lián)系圖形之間的關(guān)系的能力。在答案的不唯一中，提升學(xué)生的思維，培養(yǎng)幾何圖形的分割與拼組能力和添輔助線的意識。

2.在解題多樣中豐厚方法

解決圖形與幾何問題時，對同一個圖形運(yùn)用不同的解決方法，能夠從不同的角度對圖形與幾何的屬性進(jìn)行思考。

例6：下圖是由一個長6厘米、寬3厘米的長方形和一個邊長為3厘米的正方形組成的圖形，你能用多少種方法求出陰影部分的面積？

方法一.從整個圖形中減去空白三角形。

6×3+3×3-（3+3）×6÷2=9（厘米2）

方法二.陰影三角形旋轉(zhuǎn)到空白三角形位置，正方形面積就是陰影部分面積。

3×3=9（厘米2）

方法三.添輔助線，從三角形中減去一個長方形。

6×6÷2-3×（6-3）=9（厘米2）

通過“你能用多少種方法求出陰影部分的面積？”這個問題，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用“割”“補(bǔ)”“移”的方法來解決問題。特別是“添輔助線”的方法，輔助線是圖形與圖形之間搭起的“橋梁”，有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖形與圖形之間、問題與條件之間的關(guān)系，從而找到解題思路。在平時的教學(xué)中教師要對“割”“補(bǔ)”“移”“添輔助線”等方法進(jìn)行整體把握，從不同的角度對點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與線、線與線以及面與面的關(guān)系進(jìn)行刻畫，讓學(xué)生的解題方法“豐厚”起來。

總之，教師在圖形與幾何教學(xué)時，應(yīng)全面把握教材的體系，認(rèn)真研讀教材，做到既為“眼前利益”著想，又為“長遠(yuǎn)利益”考慮。根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，充分利用各種條件，采用多種教學(xué)手段，引導(dǎo)學(xué)生通過多種感官對物體、模型、圖形進(jìn)行感知，促使學(xué)生更好地理解幾何圖形的本質(zhì)屬性，形成圖形的表象和清晰的幾何概念，讓幾何圖形在學(xué)生心中真正“活”起來，讓學(xué)生對圖形與幾何知識的學(xué)習(xí)更加自信。

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例3：一個密封的長方體水箱，長20厘米，寬15厘米，高10厘米，當(dāng)水箱如下A圖放置，水深8厘米；當(dāng)如B圖放置時，水的高度是多少厘米？

很多學(xué)生都弄不明白長方體水箱的體積、橫放時水的體積、豎放時水的體積三者之間的關(guān)系與聯(lián)系。這時教師應(yīng)重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生“水箱橫放和豎放，什么變了，什么不變”這一核心問題加以辨析。分辨出哪些是關(guān)鍵因素，哪些是無關(guān)因素，如何根據(jù)關(guān)鍵因素和不變關(guān)系確定解決問題的思路。這樣的教學(xué)，著眼于“如何想”，重視題中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。

策略四：整體建構(gòu)，讓幾何圖形問題的解決策略“厚”起來

對學(xué)生進(jìn)行幾何圖形的分割與拼組能力的培養(yǎng)，是整體建構(gòu)幾何知識的有效手段，也是空間想象能力深化的標(biāo)志。在教學(xué)中，我們應(yīng)該有意識地加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，使學(xué)生在圖形處理過程中真正認(rèn)識圖形，理解圖形，使空間圖形在學(xué)生面前不再僵化、呆板，從而使幾何圖形的解決策略豐厚起來。

1.答案開放中厚實(shí)思維

在認(rèn)識圖形的特征后，教師可設(shè)計(jì)一些非標(biāo)準(zhǔn)圖形分割與拼組的練習(xí)。通過這樣的訓(xùn)練，讓學(xué)生更好地把握圖形的特征。特別是圖形的分割聯(lián)系能為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)添加輔助線打下基礎(chǔ)。

例4：從A點(diǎn)出發(fā)畫出兩條直線，把右圖分割成一個四邊形和兩個三角形。

這樣的練習(xí)學(xué)生需要掌握四邊形和三角形的基本特征，培養(yǎng)學(xué)生整體把握、綜合分析、聯(lián)系圖形之間的關(guān)系的能力。在答案的不唯一中，提升學(xué)生的思維，培養(yǎng)幾何圖形的分割與拼組能力和添輔助線的意識。

2.在解題多樣中豐厚方法

解決圖形與幾何問題時，對同一個圖形運(yùn)用不同的解決方法，能夠從不同的角度對圖形與幾何的屬性進(jìn)行思考。

例6：下圖是由一個長6厘米、寬3厘米的長方形和一個邊長為3厘米的正方形組成的圖形，你能用多少種方法求出陰影部分的面積？

方法一.從整個圖形中減去空白三角形。

6×3+3×3-（3+3）×6÷2=9（厘米2）

方法二.陰影三角形旋轉(zhuǎn)到空白三角形位置，正方形面積就是陰影部分面積。

3×3=9（厘米2）

方法三.添輔助線，從三角形中減去一個長方形。

6×6÷2-3×（6-3）=9（厘米2）

通過“你能用多少種方法求出陰影部分的面積？”這個問題，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用“割”“補(bǔ)”“移”的方法來解決問題。特別是“添輔助線”的方法，輔助線是圖形與圖形之間搭起的“橋梁”，有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖形與圖形之間、問題與條件之間的關(guān)系，從而找到解題思路。在平時的教學(xué)中教師要對“割”“補(bǔ)”“移”“添輔助線”等方法進(jìn)行整體把握，從不同的角度對點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與線、線與線以及面與面的關(guān)系進(jìn)行刻畫，讓學(xué)生的解題方法“豐厚”起來。

總之，教師在圖形與幾何教學(xué)時，應(yīng)全面把握教材的體系，認(rèn)真研讀教材，做到既為“眼前利益”著想，又為“長遠(yuǎn)利益”考慮。根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，充分利用各種條件，采用多種教學(xué)手段，引導(dǎo)學(xué)生通過多種感官對物體、模型、圖形進(jìn)行感知，促使學(xué)生更好地理解幾何圖形的本質(zhì)屬性，形成圖形的表象和清晰的幾何概念，讓幾何圖形在學(xué)生心中真正“活”起來，讓學(xué)生對圖形與幾何知識的學(xué)習(xí)更加自信。

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