稀疏過程下雙Cox混合再保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率

蔣蘭青

（閩江師范高等?？茖W(xué)校，福建福州350108）

稀疏過程下雙Cox混合再保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率

蔣蘭青

（閩江師范高等?？茖W(xué)校，福建福州350108）

研究了一類帶投資和干擾的雙險(xiǎn)種再保險(xiǎn)模型，考慮保單到達(dá)過程和理賠過程均為Cox過程，且后者是前者的一個(gè)p-稀疏過程，針對(duì)該改進(jìn)模型，得到破產(chǎn)概率滿足的上界及推廣的Lundberg不等式。

稀疏過程；Cox過程；再保險(xiǎn)；破產(chǎn)概率

0 引言

我們知道，經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型［1］及很多推廣模型中均假設(shè)保費(fèi)到達(dá)過程與理賠到達(dá)過程是獨(dú)立的，但事實(shí)上，保單賣出越多其發(fā)生的理賠次數(shù)也會(huì)相應(yīng)地增多，因此保單的到達(dá)和理賠的發(fā)生應(yīng)該是相關(guān)的。據(jù)此有些文獻(xiàn)討論了二者的另一種相依關(guān)系，即將理賠過程視為保單到達(dá)過程的一個(gè)稀疏過程。文獻(xiàn)［2］研究了在此相依關(guān)系之上，保單與理賠到達(dá)過程均為復(fù)合Poisson過程的風(fēng)險(xiǎn)模型，得到了有關(guān)破產(chǎn)概率的諸多結(jié)論。然而保單到達(dá)數(shù)與理賠次數(shù)的強(qiáng)度是隨機(jī)改變的，用強(qiáng)度不變的齊次Poisson過程來描述必然存在很大的局限性，若用Cox風(fēng)險(xiǎn)模型研究更符合實(shí)際經(jīng)營的需要，其結(jié)果也更有現(xiàn)實(shí)意義。文獻(xiàn)［3］研究了保費(fèi)的到達(dá)和理賠的發(fā)生都服從Cox過程的雙險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)模型，得到了破產(chǎn)概率滿足推廣的Lundberg不等式，并且得到了累積強(qiáng)度均為常數(shù)時(shí)ψ(0)的明確表達(dá)式。

本文在文獻(xiàn)［2-3］的基礎(chǔ)上，將稀疏過程及Cox過程引入再保險(xiǎn)模型中，建立了帶投資和干擾的風(fēng)險(xiǎn)模型，考慮保單到達(dá)過程和理賠過程均為Cox過程，且后者是前者的一個(gè)p-稀疏過程，針對(duì)該改進(jìn)模型，得到破產(chǎn)概率滿足的上界及推廣的Lundberg不等式。

1 預(yù)備知識(shí)與模型建立

定義1［4］隨機(jī)過程以概率1滿足：

（i）Λ(0)=0；（ii）?t＜∞，Λ(t)＜∞；（iii）其實(shí)現(xiàn)是t的單調(diào)不減的連續(xù)函數(shù)，則稱Λ是一個(gè)（擴(kuò)散）隨機(jī)測(cè)度。

不妨假設(shè)下面討論所遇到的隨機(jī)測(cè)度都是擴(kuò)散的，且當(dāng)t→+∞時(shí)，Λ(t)→+∞，P-a.s.。

定義2［4］Poisson過程{?(t)，t≥0}稱為標(biāo)準(zhǔn)Poisson過程，若其強(qiáng)度

定義3［3］假設(shè){Λ(t)，t≥0}是隨機(jī)測(cè)度，{(t)，t≥0}是標(biāo)準(zhǔn)Poisson過程，且Λ(t)與(t)是相互獨(dú)立的，則點(diǎn)過程N(yùn)(t)=(t)?Λ(t)=(Λ(t))稱為Cox過程（或者稱為重隨機(jī)Poisson過程），其中Λ(t)又稱為累積強(qiáng)度過程。若假設(shè)顯然以概率1有λ(t)≥0，{λ(t)，t≥0}稱為強(qiáng)度過程。

引理1［3］如果Λ(t)是隨機(jī)測(cè)度，且假設(shè)E[Λ(t)]＜+∞，F(xiàn)Λ∞=σ(Λ(s)，s≤∞)，則N(t)是相應(yīng)的Cox過程，當(dāng)且僅當(dāng)滿足下列條件：

（i）N(t)對(duì)FΛ∞有條件獨(dú)立增量；

（ii）N(t)-N(s)對(duì)FΛ∞服從均值為Λ(t)-Λ(s)的條件Poisson分布，即對(duì)任意的0≤s＜t和非負(fù)整數(shù)k，有概率表達(dá)式：

定義4假定事件E的發(fā)生形成強(qiáng)度為Λ(t)的Cox過程{M(t)， t≥0}，如果每一發(fā)生的事件只以概率p被記錄到（0＜p＜1），記錄到的事件發(fā)生的次數(shù){N(t)， t≥0}被稱為{M(t)， t≥0}的一個(gè)隨機(jī)稀疏，此時(shí){N(t)， t≥0}是強(qiáng)度為pΛ(t)的Cox過程。

