教學(xué)研得教法透 課堂縱橫得自由
——高三復(fù)習(xí)課“數(shù)列求和”教學(xué)設(shè)計(jì)

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(溧水高級(jí)中學(xué) 江蘇溧水 211200)

近期，筆者在全市范圍內(nèi)開(kāi)設(shè)了一節(jié)公開(kāi)課，經(jīng)過(guò)3次洗課，把一些繁、難的例題和習(xí)題刪去了，課堂中講解的題目看似簡(jiǎn)單，但是筆者認(rèn)為雖然它們簡(jiǎn)約而不簡(jiǎn)單，學(xué)生在教師精心設(shè)計(jì)的課堂教學(xué)的潛移默化中，逐步學(xué)會(huì)觀察、學(xué)會(huì)探索、學(xué)會(huì)研究，從而提升學(xué)生的綜合素養(yǎng).下面筆者將本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)整理如下：

1 教材分析

本節(jié)高三復(fù)習(xí)課為“數(shù)列求和”第一課時(shí)，是學(xué)生在復(fù)習(xí)了等差數(shù)列和等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和后安排的內(nèi)容，學(xué)生已經(jīng)有了數(shù)列有關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)，因此主要針對(duì)一些既非等差又非等比數(shù)列的求和方法進(jìn)行歸納、總結(jié).由于數(shù)列求和的方法很多，本節(jié)課就著重介紹其中一種方法：裂項(xiàng)求和.

2 教學(xué)目標(biāo)

2.1 知識(shí)技能

會(huì)運(yùn)用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式并結(jié)合裂項(xiàng)等方法解決一些其他的數(shù)列求和問(wèn)題.

2.2 數(shù)學(xué)思考

經(jīng)歷用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決一些其他數(shù)列求和問(wèn)題的過(guò)程，充分認(rèn)識(shí)感受裂項(xiàng)求和方法的運(yùn)用.

2.3 解決問(wèn)題

會(huì)運(yùn)用裂項(xiàng)解決相關(guān)數(shù)列的求和問(wèn)題.

2.4 情感態(tài)度

經(jīng)歷歸納數(shù)列求和的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較與歸納的能力，在相關(guān)活動(dòng)中設(shè)計(jì)問(wèn)題、解決問(wèn)題，并引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)辨析，培養(yǎng)問(wèn)題意識(shí)與質(zhì)疑精神.

3 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

環(huán)節(jié)1課前熱身，自主回顧

(1)等差數(shù)列的求和公式為_(kāi)_____.

(2)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程是怎樣的？用了什么方法？

(3)等比數(shù)列的求和公式為_(kāi)_____.

(4)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程是怎樣的？用了什么方法？

(5)你所知道的求和方法有哪些？

本環(huán)節(jié)要求學(xué)生課前完成，必要時(shí)翻看課本，課上只要適當(dāng)點(diǎn)撥即可.

設(shè)計(jì)意圖這幾個(gè)問(wèn)題都是幫助學(xué)生回憶等差數(shù)列和等比數(shù)列求和公式的一些基本概念、方法，即使學(xué)生遺忘了，也只要課前翻看課本，很快就能解決.問(wèn)題(5)意在讓學(xué)生回憶所知道的求和方法，為后面上課作好鋪墊，節(jié)省不必要的時(shí)間.

環(huán)節(jié)2課前測(cè)試，查漏補(bǔ)缺

(1)3+5+7+9+…+99=______;

(2)1+3+5+…+2n+1=______;

(3)1+2+4+…+2n=______;

(4)1+a+a2+…+an=______.

本環(huán)節(jié)要求學(xué)生在課堂前幾分鐘完成，然后教師講解，并適當(dāng)補(bǔ)充，強(qiáng)調(diào)易錯(cuò)點(diǎn).

