在數(shù)學(xué)解題教學(xué)過(guò)程中發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造力

文/劉靜

摘 要：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確將“獲得分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一些基本方法，體驗(yàn)解決問(wèn)題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)．”作為總目標(biāo)之一，以上提到“作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)不是現(xiàn)成的數(shù)學(xué)，而是創(chuàng)造的數(shù)學(xué)”。提出通過(guò)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的學(xué)習(xí)，可以發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力，發(fā)展學(xué)生獨(dú)立地、創(chuàng)造性地解決問(wèn)題的能力，而問(wèn)題解決的主要形式和途徑是數(shù)學(xué)解題的關(guān)鍵。從創(chuàng)設(shè)良好的數(shù)學(xué)問(wèn)題情境，激發(fā)創(chuàng)造熱情；關(guān)注數(shù)學(xué)解題的思維過(guò)程，培養(yǎng)創(chuàng)造意識(shí)；優(yōu)化數(shù)學(xué)解題的引導(dǎo)策略，發(fā)展創(chuàng)造力三部分對(duì)在數(shù)學(xué)解題教學(xué)過(guò)程中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造力作了理性思考，并聯(lián)系教學(xué)實(shí)踐做了操作性的闡述．

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)解題；教學(xué)過(guò)程；發(fā)展學(xué)生創(chuàng)造力

一、解題教學(xué)發(fā)展學(xué)生創(chuàng)造力的理念解析

創(chuàng)造力一般是指產(chǎn)生新的想法，發(fā)現(xiàn)和制造新的事物的能力．創(chuàng)造力與一般能力的區(qū)別在于它的新穎性和獨(dú)創(chuàng)性．它的主要成分是發(fā)散思維，即無(wú)定向、無(wú)約束地由已知探索未知的思維方式.數(shù)學(xué)本身的特點(diǎn)使它與創(chuàng)造力有著不解之緣。數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的能力是數(shù)學(xué)能力的核心．解題在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中有其不可替代的重要作用：（1）解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心內(nèi)容；（2）解題是掌握數(shù)學(xué)，學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)地思維”的基本途徑；（3）解題是評(píng)價(jià)學(xué)習(xí)的重要方式。數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)很重要的任務(wù)，就是教學(xué)生學(xué)習(xí)如何解數(shù)學(xué)題，教學(xué)生學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)地思維”．學(xué)數(shù)學(xué)，就要解數(shù)學(xué)題，數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)生鞏固知識(shí)、培養(yǎng)素質(zhì)、發(fā)展能力和促進(jìn)個(gè)性心理發(fā)展都具有極其重要的作用和意義．

二、在數(shù)學(xué)解題教學(xué)過(guò)程中發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造力

（一）關(guān)注數(shù)學(xué)解題思維過(guò)程，培養(yǎng)創(chuàng)造意識(shí)

我們?cè)跀?shù)學(xué)問(wèn)題的解決過(guò)程中，不僅要關(guān)心問(wèn)題的結(jié)果，更要關(guān)心求得結(jié)果的過(guò)程，即問(wèn)題解決的整個(gè)思考過(guò)程．?dāng)?shù)學(xué)解題思維過(guò)程的四個(gè)階段實(shí)質(zhì)是：理解、轉(zhuǎn)換、實(shí)施、反思，關(guān)注數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的過(guò)程，就應(yīng)關(guān)注解題的每個(gè)階段：

1.理解題目

任何問(wèn)題解決的過(guò)程，首先是理解這個(gè)問(wèn)題，對(duì)它進(jìn)行表征以形成問(wèn)題空間．例如：

求■+■（x≥0）的最小值.

學(xué)生從代數(shù)意義上理解問(wèn)題，因此，嘗試用函數(shù)的思想解決問(wèn)題，但感到困難．此時(shí)我們可以帶學(xué)生重新審題：（1）你能重述問(wèn)題嗎？（2）你用到了所有的條件嗎？（3）你能從幾何角度來(lái)理解■的意義嗎？

學(xué)生在熟悉題目的基礎(chǔ)上對(duì)問(wèn)題進(jìn)行幾何敘述，從而解決問(wèn)題．具有創(chuàng)造力的人在解決問(wèn)題時(shí)，總是以獨(dú)特的方式聯(lián)結(jié)不同的概念、知識(shí)，從而對(duì)問(wèn)題作出創(chuàng)造性的理解.

2.擬定計(jì)劃

當(dāng)學(xué)生開(kāi)始解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，我引導(dǎo)學(xué)生對(duì)自己提出開(kāi)闊思路的問(wèn)題：

（1）見(jiàn)到過(guò)這個(gè)問(wèn)題嗎？見(jiàn)到過(guò)類(lèi)似的問(wèn)題嗎？（條件、圖、結(jié)論）

（2）見(jiàn)過(guò)與問(wèn)題相關(guān)的問(wèn)題嗎？（相關(guān)問(wèn)題的條件，結(jié)論和方法可以利用嗎？）

例如，在四邊形ABCD中AD=BC，點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AD、BC與直線(xiàn)EF分別交于Ｐ、Ｑ兩點(diǎn)，求證：∠APE=∠BQE

這時(shí)可以聯(lián)想到已經(jīng)做過(guò)的問(wèn)題：在四邊形ABCD中AD=BC，點(diǎn)E、F、M分別是AB、CD、AC的中點(diǎn)，求證：△EFM是等腰三角形.

