排列組合問題的破解藝術(shù)

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(青田教師進(jìn)修學(xué)校 浙江青田 323900)

“排列與組合”是組合學(xué)中最基本的概念，具有廣泛的實(shí)際意義和現(xiàn)實(shí)應(yīng)用．工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和日常生活中的許多分工、選配、排序、數(shù)字、列隊(duì)的種數(shù)或個(gè)數(shù)等計(jì)數(shù)問題，往往需要?jiǎng)佑门帕薪M合知識(shí)來思考和處理．一些看似簡(jiǎn)單與平常的拍照、選派、分配問題，運(yùn)用排列組合知識(shí)解決后，其龐大的數(shù)值常常讓我們驚奇不已；一些有條件限制的或表面復(fù)雜的排隊(duì)、調(diào)配、數(shù)字問題，只要采用了巧妙的思考方式與恰當(dāng)?shù)膽?yīng)對(duì)模式，往往能使求解出奇制勝．

“排列與組合”在高中數(shù)學(xué)中是一塊相對(duì)獨(dú)立又獨(dú)具魅力的知識(shí)內(nèi)容(與其他數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系較少)，而對(duì)學(xué)生的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)能力卻具有獨(dú)有的檢測(cè)功能和良好的考查功效，是每年高考必考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，但同時(shí)也是學(xué)生平時(shí)最費(fèi)解或最懼怕的題型之一，更常常是高考中得分率最低的考題之一．究其原因緣于排列組合問題的求解往往需要縝密的思維方式與獨(dú)特的解決方法，思考稍有不慎或考慮稍有不周，便會(huì)出現(xiàn)計(jì)數(shù)的“重復(fù)”或“遺漏”而導(dǎo)致答案的嚴(yán)重偏差．

為此解決排列組合應(yīng)用問題必須“講究策略、講求實(shí)效、尋求技法、追求效率”，力求“強(qiáng)攻”和“輕取”并舉、“通法”和“妙招”并重，以求實(shí)現(xiàn)解題過程的“最優(yōu)化”和解題效應(yīng)的“最大化”．本文簡(jiǎn)明地闡述破解排列組合問題的“五大基本藝術(shù)”．

1 求解之序：整體分類，局部分步

面對(duì)一個(gè)復(fù)雜的計(jì)數(shù)問題，人們往往通過分類或分步的方法把它分解為若干個(gè)簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)問題，在解決這些簡(jiǎn)單問題的基礎(chǔ)上，將它們整合起來而得到原問題的答案．分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理(統(tǒng)稱為“基本計(jì)數(shù)原理”或簡(jiǎn)稱“計(jì)數(shù)原理”)是解決計(jì)數(shù)問題最基本、最重要的方法，它們既為解決許多實(shí)際應(yīng)用問題指明了最基本的思想策略，更為解決實(shí)際計(jì)數(shù)問題提供了最重要的技術(shù)工具．

排列、組合是2類特殊而重要的計(jì)數(shù)問題，其求解的基本手法是準(zhǔn)確地利用2個(gè)計(jì)數(shù)原理，進(jìn)行合理地“分類”與“分步”．在具體操作中常常是“步”與“類”有機(jī)結(jié)合，交叉融合，可以是“類中有步”，也可以是“步中有類”.但在實(shí)際運(yùn)用時(shí)，除了可直接分步就能簡(jiǎn)便求解的問題之外，總體上較為通用的求解程序是“整體分類，局部分步”(即先分類再分步)，這樣會(huì)使問題的處理“更為有序、更易把控”．

例1從0,2中選1個(gè)數(shù)字，從1,3,5中選2個(gè)數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的3位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為

( )

A．24 B．18 C．12 D．6

(2012年北京市數(shù)學(xué)高考試題)

解先按所求奇數(shù)的形態(tài)分類，每一類再以“個(gè)位、十位、百位”的次序分步選數(shù)完成．

(1)3位奇數(shù)形如“奇偶奇”，有3×2×2=12種；

(2)3位奇數(shù)形如“偶奇奇”，有3×2×1=6種．

故共有12+6=18種，選B．

說明這是一個(gè)常見的“數(shù)字問題”，解法常常不唯一．只要先準(zhǔn)確分類，再合理分步，問題便能迎刃而解．

圖1

例2如圖1，一環(huán)形花壇分成A,B,C,D這4塊，現(xiàn)有4種不同的花供選種，要求在每塊里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數(shù)為

( )

A．96 B．84 C．60 D．48

(2008年全國(guó)高考數(shù)學(xué)大綱卷試題)

