理論研究強(qiáng)激光場中2pz態(tài)氫原子的電離

初玉玲，唐增華，馬鳳才，李永慶

（1.赤峰學(xué)院物理與電子信息工程學(xué)院，赤峰024001；2.遼寧大學(xué)物理學(xué)院，沈陽110036）

將（4）式和 （5）式代入 （2）式，并利用ψf 是算符HA（t）的本征函數(shù)，經(jīng)計(jì)算后可得

1 引 言

由于激光技術(shù)的不斷發(fā)展，原子與分子在強(qiáng)激光場中的非線性物理現(xiàn)象在理論和實(shí)驗(yàn)上引起了廣泛的關(guān)注，例如閾上電離，雙電離，高次諧波的產(chǎn)生等［1-7］.但是由于強(qiáng)場電離機(jī)制的復(fù)雜性，即使是最簡單的氫原子在強(qiáng)激光場的電離，我們也不是十分清楚其中的電離機(jī)制［8］，所以為了進(jìn)一步研究更為復(fù)雜的原子和分子的強(qiáng)場電離，有必要詳細(xì)地研究一下氫原子在強(qiáng)激光場中的電離情況.

由于電磁場中原子的Schr?dinger方程不能夠得到解析解，而且現(xiàn)在的計(jì)算能力也非常有限，所以到目前為止對(duì)于多電子原子是無法獲得精確的數(shù)值解.因此，現(xiàn)在研究強(qiáng)場電離的過程，分析與理解實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，只能借助一些理論模型.到目前為止，對(duì)于強(qiáng)激光場與物質(zhì)相互作用研究的理論中，最重要的就是1965年Keldysh提出的單電子原子在強(qiáng)激光場中的光致電離理論［9］，在這一理論中，他推導(dǎo)了氫原子在線性偏振激光場中，由基態(tài)直接躍遷到Volkov連續(xù)態(tài)的電離率表達(dá)式，其中一個(gè)非常重要的貢獻(xiàn)就是提出了判斷不同電離機(jī)制的絕熱參數(shù)γ，即Keldysh參數(shù).從他的表達(dá)式中能夠分析得到光致電離的主要特點(diǎn)［10］，例如光致電離率的指數(shù)相關(guān)性等特點(diǎn)，Keldysh理論開啟了強(qiáng)場物理研究的新篇章.目前，對(duì)于計(jì)算原子光致電離率的方法，除了Keldysh理論之外，還有兩個(gè)非常重要的理論，一個(gè)是Faisal理論［11］，他從S矩陣元出發(fā)，推導(dǎo)了原子強(qiáng)場多光子電離躍遷矩陣元的一般表達(dá)式，在推導(dǎo)過程中系統(tǒng)的末態(tài)忽略長程庫侖勢的影響.后來，Reiss［12］進(jìn)一步發(fā)展了強(qiáng)場電離理論，使得這一理論能夠計(jì)算線性偏振和圓偏振激光場中任意階相互作用的躍遷幾率.Reiss理論與Keldysh理論一個(gè)重要的不同點(diǎn)就是原子和激光場之間相互作用的哈密頓表示形式不同，Keldysh 運(yùn)用的是r?·F?形式，即長度規(guī)范，而Reiss運(yùn)用的是p?·A?形式，即速度規(guī)范.Faisal獨(dú)立提出了強(qiáng)場電離的理論模型，他與Reiss都運(yùn)用速度規(guī)范的相互作用哈密頓，但他采用直接時(shí)間S 矩陣形式，這三個(gè)理論后來就被稱為KFR 理論［13-17］.

眾所周知，電磁相互作用具有規(guī)范不變性，因此用不同規(guī)范的理論計(jì)算原子分子的電離率應(yīng)該相同.Faisal也從理論上證明了表示原子從束縛態(tài)到自由態(tài)躍遷振幅的S矩陣元的級(jí)數(shù)，在規(guī)范變換下逐級(jí)都是不變的.然而，在用KFR 強(qiáng)場近似理論計(jì)算原子分子電離率的實(shí)際過程中，不同規(guī)范理論卻得出不同的結(jié)果.這兩種規(guī)范似乎構(gòu)成了兩種不同的理論模型.尤其是最近，Bauer［18］分別在長度規(guī)范下和速度規(guī)范下計(jì)算了隧穿區(qū)域的1s態(tài)氫原子在強(qiáng)激光場中的電離率，從結(jié)果來看兩種規(guī)范的理論之間至少存在一個(gè)數(shù)量級(jí)的差異，對(duì)圓偏振的情況，這種差異更為明顯［19］.對(duì)于哪種規(guī)范的強(qiáng)場近似理論能夠更準(zhǔn)確地描述強(qiáng)場電離過程引起了許多研究者廣泛的爭論.其中許多研究結(jié)果表明強(qiáng)場近似長度規(guī)范的理論優(yōu)于速度規(guī)范的理論，與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)以及Schr?dinger方程的數(shù)值解符合得更好.然而，也有一些人不認(rèn)同此觀點(diǎn)，他們也提出了速度規(guī)范理論的優(yōu)越之處.所以規(guī)范選擇的爭論十分激烈.為了研究兩種規(guī)范存在差異的本質(zhì)原因，最近我們運(yùn)用速度規(guī)范理論推導(dǎo)了強(qiáng)激光場中1s態(tài)氫原子電離率表達(dá)式，我們得到結(jié)果和Keldysh 在長度規(guī)范下的結(jié)果一樣簡潔，將會(huì)對(duì)兩種規(guī)范理論之間存在差異的原因研究提供一個(gè)重要的理論參考［20］，并且證明了兩種規(guī)范理論之間的差異不是由數(shù)學(xué)方法造成的，其中可能存在需要深入研究的問題.為了更好地理解強(qiáng)場電離機(jī)制，本文研究了激發(fā)態(tài)氫原子的強(qiáng)場電離情況.