不難發(fā)現(xiàn)兩題條件是相同的，三角形中位線(xiàn)定理可以利用，因而解決新問(wèn)題的大門(mén)鑰匙已經(jīng)握在手中了．

創(chuàng)造力來(lái)自基本的認(rèn)知過(guò)程，通過(guò)關(guān)注學(xué)生這一階段觀(guān)察、比較、分析、特殊化、一般化、模型化等數(shù)學(xué)思維方法的訓(xùn)練，必定促使其數(shù)學(xué)創(chuàng)造力的發(fā)展．

3.實(shí)施計(jì)劃

執(zhí)行解題方案時(shí)，要檢查每一個(gè)步驟．在這一過(guò)程中我既會(huì)采用抽象、分類(lèi)、歸納、演繹等邏輯思維的方式，也常常運(yùn)用直覺(jué)靈感等非邏輯思維的方式來(lái)解決問(wèn)題．在實(shí)施解題計(jì)劃時(shí)我們要清楚地“看出”這個(gè)步驟的正確性，并且“證明”這個(gè)步驟的正確性．

例如，已知x2+■=14，求x+■_______．

比較條件和目標(biāo)，直覺(jué)告訴我們運(yùn)算過(guò)程與乘法公式（a+b）2=a2+b2+2ab有關(guān)．但問(wèn)題的解決還需借助恰當(dāng)?shù)倪壿嬐评恚簒2+■與（x+■）2相差一項(xiàng)2x·■=2也就是說(shuō)后者比前者大2．于是就有（x+■）2=16則x+■=±4．

直覺(jué)靈感屬非邏輯思維方式，它具有爆發(fā)性、靈活性，富有創(chuàng)造力．非邏輯思維能力的發(fā)展有賴(lài)于長(zhǎng)期的有目的的邏輯思維，而邏輯思維也往往借助于直覺(jué)、靈感，發(fā)展學(xué)生的直覺(jué)思維和邏輯思維能力，從而促進(jìn)創(chuàng)造力的發(fā)展．

4.回顧反思

引導(dǎo)學(xué)生自己去做，就必然出現(xiàn)學(xué)生經(jīng)常不用教師講的或課本上現(xiàn)成的方法和思路去解決問(wèn)題的現(xiàn)象．教師對(duì)解決錯(cuò)誤問(wèn)題時(shí)僅僅加以點(diǎn)評(píng)、引導(dǎo)、總結(jié)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的．反思應(yīng)該是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必不可少的一個(gè)環(huán)節(jié)．引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思是數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程中重要的引導(dǎo)策略．

例如，如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是AB上的中線(xiàn)，且CD=1，若△ABC的周長(zhǎng)為2+■，求△ABC的面積．

■

通常設(shè)AC=x，BC=y用方程組x+y=■（1）x2+y2=22 （2）

求得x=■y=■或x=■y=■再求的S△ABC=■.

這時(shí)應(yīng)當(dāng)回顧解題過(guò)程：題目要求什么？為什么要解方程組？求出x，y的值后是怎樣求面積的？不難看出本題的求解過(guò)程還可以?xún)?yōu)化：把（1）式平方減去（2）式，得2xy=1，可得S△ABC=■xy=■．

解題回顧的過(guò)程中，要回顧：一開(kāi)始是怎樣探索的，走過(guò)哪些彎路，產(chǎn)生過(guò)哪些錯(cuò)誤，為什么會(huì)出現(xiàn)這些彎路和錯(cuò)誤等．久而久之，就可以總結(jié)出帶有規(guī)律性的經(jīng)驗(yàn)．這些帶有規(guī)律性的經(jīng)驗(yàn)，有的是解題的策略，有的是解題的元認(rèn)知知識(shí)，它們都是今后解題的行動(dòng)指南。

（二）優(yōu)化數(shù)學(xué)解題的引導(dǎo)策略，發(fā)展創(chuàng)造力

1.一題多解，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維

一題多解是從不同的角度、不同的方位審視分析同一題中的數(shù)量關(guān)系，用不同解法求得相同結(jié)果的思維過(guò)程．教學(xué)中適當(dāng)?shù)囊活}多解，可以激發(fā)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)和去創(chuàng)造的強(qiáng)烈欲望，從而培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維．

例如，如圖，已知四邊形ABCD中，AB=CD，M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，EF⊥MN，求證：∠AEF=∠DFE．

同學(xué)們有以下證法：

解法一（如圖1）：

延長(zhǎng)BA，NM，CD，交于點(diǎn)G，H，連接BD，取中點(diǎn)P，連接MP，NP

∵AB=CD，M，N，P為中點(diǎn)，∴MP=NP（中位線(xiàn)的意義）

∴∠PNM=∠PMN=∠BGN=∠CHN．

∵M(jìn)N⊥EF，∴∠HOF=∠HOE=90°∴∠FEA=∠EFD

解法二（如圖2）：

分別過(guò)點(diǎn)D，B作AB，AD的平行線(xiàn)，交于點(diǎn)G連接CG，取CG的中點(diǎn)H，連接NH，DH

∵AB=CD，且AB∥DG，AD∥BG．∴AB=DG=CD，∠AEF=∠DLF，可證△CGD為等腰三角形，得NH=DM且NH∥DM，∴四邊形MDHN為平行四邊形，