設(shè)計(jì)意圖該題組的設(shè)計(jì)是針對(duì)等差、等比數(shù)列求和公式的簡(jiǎn)單運(yùn)用，從學(xué)生熟悉的等差、等比數(shù)列做起，針對(duì)其中幾個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)可設(shè)計(jì)項(xiàng)數(shù)問(wèn)題以及等比數(shù)列求和時(shí)對(duì)公比的討論等，讓學(xué)生在做題的過(guò)程中不斷發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，糾正錯(cuò)誤，真正參與到課堂中去.

環(huán)節(jié)3例題精講，夯實(shí)雙基

例1求和：

師：這里運(yùn)用了什么方法？

生1：裂項(xiàng)求和法.

多媒體課件突出顯示：逆序求和法、錯(cuò)項(xiàng)消去法、裂項(xiàng)求和法.

師：看例1的變式1：

變式1求和：

生2：也是用裂項(xiàng)求和，根據(jù)

(生2在敘述的同時(shí)展示他的做法.)

生3(迫不及待):錯(cuò)了！

(生2笑了，雖有些羞赧，但不感到尷尬，長(zhǎng)期訓(xùn)練的效果.)

師：機(jī)械套用了裂項(xiàng)求和法，豈能不錯(cuò)!說(shuō)說(shuō)怎么錯(cuò)的？

師：那怎么才能避免這種錯(cuò)誤呢？

生4：最好的方法就是寫出來(lái)后合并檢驗(yàn)一下.

師：裂項(xiàng)對(duì)了，后面呢？

生5：最后剩下的項(xiàng)也不對(duì)，不止2項(xiàng)！

師：剩下的項(xiàng)數(shù)又怎么判斷？

生6：我是用不完全歸納法，多寫幾項(xiàng)，看看剩下多少，然后不完全歸納出最后剩下多少項(xiàng).

生7：我覺(jué)得可以把正的項(xiàng)和負(fù)的項(xiàng)分開(kāi)寫，寫成：

它們的分母都是連續(xù)的整數(shù)，剩下的項(xiàng)數(shù)一目了然！

設(shè)計(jì)意圖在裂項(xiàng)求和中，“系數(shù)的配平”和“確定最后剩余的項(xiàng)數(shù)”是難點(diǎn)，也是重點(diǎn).這里采用讓學(xué)生示錯(cuò)，自主糾錯(cuò)，討論得到正確的結(jié)論，讓更多的學(xué)生參與教學(xué)是新課標(biāo)的一個(gè)主要目標(biāo).只有當(dāng)學(xué)生自己提出問(wèn)題，解決問(wèn)題后，所涉及的知識(shí)才能內(nèi)化為學(xué)生本人所有.

師：很好！用裂項(xiàng)求和時(shí)要注意檢驗(yàn).我們?cè)倏纯聪旅娴膯?wèn)題怎么解決：

設(shè)計(jì)意圖裂項(xiàng)求和的概念在頭腦中剛剛形成，趁熱打鐵，需要變形后才能用裂項(xiàng)求和.

有了前面題目的鋪墊，學(xué)生就不會(huì)隨便下筆了，思考了幾分鐘后，有學(xué)生舉手：

生8：先將通項(xiàng)公式變形再裂項(xiàng)：

從而

師：有些數(shù)列的通項(xiàng)公式需要進(jìn)行變形后才能用裂項(xiàng)求和的方法，你能總結(jié)下裂項(xiàng)求和的通項(xiàng)公式有什么特征嗎？

學(xué)生歸納總結(jié)可以裂項(xiàng)求和的數(shù)列的特征為：首先是個(gè)分式，另外分母上2個(gè)相乘的式子差是常數(shù).同時(shí)學(xué)生也歸納出裂項(xiàng)的通項(xiàng)公式：

你能寫出一些能用裂項(xiàng)方法進(jìn)行求和的數(shù)列嗎？

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)前面幾次變式的討論，讓學(xué)生自己總結(jié)出可以裂項(xiàng)的通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生善于觀察和總結(jié)歸納的能力，而且最后讓學(xué)生舉出相應(yīng)的可以裂項(xiàng)的通項(xiàng)公式，培養(yǎng)他們對(duì)所總結(jié)知識(shí)的運(yùn)用能力，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性.

