巧用遷移思想，解決高代難題

何守元

摘 要： 本文從三個方面闡述了中學(xué)數(shù)學(xué)思想和方法在高等代數(shù)解題中的應(yīng)用，并指出它既是解決高等代數(shù)疑難問題的有效途徑，又是學(xué)習(xí)、研究高等代數(shù)的有效方法.

關(guān)鍵詞： 遷移 中學(xué)數(shù)學(xué)思想和方法 高等代數(shù)

高等代數(shù)中的許多內(nèi)容很抽象，邏輯十分嚴密，初學(xué)者在學(xué)習(xí)中普遍感到困難.這不僅與學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)有關(guān)，而且與學(xué)生的認識方法論也有很大關(guān)系.越是抽象內(nèi)容的學(xué)習(xí)，越是迫切需要初學(xué)者在已有認知結(jié)構(gòu)和認識結(jié)構(gòu)中找到理解抽象知識的支撐點.

中學(xué)數(shù)學(xué)是學(xué)習(xí)高等代數(shù)的基礎(chǔ)，其豐富的數(shù)學(xué)思想和方法對高等代數(shù)的學(xué)習(xí)具有重要的指導(dǎo)作用.正確遷移中學(xué)數(shù)學(xué)知識特別是思想和方法解決高等代數(shù)的問題，既是解決高等代數(shù)疑難問題的有效途徑，又是一種高效的學(xué)習(xí)方法.

一、遷移中學(xué)數(shù)學(xué)的思想和方法，解決多項式的疑難問題

多項式中命題的證明，是初學(xué)者首先會碰到的一個難題.導(dǎo)致學(xué)習(xí)困難的主要原因是脫離中學(xué)數(shù)學(xué)，認識方法不當(dāng).解決這個問題的有效方法就是：歸類認識，總結(jié)規(guī)律，正確遷移中學(xué)數(shù)學(xué)的思想和方法.

1.凡結(jié)論只涉及正反兩面的命題，均可嘗試用反證法證之.

反證法的本質(zhì)是證明命題的逆否命題成立.相當(dāng)于換一個途徑證明命題，蘊含了化歸思想.程序是：否定結(jié)論，推出矛盾.在高等代數(shù)各章內(nèi)容中都有廣泛的應(yīng)用.

例1：證明：若f（x）是一個正系數(shù)多項式，且f（0）、f（1）都是奇數(shù)，則f（x）沒有整數(shù)根.

證明：假設(shè)f（x）存在整數(shù)根x，則必存在q（x）∈z[x]，使得： f（x）=（x-α）q（x），從而有：f（0）=（-α）q（0）f（1）=（1-α）q（1），因為f（0）、f（1）都是奇數(shù)，q（0）、q（1）都是整數(shù)，由整數(shù)的奇偶性關(guān)系知：-α、1-α必是奇數(shù)，即：α既是奇數(shù)又是偶數(shù)，這不可能.故f（x）沒有整數(shù)根.

2.凡證明互素的命題，都可嘗試用配湊法證之.

證明互素的命題，關(guān)鍵是要根據(jù)已知條件，應(yīng)用中學(xué)數(shù)學(xué)的配湊法，找到多項式u（x）、v（x），使f（x）u（x）+g（x）v（x）=1成立.其本質(zhì)是：代數(shù)式的恒等變形思想.

例2：已知：f（x）、g（x）互素，證明：（f（x），f（x）+g（x））=（f（x）+g（x），g（x））=（f（x）g（x），f（x）+g（x））=1.

證明：由（f（x），g（x））=1？圳？堝u（x）、v（x），使得：f（x）u（x）+g（x）v（x）=1，配湊得：f（x）[u（x）-v（x）]+[f（x）+g（x）]v（x）=1[f（x）+g（x）]u（x）+g（x）[v（x）-u（x）]=1.

從而有：（f（x），f（x）+g（x））=（f（x）+g（x），g（x））=1.

又因為：f（x）g（x）[u（x）-v（x）]+[f（x）+g（x）]g（x）v（x）= g（x），所以f（x）g（x），f（x）+g（x）的任意公因式h（x），都是f（x）、g（x）的公因式；反之亦然.從而有：（f（x）g（x），f（x）+g（x））=（f（x），g（x））=1.[1]

4.凡涉及多項式、商式、余式系數(shù)的命題，都可嘗試用待定系數(shù)法解之.