解法1先按A,C是否選種相同的花分類，再按A-C-B-D的次序分步種花．

(1)若A,C種相同的花，則有4×1×3×3=36種；

(2)若A,C種不同的花，則有4×3×2×2=48種．

故共有36+48=84種，選B．

解法2按選種幾種花來分類求解．

故共有24+48+12=84種，選B．

2 解題之要：先組后排，不重不漏

解決排列組合問題要統(tǒng)籌謀劃，講究策略．首先要弄清是排列(有序)問題，還是組合(無序)問題，或是排列與組合的混合問題．即搞清完成這件事時(shí)，是否與元素的順序(位置)有關(guān)．事實(shí)上，排列與組合既有區(qū)別，又有聯(lián)系．所有的“排列”都可以看作是先取組合，再做全排列；同樣，所有的“組合”若補(bǔ)充一個(gè)階段(排序)則轉(zhuǎn)化為排列問題．破解排列組合綜合問題最基本的策略藝術(shù)為“先選取元素(先組合)，后擺放順序(后排列)”，簡(jiǎn)稱為“先選后排”或“先組后排”．

準(zhǔn)確合理地“分類”與“分步”是求解排列組合問題最基本也最重要的技術(shù)手段．準(zhǔn)確完整的“分類”務(wù)必達(dá)到：類與類之間必須互斥(類不相容、類不重復(fù))，總類必須完備(類須齊全、類不遺漏).為此分類的標(biāo)準(zhǔn)必須前后統(tǒng)一,合理合適的“分步”務(wù)必做到：步與步之間互相獨(dú)立、互不干擾并確保連續(xù)性(但實(shí)際操作時(shí)，步與步的順次可以視具體情形靈活安排與處理)．由此再依據(jù)分類相加與分步相乘這2個(gè)基本計(jì)數(shù)原理，穩(wěn)抓穩(wěn)打，逐步推進(jìn)，便能確保計(jì)數(shù)結(jié)果的“不重不漏”．

例3現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加上海世博會(huì)志愿者服務(wù)活動(dòng)，每人從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)4項(xiàng)工作之一，每項(xiàng)工作至少有一人參加．甲、乙不會(huì)開車但能從事其他3項(xiàng)工作，丙、丁、戊都能勝任4項(xiàng)工作，則不同安排方案的種數(shù)是

( )

A．152 B.126 C.90 D.54

(2010年湖北省數(shù)學(xué)高考試題)

解按題意某一項(xiàng)工作必有2人去做，由此確定一個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn)；再按“先選人再排人”(即先組后排)的思想求解(如先安排司機(jī)工作，再安排其他3項(xiàng)工作)．

故共有18+108=126種，選B．

說明這是一個(gè)極其常見的“分工問題”(排列組合混合問題)．解題的關(guān)鍵點(diǎn)是正確地理解題意，選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)(分類方式往往不唯一)，再以“先選后排”的策略推進(jìn)．求解的易錯(cuò)點(diǎn)為因分類標(biāo)準(zhǔn)不清，易導(dǎo)致“計(jì)數(shù)重復(fù)或者遺漏”．

例4某校從8名教師中選派4名教師同時(shí)去4個(gè)邊遠(yuǎn)地區(qū)支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，則不同的選派方案共有______種．

(2006年陜西省數(shù)學(xué)高考試題)

解先按題中附加條件(尤其是甲)正確分類，再依照“先選人后派人”的程序求解．

故共有240+240+120=600種不同的選派方案．

說明這是一個(gè)有多種附加要求的“選派問題”，題目具有一定的思維含量，也有一定的技術(shù)難度．但是只要遵循科學(xué)分類、合理分步以及“先選后派”的應(yīng)對(duì)法則，就能保證求解結(jié)果的“不重不漏”．

3 破解之策：特殊為先，正難則反

解決有限制條件(即有特殊要求)的排列組合問題，從理論上講大體有2種處理方式:一種是“先行處置沒有特殊限制的部分，而后再處理有特殊要求的部分”；一種是“先行處置有特殊限制的部分，而后再處理沒有特殊要求的部分”．但實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)向我們昭示這樣一個(gè)事實(shí)：“特殊為先”的策略更易操控，更顯自然，更加便捷，也更富藝術(shù)．也就是說，在思考和處理有限制條件的排列組合問題時(shí)，選用“特殊元素，優(yōu)先處理；特殊位置，先行考慮”的解題策略將會(huì)更勝一籌．

破解排列組合問題的常規(guī)思維是正面入手，順向思考，按元素的性質(zhì)進(jìn)行科學(xué)分類，按事件發(fā)生的過程進(jìn)行合理分步，采用“直接法”正面出擊，分解突破．然而有些問題直接從正面求解，會(huì)帶來繁雜的分類、繁復(fù)的演算．此時(shí)反其道而行之，反面入手，逆向思索(依照“逆反思維原則”：當(dāng)沿一個(gè)方向進(jìn)行思維難以奏效時(shí)，逆向思維往往就能解決)，采用“間接法”排除的思想(從所有情形中排除不合條件的部分)，即運(yùn)用“正難則反”的策略反而使問題的求解“化難為易、化繁為簡(jiǎn)”．