環(huán)節(jié)4鏈接高考，凸顯主題

師：下面這2道題都是由高考題改編而來(lái)，大家想想怎么做？

例2設(shè)數(shù)列{an}為等差數(shù)列，對(duì)任意n∈N*，an≠0,公差d≠0，求證：

例3求和:tan1·tan2+tan2·tan3+tan3·tan4+…+tann·tan(n+1).

師:觀察式子的特點(diǎn),聯(lián)想我們學(xué)過(guò)的公式及變形,用哪個(gè)公式合適呢?

生10:兩角差的正切公式.因?yàn)閮山呛偷恼泄阶冃沃笾挥屑犹?hào)沒(méi)有減號(hào),不滿足相消條件.只有兩角差的正切公式

經(jīng)過(guò)變形得到

出現(xiàn)減號(hào)則前后2項(xiàng)才能相消.

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生體會(huì)裂項(xiàng)求和在高考中的呈現(xiàn)形式，看到它的價(jià)值所在，才能激發(fā)學(xué)生勇攀高峰、學(xué)習(xí)新知的欲望.

環(huán)節(jié)5鞏固練習(xí)，新知升級(jí)

(一名學(xué)生板書，其他學(xué)生糾正，評(píng)判對(duì)錯(cuò)及過(guò)程方法.)

設(shè)計(jì)意圖設(shè)置鞏固練習(xí)，意在檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)這節(jié)課的掌握程度，更讓學(xué)生體會(huì)要求和，必須先求通項(xiàng)公式的重要性；同時(shí)讓沒(méi)有完全掌握好的學(xué)生暴露自己的偏頗認(rèn)識(shí)，然后教師進(jìn)一步幫助認(rèn)識(shí)模糊的學(xué)生澄清認(rèn)識(shí).以具體的問(wèn)題，強(qiáng)化這類通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，便于學(xué)生理解其結(jié)構(gòu)的內(nèi)涵.

環(huán)節(jié)6課堂小結(jié)，結(jié)語(yǔ)點(diǎn)金

你知道的數(shù)列求和方法有哪些？這節(jié)課你有哪些收獲？

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)最后幾分鐘的總結(jié)交流，讓學(xué)生重溫重點(diǎn)、難點(diǎn)、知識(shí)的梳理、方法的提煉，保證一節(jié)課清晰的脈絡(luò)，教師適時(shí)點(diǎn)睛、補(bǔ)充，幫學(xué)生將所學(xué)知識(shí)納入自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去，只有這樣，課堂效果才能持久.

4 評(píng)價(jià)與反思

本課例教學(xué)以教師引導(dǎo)下的自主探究活動(dòng)為載體，力爭(zhēng)從“求簡(jiǎn)”入手，以最貼近學(xué)生思維“最近發(fā)展區(qū)”的問(wèn)題為支點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)對(duì)數(shù)列求和方法——裂項(xiàng)求和的研究.在變式中，注重對(duì)學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)、數(shù)學(xué)思想的滲透、數(shù)學(xué)思維的深化、思維能力的提升.

4.1 選擇適宜的“問(wèn)題”來(lái)驅(qū)動(dòng)學(xué)習(xí)

問(wèn)題是探究性教學(xué)的起點(diǎn)，問(wèn)題的選擇或設(shè)計(jì)要難易得當(dāng)，要讓學(xué)生處于“跳一跳，摘到桃”的狀態(tài);問(wèn)題還應(yīng)具有發(fā)散性，即解決問(wèn)題方法的多樣性、條件或結(jié)論的可變性，這一問(wèn)題的解決能引發(fā)新的問(wèn)題產(chǎn)生，形成“問(wèn)題鏈”，有了問(wèn)題學(xué)生就有了思考與討論的方向，從而能持續(xù)地驅(qū)動(dòng)學(xué)生進(jìn)行探究，激發(fā)思維，深化思考.

