H 值隨機(jī)Dirichlet級數(shù)在水平直線上的增長性

孫飛

（湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，湖北武漢430062）

H 值隨機(jī)Dirichlet級數(shù)在水平直線上的增長性

孫飛

（湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，湖北武漢430062）

研究了隨機(jī)Dirichlet級數(shù)的增長性以及H值隨機(jī)Dirichlet級數(shù)在水平直線上的增長性。討論了隨機(jī)Dirichlet級數(shù)在Hilbert空間上取值的情況，得出重要結(jié)論：H值隨機(jī)Dirichlet級數(shù)，不論它們的收斂域是全平面還是半平面，它們a.s.在每一條水平半直線上，并且所有帶形上與整個(gè)收斂域上有相同的增長級。

隨機(jī)Dirichlet級數(shù)；Hilbert空間；收斂

1 預(yù)備知識

引理1設(shè)是滿足條件的獨(dú)立隨機(jī)變量列，則

證明（4）式證明見文獻(xiàn)［1］，下面證明（5）式。

由Borel-Cantelli引理得

從而，易得（5）式成立。

引理2設(shè)是某概率空間（Ω，F(xiàn)，P）上的獨(dú)立的H值隨機(jī)變量序列，它們滿足條件（2），則對任意H∈A，存在，使得對任何復(fù)數(shù)列及任何p＞q≥K，恒有

證明i）由Paley-Zygmund不等式，對任意的n∈N，有

其中Ac=Ω-A。因此至少存在一個(gè)整數(shù)，使得

因此可取K'充分大，使得K'大于可能例外的M-1個(gè)正整數(shù)，則當(dāng)n≥K'時(shí)，（7）式恒成立。ii）對任意p＞q≥K'，由i）有

引理2證畢。

引理3假設(shè)是非負(fù)序列，又bn＞0，且，那么

證明證明見文獻(xiàn)［2］。

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)隨機(jī)Dirichlet級數(shù)（1）滿足下列條件：且｛‖Zn‖｝滿足條件（2），則fω(s)，f(s)的收斂橫坐標(biāo)分別為σc(ω)，σc，以及絕對收斂橫坐標(biāo)σa(ω)，σaa.s.為-∞。那么

證明為了實(shí)現(xiàn)之間的轉(zhuǎn)化，需要用到前面所給的輔助Dirichlet級數(shù)（3）。首先，根據(jù)文獻(xiàn)［3］中Dirichlet級數(shù)在半平面內(nèi)的增長性，我們令，那么，由條件（2）有

再由文獻(xiàn)［4］中Valiron公式得

下面對｛‖X‖n｝運(yùn)用引理1有

為了得到想要的結(jié)論，參考文獻(xiàn)［5-6］，引進(jìn)σn的子列σnk，設(shè)

對于｛‖X‖nk｝，運(yùn)用引理1有

于是由文獻(xiàn)［7］可知定理1成立。

定理2設(shè)隨機(jī)Dirichlet級數(shù)（1）滿足條件（10），且｛‖Zn‖｝滿足條件（2），則fω(s)，f(s)的收斂橫坐標(biāo)分別為σc(ω)，σc，絕對收斂橫坐標(biāo)σa(ω)，σaa.s.為-∞。下面設(shè)

那么對?t0∈R有

證明考慮到定理的條件，且｛‖Zn‖｝滿足條件（2），由文獻(xiàn)［8］，這里只需證明ρ＞0的情形，其他情況易得。下面用反證法證明。

于是存在固定的m0，k0，使得

由引理2知，存在自然數(shù)N及正整數(shù)C，使得當(dāng)N′＞N+1，σ＜σ′時(shí)，

但是由文獻(xiàn)［7］中定理2.1及題設(shè)條件

定理2表明fω(s)在任何水平線上的增長性其實(shí)與fω(s)，f(s)在整個(gè)水平面上的增長性a.s.是相同的。

由定理2可知，Hlibert空間上的隨機(jī)Dirichlet級數(shù)在水平直線上的增長性也有相同的性質(zhì)，即不論它們的收斂域是全平面還是半平面，它們a.s.在每一條水平線或水平半直線上，并且所有帶形上與整個(gè)收斂域上有相同的增長級。

（References）

［1］田范基.雙隨機(jī)狄里克萊級數(shù)的收斂性［J］.數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，1998，18（4）：419-428.

［2］田范基.隨機(jī)Dirichlet級數(shù)在水平直線上的增長性［J］.湖北大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2000，22（3）：232-238.

［3］岳超，孫道椿.Dirichlet級數(shù)與隨機(jī)Dirichlet級數(shù)在半平面內(nèi)的增長性［J］.華南師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2011（2）：23-27.

［4］余家榮，丁曉慶，田范基.Dirichlet級數(shù)與隨機(jī)Dirichlet級數(shù)值分布［M］.武漢：武漢大學(xué)出版社，2004.

［5］張瑩瑩.右半平面上隨機(jī)Dirichlet級數(shù)的增長性［J］.紡織高?；A(chǔ)科學(xué)學(xué)報(bào)，2010，23（4）：460-463.

［6］劉薇，常振海，何萬生.半平面上隨機(jī)Dirichlet級數(shù)的增長性［J］.信陽師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2010，23（2）：169-171.

［7］余家榮.狄里克萊級數(shù)與隨機(jī)狄里克萊級數(shù)［M］.北京：科學(xué)出版社，1997.

［8］王志剛，田范基.隨機(jī)Dirichlet級數(shù)在L2中的收斂性［J］.河北大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2011，31（6）：561-566.

（責(zé)任編輯：強(qiáng)士端）

Growth of H Values Random Dirichlet Series on Horizontal Lines

SUN Fei
（School of Mathematics and Statistics，Hubei University，Wuhan 430062，Hubei，China）

Mainly studies growth of the random Dirichlet series and growth of the H talues random Dirichlet series on the horizontal lines.Discusses the value of rendom Dirichlet series in the Hilbert space.Some important results are obtained：the H values random Dirichlet series，no matter their convergence domain is the whole plane or half plane，they a.s.have the same growth on every hori?zontal line as well as every strip and the whole convergence domain.

random Dirichlet series；Hilbert space；convergence

O211.6

A

1673-0143（2014）04-0020-05

2014-05-04

孫飛（1989—），男，碩士生，研究方向：隨機(jī)Dirichlet級數(shù)。