易得∠AEF=∠DFE

解法三（如圖3）：

過(guò)點(diǎn)M，B，C，M作AB，AM，DM，CD的平行線(xiàn)，交于點(diǎn)O，P，連接OP

∵M(jìn)為中點(diǎn)，易得BP=OC，

∵N為中點(diǎn)，可得△BPN≌△CON，∴PN=ON

可得MN⊥OP，∵EF⊥MN，易得∠AEF=∠DFE

■

學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性空前高漲，信心倍增．

2.多題一解，培養(yǎng)學(xué)生提煉數(shù)學(xué)模型的能力

發(fā)展數(shù)學(xué)創(chuàng)造力，需要有把握問(wèn)題的實(shí)質(zhì)的能力，學(xué)生在解決問(wèn)題的學(xué)習(xí)中，必須要以已有的解題經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，同時(shí)要在新問(wèn)題與舊經(jīng)驗(yàn)之間建構(gòu)起意義上的聯(lián)系．新課程標(biāo)準(zhǔn)也要求培養(yǎng)學(xué)生的建模思想．

例如，（1）如圖4，已知等腰△ABC中，AB=AC.D是底邊BC上任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，作DF⊥AC，垂足為F，求證：DE+DF為定值．

■

圖4 圖5

（2）如圖5，已知正方形ABCD中，G是BC邊上任一點(diǎn)，對(duì)角線(xiàn)BD，AC交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)G作GE⊥BD，垂足為E，GF⊥AC，垂足為F，求證：GE+GF為定值．

至此，再將問(wèn)題的背景變化到其他四邊形，如，矩形、等腰梯形等，或者將條件中點(diǎn)的位置更一般化，如（圖4）中的D是直線(xiàn)BC上一點(diǎn)等．

學(xué)生通過(guò)分析對(duì)比，不僅加深了對(duì)圖形的幾何性質(zhì)的理解，更重要的是體驗(yàn)了化歸的思想．

總之，在日常教學(xué)中，我們不僅要培養(yǎng)學(xué)生具有現(xiàn)代化科學(xué)的系統(tǒng)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，更應(yīng)注重學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，促使學(xué)生學(xué)會(huì)思考，具有獨(dú)立地、創(chuàng)造性地解決問(wèn)題的能力．筆者通過(guò)創(chuàng)設(shè)良好的數(shù)學(xué)問(wèn)題情境，激發(fā)創(chuàng)造熱情；關(guān)注數(shù)學(xué)解題的思維過(guò)程，培養(yǎng)創(chuàng)造意識(shí)；優(yōu)化數(shù)學(xué)解題的引導(dǎo)策略，發(fā)展創(chuàng)造力三部分對(duì)數(shù)學(xué)解題教學(xué)過(guò)程中發(fā)展創(chuàng)造力進(jìn)行了理性思考和實(shí)踐探究。

參考文獻(xiàn)：

［1］馬忠林.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論.廣西教育出版社，2001.

［2］邵瑞珍.教育心理學(xué).上海教育出版社，1998.

［3］G·波利亞.怎樣解題.科學(xué)出版社，1982.

［4］羅增儒，羅新兵.作為數(shù)學(xué)教育任務(wù)的數(shù)學(xué)解題.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2005（01）.

編輯 王團(tuán)蘭

摘 要：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確將“獲得分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一些基本方法，體驗(yàn)解決問(wèn)題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)．”作為總目標(biāo)之一，以上提到“作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)不是現(xiàn)成的數(shù)學(xué)，而是創(chuàng)造的數(shù)學(xué)”。提出通過(guò)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的學(xué)習(xí)，可以發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力，發(fā)展學(xué)生獨(dú)立地、創(chuàng)造性地解決問(wèn)題的能力，而問(wèn)題解決的主要形式和途徑是數(shù)學(xué)解題的關(guān)鍵。從創(chuàng)設(shè)良好的數(shù)學(xué)問(wèn)題情境，激發(fā)創(chuàng)造熱情；關(guān)注數(shù)學(xué)解題的思維過(guò)程，培養(yǎng)創(chuàng)造意識(shí)；優(yōu)化數(shù)學(xué)解題的引導(dǎo)策略，發(fā)展創(chuàng)造力三部分對(duì)在數(shù)學(xué)解題教學(xué)過(guò)程中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造力作了理性思考，并聯(lián)系教學(xué)實(shí)踐做了操作性的闡述．

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)解題；教學(xué)過(guò)程；發(fā)展學(xué)生創(chuàng)造力