例5用0,1,2,3,4,5這6個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)數(shù)字1不能在個(gè)位且數(shù)字2不能在十位的沒有重復(fù)數(shù)字的6位數(shù)？

解法1用直接法．?dāng)?shù)字0,1,2是3個(gè)特殊元素，而個(gè)位、十位和首位是3個(gè)特殊的位置．現(xiàn)以“特殊數(shù)字0,2”是否在“特殊位置——個(gè)位”分類求解：

故共有192+234=426個(gè)．

解法2用間接法．正面解決比較繁瑣，則反面求解．易知沒有重復(fù)數(shù)字的6位數(shù)共有(6!-5!)個(gè)，其中數(shù)字1在個(gè)位的6位數(shù)有(5!-4!)個(gè)，數(shù)字2在十位的6位數(shù)有(5!-4!)個(gè)，數(shù)字1在個(gè)位且數(shù)字2在十位的6位數(shù)有(4!-3!)個(gè)，則符合題意的6位數(shù)共有

(6!-5!)-2(5!-4!)+(4!-3!)=426個(gè)．

說明這是一個(gè)有多重限制的“數(shù)字問題”，乍一看較難入手．解法1運(yùn)用“特殊為先”的策略尋找到求解突破口，雖然過程復(fù)雜，但入口有序，秩序井然，步步推進(jìn)．解法2依照“正難則反”的策略，反向思考，竟然使這個(gè)復(fù)雜問題的求解變得簡(jiǎn)便快捷、干脆利落．

例6現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張.從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為

( )

A．232 B．252 C．472 D．484

(2012年山東省數(shù)學(xué)高考試題)

故滿足條件的抽取方法共有560-16-72=472種，選C．

4 解圍之技：捆綁插空，隔板構(gòu)造

面對(duì)排列組合問題,常用的分析方法有：元素分析法、位置分析法和特征分析法．其求解的一般技法為：首先要搞清需要完成的是怎樣一個(gè)事件，確定完成該事件所需的元素及其個(gè)數(shù)；其次是判斷完成該事件是否與順序(位置)有關(guān)，確定是排列問題還是組合問題或是排列組合混合型問題；再次是分析完成該事件是分類還是分步或是既分類又分步，確定選擇分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理；最后一般是按照“先分類后分步、先組合后排列、先特殊后一般、正向難則逆反”的基本思想原則，列式、運(yùn)算、結(jié)果、驗(yàn)證、作答．

應(yīng)對(duì)排列組合問題,常規(guī)的解題方法有：分類法(采用元素分析法，特殊元素優(yōu)先處理)、占位法(采用位置分析法，特殊位置優(yōu)先考慮)、排除法(排法總數(shù)減去不合條件排法數(shù))．然而有些問題要求詭怪，條件奇特，還需要掌握一些“特殊技巧、特別章法”：例如相鄰問題“捆綁法”處理、不相鄰問題“插空法”處理、相同元素問題“隔板法”處理、分排問題“直排法”處理、定序問題“排除法”處理；或通過畫簡(jiǎn)圖分析、小數(shù)字處理與實(shí)際試驗(yàn)，從直觀具體中尋求解題突破；或通過化歸轉(zhuǎn)化、構(gòu)造模型及概率分析，實(shí)現(xiàn)快速求解．

例73位男生和3位女生共6位同學(xué)站成一排，若男生甲不站2端，3位女生中有且只有2位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是

( )

A.360 B.288 C.216 D.96

(2009年四川省數(shù)學(xué)高考試題)

說明這是一個(gè)平常多見的“排隊(duì)問題”，同時(shí)涉及到元素“相鄰”與“不相鄰”及其他要求，綜合運(yùn)用“捆綁法”和“插空法”這2種特殊的求解技巧，可以有效地加以解決．

例8(原創(chuàng)題)已知一個(gè)袋子內(nèi)共有10個(gè)小球，如果連續(xù)不放回地摸取小球，且每次只能摸取1個(gè)小球或2個(gè)小球，那么摸完該袋子內(nèi)的10個(gè)小球共有多少種不同摸法？

解假設(shè)摸完這10個(gè)小球共有an種不同摸法，則容易知道a1=1,a2=2,a3=3．另外易知，若第一次摸1個(gè)小球，則有an-1種不同摸法；若第一次摸2個(gè)小球，則有an-2種不同摸法．當(dāng)n>2時(shí)，由加法計(jì)數(shù)原理，得an=an-1+an-2(遞推公式)，于是得出a4=5,a5=8,a6=13,a7=21,a8=34,a9=55,a10=89.