使用待定系數(shù)法時，多項式應(yīng)設(shè)為標(biāo)準式，且遵循次數(shù)定理.

例4：設(shè)多項式f（x）被x-1、x-2、x-3除所得余數(shù)依次為4、8、16，求f（x）被（x-1）（x-2）（x-3）除所得余式.

由余數(shù)定理可得方程組：f（1）=a+b+c=4f（x）=4a+2b+c=8f（3）=9a+3b+c=16，解之得：a=2，b=-2，c=4.

5.涉及多項式函數(shù)值及判別抽象數(shù)的屬性的命題，可嘗試用構(gòu)造法證之.

根據(jù)已知條件構(gòu)造方程（組）、函數(shù)或多項式證明命題，是中學(xué)數(shù)學(xué)常用的方法，在高等代數(shù)中也有廣泛應(yīng)用.

二、遷移中學(xué)數(shù)學(xué)因式分解的方法和公式，證明矩陣可逆并求出逆矩陣

三、涉及抽象矩陣的特征根與特征向量的問題，可遷移等量替換、恒等變形的思想求解

參考文獻：

[1]馬訾偉等主編.高等代數(shù)全程導(dǎo)學(xué)及習(xí)題全解（第五版）.中國時代經(jīng)濟出版社，2010.11：29、52.

[2]楊子胥主編.高等代數(shù)精選題解（第一版），高等教育出版社，2008.6：180-182.

[3][4]毛綱源.線性代數(shù)解題方法技巧歸納（第2版），華中科技大學(xué)出版社，2003.3：90，322.endprint

摘 要： 本文從三個方面闡述了中學(xué)數(shù)學(xué)思想和方法在高等代數(shù)解題中的應(yīng)用，并指出它既是解決高等代數(shù)疑難問題的有效途徑，又是學(xué)習(xí)、研究高等代數(shù)的有效方法.

關(guān)鍵詞： 遷移 中學(xué)數(shù)學(xué)思想和方法 高等代數(shù)

高等代數(shù)中的許多內(nèi)容很抽象，邏輯十分嚴密，初學(xué)者在學(xué)習(xí)中普遍感到困難.這不僅與學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)有關(guān)，而且與學(xué)生的認識方法論也有很大關(guān)系.越是抽象內(nèi)容的學(xué)習(xí)，越是迫切需要初學(xué)者在已有認知結(jié)構(gòu)和認識結(jié)構(gòu)中找到理解抽象知識的支撐點.

中學(xué)數(shù)學(xué)是學(xué)習(xí)高等代數(shù)的基礎(chǔ)，其豐富的數(shù)學(xué)思想和方法對高等代數(shù)的學(xué)習(xí)具有重要的指導(dǎo)作用.正確遷移中學(xué)數(shù)學(xué)知識特別是思想和方法解決高等代數(shù)的問題，既是解決高等代數(shù)疑難問題的有效途徑，又是一種高效的學(xué)習(xí)方法.

一、遷移中學(xué)數(shù)學(xué)的思想和方法，解決多項式的疑難問題

多項式中命題的證明，是初學(xué)者首先會碰到的一個難題.導(dǎo)致學(xué)習(xí)困難的主要原因是脫離中學(xué)數(shù)學(xué)，認識方法不當(dāng).解決這個問題的有效方法就是：歸類認識，總結(jié)規(guī)律，正確遷移中學(xué)數(shù)學(xué)的思想和方法.

1.凡結(jié)論只涉及正反兩面的命題，均可嘗試用反證法證之.

反證法的本質(zhì)是證明命題的逆否命題成立.相當(dāng)于換一個途徑證明命題，蘊含了化歸思想.程序是：否定結(jié)論，推出矛盾.在高等代數(shù)各章內(nèi)容中都有廣泛的應(yīng)用.

例1：證明：若f（x）是一個正系數(shù)多項式，且f（0）、f（1）都是奇數(shù)，則f（x）沒有整數(shù)根.

證明：假設(shè)f（x）存在整數(shù)根x，則必存在q（x）∈z[x]，使得： f（x）=（x-α）q（x），從而有：f（0）=（-α）q（0）f（1）=（1-α）q（1），因為f（0）、f（1）都是奇數(shù)，q（0）、q（1）都是整數(shù)，由整數(shù)的奇偶性關(guān)系知：-α、1-α必是奇數(shù)，即：α既是奇數(shù)又是偶數(shù)，這不可能.故f（x）沒有整數(shù)根.