本文同樣考慮成數(shù)與超額賠款混合再保險(xiǎn)［5-6］，且假定原保險(xiǎn)公司先選擇了一個(gè)自留比例為a的成數(shù)再保險(xiǎn)，按此比例支付保費(fèi)并提取傭金；在成數(shù)再保險(xiǎn)的基礎(chǔ)上又安排了一個(gè)自留額為M的超額賠款再保險(xiǎn)。于是，當(dāng)索賠為Y時(shí)，原保險(xiǎn)公司在索賠發(fā)生時(shí)的自留額為h(Y)=min{aY，M}，超額再保險(xiǎn)支付Y-h(Y)=max{0，aY-M}。假設(shè)成數(shù)再保險(xiǎn)的保費(fèi)按原始條款計(jì)算，而超額賠款再保險(xiǎn)保費(fèi)計(jì)算根據(jù)期望值原理，且安全附加系數(shù)為α＞0。再者考慮將一部分初始資金用于固定投資，這樣，原保險(xiǎn)公司在t時(shí)刻的盈余過程和盈利過程分別為

化簡得

其中，

①u≥0為保險(xiǎn)公司的初始資金，u?表示根據(jù)初始資金而設(shè)定用于投資的資金，h是單位時(shí)間的投資收益；

②{Xi，i≥1}，{Yj，j≥1}是取值于[0，+∞)上非負(fù)獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，分別表示保險(xiǎn)公司在第i次的保費(fèi)收入及第j次的理賠額，設(shè)其分布函數(shù)分別為F(x)，G(y)，均值分別為μ1， μ2，且對(duì)x≤0有F(x)=0，對(duì)y≤0有G(y)=0；

③{N(t)，t≥0}是強(qiáng)度為{Λ(t)，t≥0}的Cox過程，表示保單的到達(dá)過程；

④{Np(t)，t≥0}是過程{N(t)，t≥0}的p-稀疏過程，即{Np(t)，t≥0}是強(qiáng)度為{pΛ(t)，t≥0}的Cox過程，表示理賠的到達(dá)過程。這里假定每個(gè)保單持有者理賠與否為相互獨(dú)立，持保人以相同概率理賠，p的含義為：由過去的經(jīng)驗(yàn)知，發(fā)生事故時(shí)，會(huì)以概率p引起理賠，且0＜p＜1，否則此險(xiǎn)種無經(jīng)濟(jì)價(jià)值；

引理2對(duì)于盈余過程，存在關(guān)于FΛ∞可測(cè)的函數(shù)ga，M(r，t)，使得證明由（2）式及引理1知：

其中，

于是有

其中MX(r),Mh(Y)(r)分別是X，h(Y)的矩母函數(shù)。令

則引理2得證。

引理3設(shè)是鞅。

證明假設(shè)t＞s，由引理1、引理2得

2 最終破產(chǎn)概率與推廣的Lundberg不等式

定理1對(duì)于任意的實(shí)數(shù)r，最終破產(chǎn)概率滿足不等式

證明對(duì)任意取定的t0＜+∞，T∧t0為有界停時(shí)，因此由Doob-有界停時(shí)定理［7］知：

當(dāng)T＜∞時(shí)，u+S(T)≤0，于是有

兩邊同時(shí)取期望得

定義5令稱R為模型（1）的Lundberg指數(shù)。

定理2對(duì)任意的0＜ε＜R，有

證明由（5）式知，其中r≤R，又由定義5知從而對(duì)每一個(gè)滿足0＜ε＜R的ε，有0＜R-ε＜R，將（5）式中的r換成R-ε，（5）式仍然成立，即有ψ(u，a，M)≤e-(R-ε)u

（References）

［1］?KSENDAL B.Stochastic differential equations［M］.New York：Springer-Verlag，2000.

［2］趙金娥，王貴紅，龍瑤，等.索賠為稀疏過程的雙復(fù)合Poisson風(fēng)險(xiǎn)模型［J］.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，2010，27（4）：86-92.

［3］曾靄林，林祥，張漢君.雙險(xiǎn)種的Cox風(fēng)險(xiǎn)模型［J］.數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用，2003，23（1）：107-112.

［4］GRANDELL J.Aspects of risk theory［M］.New York：Springer-Verlag，1991.

［5］孫映霞，劉慶平.帶干擾的常利率超額再保險(xiǎn)Poisson風(fēng)險(xiǎn)模型的最優(yōu)自留額［J］.數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用，2009，29（4）：20-24.

［6］程蘭芳.確定最優(yōu)比例再保險(xiǎn)決策模型研究［J］.管理科學(xué)，2003，16（3）：43-45.

［7］成世學(xué).破產(chǎn)論研究綜述［J］.數(shù)學(xué)進(jìn)展，2002，31（5）：403-422.

（責(zé)任編輯：強(qiáng)士端）

Ruin Probability of Double Cox Mixed Reinsurance Risk Model Under Thinning Process

JIANG Lanqing
（Minjiang Teachers College，F(xiàn)uzhou 350108，F(xiàn)ujian，China）

Researches a class of double reinsurance model with investment and interference，consid?ering the arrival of guarantee slip and satisfaction of a claim are both the Cox process，and the latter is a p-thinning process of the former.Towards the improved model，obtains the upper bound of ruin probability satisfaction and the lundberg inequality.

thinning process；Cox process；reinsurance；ruin probability

O211.6

A

1673-0143（2014）04-0016-04

2014-03-29

蔣蘭青（1986—），女，助教，碩士，研究方向：應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)。