說明這是一個(gè)平時(shí)常見且較為復(fù)雜的“摸球問題”，難以直接運(yùn)用排列數(shù)與組合數(shù)的計(jì)算公式來求解，需要尋求特別的思考方式和特殊的計(jì)算手段加以解決．這里通過對(duì)第一次摸球個(gè)數(shù)的分類分析，“構(gòu)造”得出一個(gè)遞推公式an=an-1+an-2成為解題的著力點(diǎn)和突破口，使一個(gè)復(fù)雜的計(jì)數(shù)問題頓然之間柳暗花明，豁然開朗，進(jìn)而巧妙、快速地得以求解．若利用以上遞推關(guān)系式，還可以求得其一般計(jì)數(shù)公式

由本例可以推廣出更為一般的“摸球模型”的計(jì)數(shù)方式：設(shè)有一堆球共有n個(gè)，若每次可不放回地摸取k個(gè)球，其中1≤k≤m,m≤n，假設(shè)摸完這堆球的不同方法共有an種，則

an=an-1+an-2+…+an-m，

并容易得出a1=1,a2=2,a3=4,…,am=2m-1．

5 檢驗(yàn)之法：多方求證，殊途同歸

直面“平常課堂”、“課外作業(yè)”抑或“高考考場(chǎng)”，學(xué)生應(yīng)對(duì)排列組合綜合問題，常常會(huì)出現(xiàn)“解法多多，答案諸多；求法一變，答案亦變；想法精巧，答案不巧”的狀況，有時(shí)甚至呈現(xiàn)“望題興嘆，遇題發(fā)呆”的境況，部分學(xué)生不免發(fā)出排列組合題的分?jǐn)?shù)怎么這樣難拿的感嘆聲！于是，時(shí)常會(huì)出現(xiàn)這樣的景象：學(xué)生們常常是即便“做對(duì)了題目、選準(zhǔn)了答案”，卻仍然對(duì)自己的解答與結(jié)論缺乏“絕對(duì)的把握、應(yīng)有的自信”．

仔細(xì)深究，原因在于排列組合問題往往“蘊(yùn)含深厚，條件隱晦；要求奇特，暗藏玄機(jī)；題型多變，解法靈活”，設(shè)置的情境常常具有一定的復(fù)雜性或迷惑性，審題稍不留神或思考略有不周，便步入思維誤區(qū)．或以偏概全，一失足而成千古恨；或交叉重疊，畫蛇添足而徒無功．求解排列組合問題必須養(yǎng)成“解后反思和檢查驗(yàn)證”的好習(xí)慣，采用“多方求證，殊途同歸”，是確保尋求到正確答案的“必要之舉、重要之法”．

例9從3名骨科、4名腦外科和5名內(nèi)科醫(yī)生中選派5人組成一個(gè)抗震救災(zāi)醫(yī)療小組，則骨科、腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有1人的選派方法種數(shù)是______(用數(shù)字作答)．

(2013年重慶市數(shù)學(xué)高考試題)

解法1(直接法)先按“5人醫(yī)療小組組成”分成6類，每1類再分步選人處理：

故共有120+180+60+120+90+60=590種．

792-125-55-21+1=590種．

例10方程ay=b2x2+c中的a,b,c∈{-3,-2,0,1,2,3}，且a,b,c互不相同，在所有這些方程所表示的曲線中,不同的拋物線共有

( )

A．60條 B．62條 C．71條 D．80條

(2012年四川省數(shù)學(xué)高考試題)

(1)若b=-3,則

(2)若b=3,則

以上2種情況下有9條重復(fù)，故共有16+16-9=23條；同理當(dāng)b=-2或b=2時(shí)，有23條；當(dāng)b=1時(shí)，有16條.故共有23+23+16=62條．

說明這是一個(gè)計(jì)數(shù)難度較大的“幾何問題”，綜合運(yùn)用排列組合公式求解是命題的本真用意，但很容易忽視重復(fù)出現(xiàn)的18條拋物線，致使錯(cuò)選答案D．而拋物線條數(shù)眾多，難以用直觀方法驗(yàn)證其計(jì)數(shù)結(jié)果的正確性．“列舉法”雖然表面過程復(fù)雜繁瑣，但只要操作有條不紊，各種情景可以盡收眼底，一覽無遺，常常是解決排列、組合、概率等問題的有效方法．對(duì)于排列組合問題，要善于一題多解，多方驗(yàn)證，以檢驗(yàn)求解過程的合理性和準(zhǔn)確性．

參 考 文 獻(xiàn)

[1] 蔣海甌.“知其然”，更知其“所以然”[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(上旬)，2014(1/2)：138.