2.凡證明互素的命題，都可嘗試用配湊法證之.

證明互素的命題，關(guān)鍵是要根據(jù)已知條件，應(yīng)用中學(xué)數(shù)學(xué)的配湊法，找到多項式u（x）、v（x），使f（x）u（x）+g（x）v（x）=1成立.其本質(zhì)是：代數(shù)式的恒等變形思想.

例2：已知：f（x）、g（x）互素，證明：（f（x），f（x）+g（x））=（f（x）+g（x），g（x））=（f（x）g（x），f（x）+g（x））=1.

證明：由（f（x），g（x））=1？圳？堝u（x）、v（x），使得：f（x）u（x）+g（x）v（x）=1，配湊得：f（x）[u（x）-v（x）]+[f（x）+g（x）]v（x）=1[f（x）+g（x）]u（x）+g（x）[v（x）-u（x）]=1.

從而有：（f（x），f（x）+g（x））=（f（x）+g（x），g（x））=1.

又因為：f（x）g（x）[u（x）-v（x）]+[f（x）+g（x）]g（x）v（x）= g（x），所以f（x）g（x），f（x）+g（x）的任意公因式h（x），都是f（x）、g（x）的公因式；反之亦然.從而有：（f（x）g（x），f（x）+g（x））=（f（x），g（x））=1.[1]

4.凡涉及多項式、商式、余式系數(shù)的命題，都可嘗試用待定系數(shù)法解之.

使用待定系數(shù)法時，多項式應(yīng)設(shè)為標(biāo)準式，且遵循次數(shù)定理.

例4：設(shè)多項式f（x）被x-1、x-2、x-3除所得余數(shù)依次為4、8、16，求f（x）被（x-1）（x-2）（x-3）除所得余式.

由余數(shù)定理可得方程組：f（1）=a+b+c=4f（x）=4a+2b+c=8f（3）=9a+3b+c=16，解之得：a=2，b=-2，c=4.

5.涉及多項式函數(shù)值及判別抽象數(shù)的屬性的命題，可嘗試用構(gòu)造法證之.

根據(jù)已知條件構(gòu)造方程（組）、函數(shù)或多項式證明命題，是中學(xué)數(shù)學(xué)常用的方法，在高等代數(shù)中也有廣泛應(yīng)用.

二、遷移中學(xué)數(shù)學(xué)因式分解的方法和公式，證明矩陣可逆并求出逆矩陣

三、涉及抽象矩陣的特征根與特征向量的問題，可遷移等量替換、恒等變形的思想求解

參考文獻：

[1]馬訾偉等主編.高等代數(shù)全程導(dǎo)學(xué)及習(xí)題全解（第五版）.中國時代經(jīng)濟出版社，2010.11：29、52.

[2]楊子胥主編.高等代數(shù)精選題解（第一版），高等教育出版社，2008.6：180-182.

[3][4]毛綱源.線性代數(shù)解題方法技巧歸納（第2版），華中科技大學(xué)出版社，2003.3：90，322.endprint

摘 要： 本文從三個方面闡述了中學(xué)數(shù)學(xué)思想和方法在高等代數(shù)解題中的應(yīng)用，并指出它既是解決高等代數(shù)疑難問題的有效途徑，又是學(xué)習(xí)、研究高等代數(shù)的有效方法.

關(guān)鍵詞： 遷移 中學(xué)數(shù)學(xué)思想和方法 高等代數(shù)

高等代數(shù)中的許多內(nèi)容很抽象，邏輯十分嚴密，初學(xué)者在學(xué)習(xí)中普遍感到困難.這不僅與學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)有關(guān)，而且與學(xué)生的認識方法論也有很大關(guān)系.越是抽象內(nèi)容的學(xué)習(xí)，越是迫切需要初學(xué)者在已有認知結(jié)構(gòu)和認識結(jié)構(gòu)中找到理解抽象知識的支撐點.

中學(xué)數(shù)學(xué)是學(xué)習(xí)高等代數(shù)的基礎(chǔ)，其豐富的數(shù)學(xué)思想和方法對高等代數(shù)的學(xué)習(xí)具有重要的指導(dǎo)作用.正確遷移中學(xué)數(shù)學(xué)知識特別是思想和方法解決高等代數(shù)的問題，既是解決高等代數(shù)疑難問題的有效途徑，又是一種高效的學(xué)習(xí)方法.