一、解題教學(xué)發(fā)展學(xué)生創(chuàng)造力的理念解析

創(chuàng)造力一般是指產(chǎn)生新的想法，發(fā)現(xiàn)和制造新的事物的能力．創(chuàng)造力與一般能力的區(qū)別在于它的新穎性和獨(dú)創(chuàng)性．它的主要成分是發(fā)散思維，即無(wú)定向、無(wú)約束地由已知探索未知的思維方式.數(shù)學(xué)本身的特點(diǎn)使它與創(chuàng)造力有著不解之緣。數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的能力是數(shù)學(xué)能力的核心．解題在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中有其不可替代的重要作用：（1）解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心內(nèi)容；（2）解題是掌握數(shù)學(xué)，學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)地思維”的基本途徑；（3）解題是評(píng)價(jià)學(xué)習(xí)的重要方式。數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)很重要的任務(wù)，就是教學(xué)生學(xué)習(xí)如何解數(shù)學(xué)題，教學(xué)生學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)地思維”．學(xué)數(shù)學(xué)，就要解數(shù)學(xué)題，數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)生鞏固知識(shí)、培養(yǎng)素質(zhì)、發(fā)展能力和促進(jìn)個(gè)性心理發(fā)展都具有極其重要的作用和意義．

二、在數(shù)學(xué)解題教學(xué)過(guò)程中發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造力

（一）關(guān)注數(shù)學(xué)解題思維過(guò)程，培養(yǎng)創(chuàng)造意識(shí)

我們?cè)跀?shù)學(xué)問(wèn)題的解決過(guò)程中，不僅要關(guān)心問(wèn)題的結(jié)果，更要關(guān)心求得結(jié)果的過(guò)程，即問(wèn)題解決的整個(gè)思考過(guò)程．?dāng)?shù)學(xué)解題思維過(guò)程的四個(gè)階段實(shí)質(zhì)是：理解、轉(zhuǎn)換、實(shí)施、反思，關(guān)注數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的過(guò)程，就應(yīng)關(guān)注解題的每個(gè)階段：

1.理解題目

任何問(wèn)題解決的過(guò)程，首先是理解這個(gè)問(wèn)題，對(duì)它進(jìn)行表征以形成問(wèn)題空間．例如：

求■+■（x≥0）的最小值.

學(xué)生從代數(shù)意義上理解問(wèn)題，因此，嘗試用函數(shù)的思想解決問(wèn)題，但感到困難．此時(shí)我們可以帶學(xué)生重新審題：（1）你能重述問(wèn)題嗎？（2）你用到了所有的條件嗎？（3）你能從幾何角度來(lái)理解■的意義嗎？

學(xué)生在熟悉題目的基礎(chǔ)上對(duì)問(wèn)題進(jìn)行幾何敘述，從而解決問(wèn)題．具有創(chuàng)造力的人在解決問(wèn)題時(shí)，總是以獨(dú)特的方式聯(lián)結(jié)不同的概念、知識(shí)，從而對(duì)問(wèn)題作出創(chuàng)造性的理解.

2.擬定計(jì)劃

當(dāng)學(xué)生開(kāi)始解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，我引導(dǎo)學(xué)生對(duì)自己提出開(kāi)闊思路的問(wèn)題：

（1）見(jiàn)到過(guò)這個(gè)問(wèn)題嗎？見(jiàn)到過(guò)類(lèi)似的問(wèn)題嗎？（條件、圖、結(jié)論）

（2）見(jiàn)過(guò)與問(wèn)題相關(guān)的問(wèn)題嗎？（相關(guān)問(wèn)題的條件，結(jié)論和方法可以利用嗎？）

例如，在四邊形ABCD中AD=BC，點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AD、BC與直線(xiàn)EF分別交于Ｐ、Ｑ兩點(diǎn)，求證：∠APE=∠BQE

這時(shí)可以聯(lián)想到已經(jīng)做過(guò)的問(wèn)題：在四邊形ABCD中AD=BC，點(diǎn)E、F、M分別是AB、CD、AC的中點(diǎn)，求證：△EFM是等腰三角形.

不難發(fā)現(xiàn)兩題條件是相同的，三角形中位線(xiàn)定理可以利用，因而解決新問(wèn)題的大門(mén)鑰匙已經(jīng)握在手中了．

創(chuàng)造力來(lái)自基本的認(rèn)知過(guò)程，通過(guò)關(guān)注學(xué)生這一階段觀(guān)察、比較、分析、特殊化、一般化、模型化等數(shù)學(xué)思維方法的訓(xùn)練，必定促使其數(shù)學(xué)創(chuàng)造力的發(fā)展．

3.實(shí)施計(jì)劃

執(zhí)行解題方案時(shí)，要檢查每一個(gè)步驟．在這一過(guò)程中我既會(huì)采用抽象、分類(lèi)、歸納、演繹等邏輯思維的方式，也常常運(yùn)用直覺(jué)靈感等非邏輯思維的方式來(lái)解決問(wèn)題．在實(shí)施解題計(jì)劃時(shí)我們要清楚地“看出”這個(gè)步驟的正確性，并且“證明”這個(gè)步驟的正確性．

例如，已知x2+■=14，求x+■_______．

比較條件和目標(biāo)，直覺(jué)告訴我們運(yùn)算過(guò)程與乘法公式（a+b）2=a2+b2+2ab有關(guān)．但問(wèn)題的解決還需借助恰當(dāng)?shù)倪壿嬐评恚簒2+■與（x+■）2相差一項(xiàng)2x·■=2也就是說(shuō)后者比前者大2．于是就有（x+■）2=16則x+■=±4．