數(shù)列內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，而數(shù)列求和中的裂項(xiàng)求和是教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn).對(duì)于第一輪復(fù)習(xí)的高三學(xué)生來(lái)說(shuō)，不能過(guò)難，教學(xué)問(wèn)題的選擇要簡(jiǎn)單，教學(xué)的重心就能落在讓學(xué)生建構(gòu)起對(duì)數(shù)列求和的方法上.而本課例中的課前熱身、課前測(cè)試都是簡(jiǎn)單題，用于喚醒學(xué)生對(duì)這部分內(nèi)容的回憶.例1正好貼近學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，起點(diǎn)低，由于問(wèn)題難度小，全體學(xué)生都可以展開(kāi)自主探究，能夠經(jīng)歷求和過(guò)程的體驗(yàn).再進(jìn)一步通過(guò)變式的運(yùn)用，從中提煉出數(shù)列求和的一般形式，形成方法體系，從對(duì)問(wèn)題的變式中，形成“問(wèn)題鏈”，而每個(gè)問(wèn)題的提出，都會(huì)引起學(xué)生認(rèn)知的沖突，引發(fā)探究，驅(qū)動(dòng)思維發(fā)展.

4.2 重視對(duì)過(guò)程的反饋與方法的歸納

在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中，問(wèn)題解決后教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反饋分析，對(duì)解決方法進(jìn)行評(píng)價(jià)，啟發(fā)學(xué)生自我調(diào)控，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)思路，啟迪心智，發(fā)散思維.在方法歸納中，先散后斂，提練通性通法，聚合思路，提升思維.通過(guò)反饋歸納讓學(xué)生能夠理清解題思路，生成解題方法，反饋解題過(guò)程，優(yōu)化解題方法，弄清解題通法，發(fā)現(xiàn)解題巧法，形成解題體系，完善解題網(wǎng)絡(luò).而教師適時(shí)地引導(dǎo)是不可缺少的，只有經(jīng)過(guò)教師的引導(dǎo)，學(xué)生才能同化新解法，建構(gòu)新體系.方法的歸納是對(duì)解題的升華,在本課例中，讓學(xué)生自主探究，充分發(fā)散，最后總結(jié)出裂項(xiàng)求和的一般形式，加深了對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解.

4.3 要著力發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

復(fù)習(xí)教學(xué)的核心是通過(guò)優(yōu)化學(xué)生的問(wèn)題解決過(guò)程，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展.因此在復(fù)習(xí)的每個(gè)環(huán)節(jié)，無(wú)論是問(wèn)題解決策略的形成階段——思路的產(chǎn)生和方法的生成，還是在類比遷移階段——變式拓展和方法遷移，教師都不能越俎代庖,要留足時(shí)間讓學(xué)生獨(dú)立思考、自主探究、互相討論和反饋歸納.教師要在適時(shí)、恰當(dāng)、有度地引導(dǎo)與追問(wèn)中引發(fā)學(xué)生內(nèi)心的沖突，打破原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的平衡狀態(tài)，啟迪心智、驅(qū)動(dòng)思維，使學(xué)生進(jìn)入問(wèn)題探究之中.學(xué)生在持續(xù)不斷的思考中學(xué)會(huì)用自己的思維方式構(gòu)建解題策略，不斷糾正錯(cuò)誤，使思維不斷延伸和優(yōu)化.在本課例中，學(xué)生在例1的基礎(chǔ)上容易產(chǎn)生思維定勢(shì)，在變式1中就出現(xiàn)錯(cuò)誤，引發(fā)認(rèn)知沖突，如何解決？錯(cuò)在哪里？激起思維，引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)始觀察式子結(jié)構(gòu)、研究已知信息，等等；通過(guò)變式、問(wèn)題的不斷深入，思維持續(xù)被驅(qū)動(dòng)，也不斷在深化.未來(lái)的高考試題是猜不著的，但只要積攢了豐厚的“勢(shì)能”，那么在考場(chǎng)上就能充分地釋放出“動(dòng)能”，從容應(yīng)對(duì)各種試題.