一、遷移中學(xué)數(shù)學(xué)的思想和方法，解決多項式的疑難問題

多項式中命題的證明，是初學(xué)者首先會碰到的一個難題.導(dǎo)致學(xué)習(xí)困難的主要原因是脫離中學(xué)數(shù)學(xué)，認識方法不當(dāng).解決這個問題的有效方法就是：歸類認識，總結(jié)規(guī)律，正確遷移中學(xué)數(shù)學(xué)的思想和方法.

1.凡結(jié)論只涉及正反兩面的命題，均可嘗試用反證法證之.

反證法的本質(zhì)是證明命題的逆否命題成立.相當(dāng)于換一個途徑證明命題，蘊含了化歸思想.程序是：否定結(jié)論，推出矛盾.在高等代數(shù)各章內(nèi)容中都有廣泛的應(yīng)用.

例1：證明：若f（x）是一個正系數(shù)多項式，且f（0）、f（1）都是奇數(shù)，則f（x）沒有整數(shù)根.

證明：假設(shè)f（x）存在整數(shù)根x，則必存在q（x）∈z[x]，使得： f（x）=（x-α）q（x），從而有：f（0）=（-α）q（0）f（1）=（1-α）q（1），因為f（0）、f（1）都是奇數(shù)，q（0）、q（1）都是整數(shù)，由整數(shù)的奇偶性關(guān)系知：-α、1-α必是奇數(shù)，即：α既是奇數(shù)又是偶數(shù)，這不可能.故f（x）沒有整數(shù)根.

2.凡證明互素的命題，都可嘗試用配湊法證之.

證明互素的命題，關(guān)鍵是要根據(jù)已知條件，應(yīng)用中學(xué)數(shù)學(xué)的配湊法，找到多項式u（x）、v（x），使f（x）u（x）+g（x）v（x）=1成立.其本質(zhì)是：代數(shù)式的恒等變形思想.

例2：已知：f（x）、g（x）互素，證明：（f（x），f（x）+g（x））=（f（x）+g（x），g（x））=（f（x）g（x），f（x）+g（x））=1.

證明：由（f（x），g（x））=1？圳？堝u（x）、v（x），使得：f（x）u（x）+g（x）v（x）=1，配湊得：f（x）[u（x）-v（x）]+[f（x）+g（x）]v（x）=1[f（x）+g（x）]u（x）+g（x）[v（x）-u（x）]=1.

從而有：（f（x），f（x）+g（x））=（f（x）+g（x），g（x））=1.

又因為：f（x）g（x）[u（x）-v（x）]+[f（x）+g（x）]g（x）v（x）= g（x），所以f（x）g（x），f（x）+g（x）的任意公因式h（x），都是f（x）、g（x）的公因式；反之亦然.從而有：（f（x）g（x），f（x）+g（x））=（f（x），g（x））=1.[1]

4.凡涉及多項式、商式、余式系數(shù)的命題，都可嘗試用待定系數(shù)法解之.

使用待定系數(shù)法時，多項式應(yīng)設(shè)為標(biāo)準式，且遵循次數(shù)定理.

例4：設(shè)多項式f（x）被x-1、x-2、x-3除所得余數(shù)依次為4、8、16，求f（x）被（x-1）（x-2）（x-3）除所得余式.

由余數(shù)定理可得方程組：f（1）=a+b+c=4f（x）=4a+2b+c=8f（3）=9a+3b+c=16，解之得：a=2，b=-2，c=4.

5.涉及多項式函數(shù)值及判別抽象數(shù)的屬性的命題，可嘗試用構(gòu)造法證之.

根據(jù)已知條件構(gòu)造方程（組）、函數(shù)或多項式證明命題，是中學(xué)數(shù)學(xué)常用的方法，在高等代數(shù)中也有廣泛應(yīng)用.

二、遷移中學(xué)數(shù)學(xué)因式分解的方法和公式，證明矩陣可逆并求出逆矩陣

三、涉及抽象矩陣的特征根與特征向量的問題，可遷移等量替換、恒等變形的思想求解

參考文獻：

[1]馬訾偉等主編.高等代數(shù)全程導(dǎo)學(xué)及習(xí)題全解（第五版）.中國時代經(jīng)濟出版社，2010.11：29、52.

[2]楊子胥主編.高等代數(shù)精選題解（第一版），高等教育出版社，2008.6：180-182.

[3][4]毛綱源.線性代數(shù)解題方法技巧歸納（第2版），華中科技大學(xué)出版社，2003.3：90，322.endprint