直覺(jué)靈感屬非邏輯思維方式，它具有爆發(fā)性、靈活性，富有創(chuàng)造力．非邏輯思維能力的發(fā)展有賴(lài)于長(zhǎng)期的有目的的邏輯思維，而邏輯思維也往往借助于直覺(jué)、靈感，發(fā)展學(xué)生的直覺(jué)思維和邏輯思維能力，從而促進(jìn)創(chuàng)造力的發(fā)展．

4.回顧反思

引導(dǎo)學(xué)生自己去做，就必然出現(xiàn)學(xué)生經(jīng)常不用教師講的或課本上現(xiàn)成的方法和思路去解決問(wèn)題的現(xiàn)象．教師對(duì)解決錯(cuò)誤問(wèn)題時(shí)僅僅加以點(diǎn)評(píng)、引導(dǎo)、總結(jié)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的．反思應(yīng)該是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必不可少的一個(gè)環(huán)節(jié)．引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思是數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程中重要的引導(dǎo)策略．

例如，如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是AB上的中線(xiàn)，且CD=1，若△ABC的周長(zhǎng)為2+■，求△ABC的面積．

■

通常設(shè)AC=x，BC=y用方程組x+y=■（1）x2+y2=22 （2）

求得x=■y=■或x=■y=■再求的S△ABC=■.

這時(shí)應(yīng)當(dāng)回顧解題過(guò)程：題目要求什么？為什么要解方程組？求出x，y的值后是怎樣求面積的？不難看出本題的求解過(guò)程還可以?xún)?yōu)化：把（1）式平方減去（2）式，得2xy=1，可得S△ABC=■xy=■．

解題回顧的過(guò)程中，要回顧：一開(kāi)始是怎樣探索的，走過(guò)哪些彎路，產(chǎn)生過(guò)哪些錯(cuò)誤，為什么會(huì)出現(xiàn)這些彎路和錯(cuò)誤等．久而久之，就可以總結(jié)出帶有規(guī)律性的經(jīng)驗(yàn)．這些帶有規(guī)律性的經(jīng)驗(yàn)，有的是解題的策略，有的是解題的元認(rèn)知知識(shí)，它們都是今后解題的行動(dòng)指南。

（二）優(yōu)化數(shù)學(xué)解題的引導(dǎo)策略，發(fā)展創(chuàng)造力

1.一題多解，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維

一題多解是從不同的角度、不同的方位審視分析同一題中的數(shù)量關(guān)系，用不同解法求得相同結(jié)果的思維過(guò)程．教學(xué)中適當(dāng)?shù)囊活}多解，可以激發(fā)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)和去創(chuàng)造的強(qiáng)烈欲望，從而培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維．

例如，如圖，已知四邊形ABCD中，AB=CD，M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，EF⊥MN，求證：∠AEF=∠DFE．

同學(xué)們有以下證法：

解法一（如圖1）：

延長(zhǎng)BA，NM，CD，交于點(diǎn)G，H，連接BD，取中點(diǎn)P，連接MP，NP

∵AB=CD，M，N，P為中點(diǎn)，∴MP=NP（中位線(xiàn)的意義）

∴∠PNM=∠PMN=∠BGN=∠CHN．

∵M(jìn)N⊥EF，∴∠HOF=∠HOE=90°∴∠FEA=∠EFD

解法二（如圖2）：

分別過(guò)點(diǎn)D，B作AB，AD的平行線(xiàn)，交于點(diǎn)G連接CG，取CG的中點(diǎn)H，連接NH，DH

∵AB=CD，且AB∥DG，AD∥BG．∴AB=DG=CD，∠AEF=∠DLF，可證△CGD為等腰三角形，得NH=DM且NH∥DM，∴四邊形MDHN為平行四邊形，

易得∠AEF=∠DFE

解法三（如圖3）：

過(guò)點(diǎn)M，B，C，M作AB，AM，DM，CD的平行線(xiàn)，交于點(diǎn)O，P，連接OP

∵M(jìn)為中點(diǎn)，易得BP=OC，

∵N為中點(diǎn)，可得△BPN≌△CON，∴PN=ON

可得MN⊥OP，∵EF⊥MN，易得∠AEF=∠DFE

■

學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性空前高漲，信心倍增．

2.多題一解，培養(yǎng)學(xué)生提煉數(shù)學(xué)模型的能力

發(fā)展數(shù)學(xué)創(chuàng)造力，需要有把握問(wèn)題的實(shí)質(zhì)的能力，學(xué)生在解決問(wèn)題的學(xué)習(xí)中，必須要以已有的解題經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，同時(shí)要在新問(wèn)題與舊經(jīng)驗(yàn)之間建構(gòu)起意義上的聯(lián)系．新課程標(biāo)準(zhǔn)也要求培養(yǎng)學(xué)生的建模思想．

例如，（1）如圖4，已知等腰△ABC中，AB=AC.D是底邊BC上任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，作DF⊥AC，垂足為F，求證：DE+DF為定值．

■

圖4 圖5

（2）如圖5，已知正方形ABCD中，G是BC邊上任一點(diǎn)，對(duì)角線(xiàn)BD，AC交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)G作GE⊥BD，垂足為E，GF⊥AC，垂足為F，求證：GE+GF為定值．

至此，再將問(wèn)題的背景變化到其他四邊形，如，矩形、等腰梯形等，或者將條件中點(diǎn)的位置更一般化，如（圖4）中的D是直線(xiàn)BC上一點(diǎn)等．

學(xué)生通過(guò)分析對(duì)比，不僅加深了對(duì)圖形的幾何性質(zhì)的理解，更重要的是體驗(yàn)了化歸的思想．

總之，在日常教學(xué)中，我們不僅要培養(yǎng)學(xué)生具有現(xiàn)代化科學(xué)的系統(tǒng)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，更應(yīng)注重學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，促使學(xué)生學(xué)會(huì)思考，具有獨(dú)立地、創(chuàng)造性地解決問(wèn)題的能力．筆者通過(guò)創(chuàng)設(shè)良好的數(shù)學(xué)問(wèn)題情境，激發(fā)創(chuàng)造熱情；關(guān)注數(shù)學(xué)解題的思維過(guò)程，培養(yǎng)創(chuàng)造意識(shí)；優(yōu)化數(shù)學(xué)解題的引導(dǎo)策略，發(fā)展創(chuàng)造力三部分對(duì)數(shù)學(xué)解題教學(xué)過(guò)程中發(fā)展創(chuàng)造力進(jìn)行了理性思考和實(shí)踐探究。

參考文獻(xiàn)：

［1］馬忠林.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論.廣西教育出版社，2001.

［2］邵瑞珍.教育心理學(xué).上海教育出版社，1998.

［3］G·波利亞.怎樣解題.科學(xué)出版社，1982.

［4］羅增儒，羅新兵.作為數(shù)學(xué)教育任務(wù)的數(shù)學(xué)解題.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2005（01）.

編輯 王團(tuán)蘭

摘 要：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確將“獲得分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一些基本方法，體驗(yàn)解決問(wèn)題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)．”作為總目標(biāo)之一，以上提到“作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)不是現(xiàn)成的數(shù)學(xué)，而是創(chuàng)造的數(shù)學(xué)”。提出通過(guò)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的學(xué)習(xí)，可以發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力，發(fā)展學(xué)生獨(dú)立地、創(chuàng)造性地解決問(wèn)題的能力，而問(wèn)題解決的主要形式和途徑是數(shù)學(xué)解題的關(guān)鍵。從創(chuàng)設(shè)良好的數(shù)學(xué)問(wèn)題情境，激發(fā)創(chuàng)造熱情；關(guān)注數(shù)學(xué)解題的思維過(guò)程，培養(yǎng)創(chuàng)造意識(shí)；優(yōu)化數(shù)學(xué)解題的引導(dǎo)策略，發(fā)展創(chuàng)造力三部分對(duì)在數(shù)學(xué)解題教學(xué)過(guò)程中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造力作了理性思考，并聯(lián)系教學(xué)實(shí)踐做了操作性的闡述．

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)解題；教學(xué)過(guò)程；發(fā)展學(xué)生創(chuàng)造力

一、解題教學(xué)發(fā)展學(xué)生創(chuàng)造力的理念解析

創(chuàng)造力一般是指產(chǎn)生新的想法，發(fā)現(xiàn)和制造新的事物的能力．創(chuàng)造力與一般能力的區(qū)別在于它的新穎性和獨(dú)創(chuàng)性．它的主要成分是發(fā)散思維，即無(wú)定向、無(wú)約束地由已知探索未知的思維方式.數(shù)學(xué)本身的特點(diǎn)使它與創(chuàng)造力有著不解之緣。數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的能力是數(shù)學(xué)能力的核心．解題在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中有其不可替代的重要作用：（1）解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心內(nèi)容；（2）解題是掌握數(shù)學(xué)，學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)地思維”的基本途徑；（3）解題是評(píng)價(jià)學(xué)習(xí)的重要方式。數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)很重要的任務(wù)，就是教學(xué)生學(xué)習(xí)如何解數(shù)學(xué)題，教學(xué)生學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)地思維”．學(xué)數(shù)學(xué)，就要解數(shù)學(xué)題，數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)生鞏固知識(shí)、培養(yǎng)素質(zhì)、發(fā)展能力和促進(jìn)個(gè)性心理發(fā)展都具有極其重要的作用和意義．

二、在數(shù)學(xué)解題教學(xué)過(guò)程中發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造力

（一）關(guān)注數(shù)學(xué)解題思維過(guò)程，培養(yǎng)創(chuàng)造意識(shí)

我們?cè)跀?shù)學(xué)問(wèn)題的解決過(guò)程中，不僅要關(guān)心問(wèn)題的結(jié)果，更要關(guān)心求得結(jié)果的過(guò)程，即問(wèn)題解決的整個(gè)思考過(guò)程．?dāng)?shù)學(xué)解題思維過(guò)程的四個(gè)階段實(shí)質(zhì)是：理解、轉(zhuǎn)換、實(shí)施、反思，關(guān)注數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的過(guò)程，就應(yīng)關(guān)注解題的每個(gè)階段：

1.理解題目

任何問(wèn)題解決的過(guò)程，首先是理解這個(gè)問(wèn)題，對(duì)它進(jìn)行表征以形成問(wèn)題空間．例如：

求■+■（x≥0）的最小值.

學(xué)生從代數(shù)意義上理解問(wèn)題，因此，嘗試用函數(shù)的思想解決問(wèn)題，但感到困難．此時(shí)我們可以帶學(xué)生重新審題：（1）你能重述問(wèn)題嗎？（2）你用到了所有的條件嗎？（3）你能從幾何角度來(lái)理解■的意義嗎？

學(xué)生在熟悉題目的基礎(chǔ)上對(duì)問(wèn)題進(jìn)行幾何敘述，從而解決問(wèn)題．具有創(chuàng)造力的人在解決問(wèn)題時(shí)，總是以獨(dú)特的方式聯(lián)結(jié)不同的概念、知識(shí)，從而對(duì)問(wèn)題作出創(chuàng)造性的理解.

2.擬定計(jì)劃

當(dāng)學(xué)生開(kāi)始解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，我引導(dǎo)學(xué)生對(duì)自己提出開(kāi)闊思路的問(wèn)題：

（1）見(jiàn)到過(guò)這個(gè)問(wèn)題嗎？見(jiàn)到過(guò)類(lèi)似的問(wèn)題嗎？（條件、圖、結(jié)論）

（2）見(jiàn)過(guò)與問(wèn)題相關(guān)的問(wèn)題嗎？（相關(guān)問(wèn)題的條件，結(jié)論和方法可以利用嗎？）

例如，在四邊形ABCD中AD=BC，點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AD、BC與直線(xiàn)EF分別交于Ｐ、Ｑ兩點(diǎn)，求證：∠APE=∠BQE

這時(shí)可以聯(lián)想到已經(jīng)做過(guò)的問(wèn)題：在四邊形ABCD中AD=BC，點(diǎn)E、F、M分別是AB、CD、AC的中點(diǎn)，求證：△EFM是等腰三角形.

不難發(fā)現(xiàn)兩題條件是相同的，三角形中位線(xiàn)定理可以利用，因而解決新問(wèn)題的大門(mén)鑰匙已經(jīng)握在手中了．

創(chuàng)造力來(lái)自基本的認(rèn)知過(guò)程，通過(guò)關(guān)注學(xué)生這一階段觀(guān)察、比較、分析、特殊化、一般化、模型化等數(shù)學(xué)思維方法的訓(xùn)練，必定促使其數(shù)學(xué)創(chuàng)造力的發(fā)展．

3.實(shí)施計(jì)劃

執(zhí)行解題方案時(shí)，要檢查每一個(gè)步驟．在這一過(guò)程中我既會(huì)采用抽象、分類(lèi)、歸納、演繹等邏輯思維的方式，也常常運(yùn)用直覺(jué)靈感等非邏輯思維的方式來(lái)解決問(wèn)題．在實(shí)施解題計(jì)劃時(shí)我們要清楚地“看出”這個(gè)步驟的正確性，并且“證明”這個(gè)步驟的正確性．

例如，已知x2+■=14，求x+■_______．

比較條件和目標(biāo)，直覺(jué)告訴我們運(yùn)算過(guò)程與乘法公式（a+b）2=a2+b2+2ab有關(guān)．但問(wèn)題的解決還需借助恰當(dāng)?shù)倪壿嬐评恚簒2+■與（x+■）2相差一項(xiàng)2x·■=2也就是說(shuō)后者比前者大2．于是就有（x+■）2=16則x+■=±4．

直覺(jué)靈感屬非邏輯思維方式，它具有爆發(fā)性、靈活性，富有創(chuàng)造力．非邏輯思維能力的發(fā)展有賴(lài)于長(zhǎng)期的有目的的邏輯思維，而邏輯思維也往往借助于直覺(jué)、靈感，發(fā)展學(xué)生的直覺(jué)思維和邏輯思維能力，從而促進(jìn)創(chuàng)造力的發(fā)展．

4.回顧反思

引導(dǎo)學(xué)生自己去做，就必然出現(xiàn)學(xué)生經(jīng)常不用教師講的或課本上現(xiàn)成的方法和思路去解決問(wèn)題的現(xiàn)象．教師對(duì)解決錯(cuò)誤問(wèn)題時(shí)僅僅加以點(diǎn)評(píng)、引導(dǎo)、總結(jié)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的．反思應(yīng)該是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必不可少的一個(gè)環(huán)節(jié)．引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思是數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程中重要的引導(dǎo)策略．

例如，如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是AB上的中線(xiàn)，且CD=1，若△ABC的周長(zhǎng)為2+■，求△ABC的面積．

■

通常設(shè)AC=x，BC=y用方程組x+y=■（1）x2+y2=22 （2）

求得x=■y=■或x=■y=■再求的S△ABC=■.

這時(shí)應(yīng)當(dāng)回顧解題過(guò)程：題目要求什么？為什么要解方程組？求出x，y的值后是怎樣求面積的？不難看出本題的求解過(guò)程還可以?xún)?yōu)化：把（1）式平方減去（2）式，得2xy=1，可得S△ABC=■xy=■．

解題回顧的過(guò)程中，要回顧：一開(kāi)始是怎樣探索的，走過(guò)哪些彎路，產(chǎn)生過(guò)哪些錯(cuò)誤，為什么會(huì)出現(xiàn)這些彎路和錯(cuò)誤等．久而久之，就可以總結(jié)出帶有規(guī)律性的經(jīng)驗(yàn)．這些帶有規(guī)律性的經(jīng)驗(yàn)，有的是解題的策略，有的是解題的元認(rèn)知知識(shí)，它們都是今后解題的行動(dòng)指南。

（二）優(yōu)化數(shù)學(xué)解題的引導(dǎo)策略，發(fā)展創(chuàng)造力

1.一題多解，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維

一題多解是從不同的角度、不同的方位審視分析同一題中的數(shù)量關(guān)系，用不同解法求得相同結(jié)果的思維過(guò)程．教學(xué)中適當(dāng)?shù)囊活}多解，可以激發(fā)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)和去創(chuàng)造的強(qiáng)烈欲望，從而培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維．

例如，如圖，已知四邊形ABCD中，AB=CD，M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，EF⊥MN，求證：∠AEF=∠DFE．

同學(xué)們有以下證法：

解法一（如圖1）：

延長(zhǎng)BA，NM，CD，交于點(diǎn)G，H，連接BD，取中點(diǎn)P，連接MP，NP

∵AB=CD，M，N，P為中點(diǎn)，∴MP=NP（中位線(xiàn)的意義）

∴∠PNM=∠PMN=∠BGN=∠CHN．

∵M(jìn)N⊥EF，∴∠HOF=∠HOE=90°∴∠FEA=∠EFD

解法二（如圖2）：

分別過(guò)點(diǎn)D，B作AB，AD的平行線(xiàn)，交于點(diǎn)G連接CG，取CG的中點(diǎn)H，連接NH，DH

∵AB=CD，且AB∥DG，AD∥BG．∴AB=DG=CD，∠AEF=∠DLF，可證△CGD為等腰三角形，得NH=DM且NH∥DM，∴四邊形MDHN為平行四邊形，

易得∠AEF=∠DFE

解法三（如圖3）：

過(guò)點(diǎn)M，B，C，M作AB，AM，DM，CD的平行線(xiàn)，交于點(diǎn)O，P，連接OP

∵M(jìn)為中點(diǎn)，易得BP=OC，

∵N為中點(diǎn)，可得△BPN≌△CON，∴PN=ON

可得MN⊥OP，∵EF⊥MN，易得∠AEF=∠DFE

■

學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性空前高漲，信心倍增．

2.多題一解，培養(yǎng)學(xué)生提煉數(shù)學(xué)模型的能力

發(fā)展數(shù)學(xué)創(chuàng)造力，需要有把握問(wèn)題的實(shí)質(zhì)的能力，學(xué)生在解決問(wèn)題的學(xué)習(xí)中，必須要以已有的解題經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，同時(shí)要在新問(wèn)題與舊經(jīng)驗(yàn)之間建構(gòu)起意義上的聯(lián)系．新課程標(biāo)準(zhǔn)也要求培養(yǎng)學(xué)生的建模思想．

例如，（1）如圖4，已知等腰△ABC中，AB=AC.D是底邊BC上任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，作DF⊥AC，垂足為F，求證：DE+DF為定值．

■

圖4 圖5

（2）如圖5，已知正方形ABCD中，G是BC邊上任一點(diǎn)，對(duì)角線(xiàn)BD，AC交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)G作GE⊥BD，垂足為E，GF⊥AC，垂足為F，求證：GE+GF為定值．

至此，再將問(wèn)題的背景變化到其他四邊形，如，矩形、等腰梯形等，或者將條件中點(diǎn)的位置更一般化，如（圖4）中的D是直線(xiàn)BC上一點(diǎn)等．

學(xué)生通過(guò)分析對(duì)比，不僅加深了對(duì)圖形的幾何性質(zhì)的理解，更重要的是體驗(yàn)了化歸的思想．

總之，在日常教學(xué)中，我們不僅要培養(yǎng)學(xué)生具有現(xiàn)代化科學(xué)的系統(tǒng)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，更應(yīng)注重學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，促使學(xué)生學(xué)會(huì)思考，具有獨(dú)立地、創(chuàng)造性地解決問(wèn)題的能力．筆者通過(guò)創(chuàng)設(shè)良好的數(shù)學(xué)問(wèn)題情境，激發(fā)創(chuàng)造熱情；關(guān)注數(shù)學(xué)解題的思維過(guò)程，培養(yǎng)創(chuàng)造意識(shí)；優(yōu)化數(shù)學(xué)解題的引導(dǎo)策略，發(fā)展創(chuàng)造力三部分對(duì)數(shù)學(xué)解題教學(xué)過(guò)程中發(fā)展創(chuàng)造力進(jìn)行了理性思考和實(shí)踐探究。

參考文獻(xiàn)：

［1］馬忠林.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論.廣西教育出版社，2001.

［2］邵瑞珍.教育心理學(xué).上海教育出版社，1998.

［3］G·波利亞.怎樣解題.科學(xué)出版社，1982.

［4］羅增儒，羅新兵.作為數(shù)學(xué)教育任務(wù)的數(shù)學(xué)解題.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2005（01）.

編輯 王團(tuán)蘭