我們以S躍遷矩陣?yán)碚摚?2］為出發(fā)點(diǎn)，一般而言，這是處理電子從束縛態(tài)躍遷到自由態(tài)的一種很好的方法.并且運(yùn)用偶極近似原理，在這種情況下只考慮電磁場中的電場部分，電子只和強(qiáng)激光場作用，忽略原子核對(duì)電離電子的長程庫侖勢作用，電離電子的波函數(shù)用Volkov平面波來描述，這是一種非常適用的描述自由電子的方法.我們以2pz態(tài)氫原子為例進(jìn)行計(jì)算，在隧穿電離的情況下 （Keldysh絕熱γ ＜＜1），運(yùn)用速度規(guī)范理論推導(dǎo)了其在強(qiáng)激光場中的電離率公式，得到一個(gè)和Keldysh理論一樣簡潔的表達(dá)式，將會(huì)對(duì)原子強(qiáng)場電離機(jī)制的研究提供重要的理論參考.在推導(dǎo)過程中我們用到了兩個(gè)近似，分別是在積分過程中用到的鞍點(diǎn)積分方法［21］，并且假設(shè)電離電子的動(dòng)量非常小，滿足p2＜＜2Eb.在推導(dǎo)過程中，使用的是原子單位（=m=?=1），電子的電荷數(shù)取-1.

2 理論計(jì)算

對(duì)于強(qiáng)激光場中的2pz態(tài)氫原子，由2pz態(tài)直接躍遷到Volkov連續(xù)態(tài)的光致電離率為

根據(jù)Reiss理論，躍遷矩陣元可以表示為［12］

其中ψf表示電子末態(tài)波函數(shù)，即Volkov連續(xù)態(tài)，φi表示無外場存在時(shí)的系統(tǒng)初態(tài)波函數(shù)，HA（t）是電子和激光場相互作用的Hamiltonian，在速度規(guī)范下可以表示為

對(duì)于線性偏振激光場，運(yùn)用偶極近似原理，激光場的矢勢可以表示為（t）=cosωt，其中表示極化矢量方向，ω 是激光場的頻率，A 是矢勢的振幅，對(duì)應(yīng)的電場可以表示為（t）=-?t（t）=sinωt，其中F=Aω 是電場強(qiáng)度，速度規(guī)范下Volkov波函數(shù)為

其中HA（，τ）是將 （3）中算符-i用其本征值替換.V 是歸一化常數(shù).系統(tǒng)的初態(tài)波函數(shù)為

其中

將（4）式和 （5）式代入 （2）式，并利用ψf 是算符HA（t）的本征函數(shù)，經(jīng)計(jì)算后可得

其中

Φ（ ξn ）是Dawson積分，定義為

其中

將（15）式代入 （9）中得到氫原子由2pz態(tài)躍遷到Volkov連續(xù)態(tài)的總電離率為（16）式為本文的一個(gè)主要結(jié)論：2pz態(tài)氫原子強(qiáng)場電離率的表達(dá)式，這個(gè)式子和Keldysh 推導(dǎo)的長度規(guī)范的基態(tài)氫原子的電離率表達(dá)式一樣簡潔，將對(duì)原子強(qiáng)場電離的研究提供一個(gè)理論參考.

3 計(jì)算結(jié)果與討論

這部分我們從數(shù)值上來分析和討論在速度規(guī)范下2pz態(tài)氫原子的電離率，并和其他研究者的結(jié)果進(jìn)行比較.Bauer在速度規(guī)范下計(jì)算的圓偏振激光場中的2pz態(tài)氫原子電離率的表達(dá)式為［19］

其中Eb和n0的意義和前面是相同的，θ是動(dòng)量和極化矢量方向之間的夾角，Jn是廣義Bessel函數(shù).

由于我們研究的是低頻高強(qiáng)度激光場的情況，電離率的表達(dá)式是關(guān)于激光參數(shù)ω 和強(qiáng)度參數(shù)z1的函數(shù)，滿足條件ω＜＜1，z1＞＞1和附加條件F ＜＜1a.u..所以在實(shí)際的計(jì)算過程中，我們首先設(shè)定頻率ω 為固定值，強(qiáng)度參數(shù)z1作為變量，研究電離率隨強(qiáng)度參數(shù)z1如何變化，然后再反過來把強(qiáng)度參數(shù)z1作為固定值，而將頻率ω 作為變量，研究電離率隨頻率ω 如何變化，為了滿足低頻高強(qiáng)度的條件，在計(jì)算過程中我們?nèi)?qiáng)度參數(shù)z1=100，或者取頻率ω=0.01a.u..在圖1中給出了三種情況計(jì)算的2pz態(tài)氫原子電離率的結(jié)果，它們分別隨著強(qiáng)度參數(shù)z1而變化，而頻率ω 固定為0.01a.u..文中 （9）式和 （16）式的結(jié)果分別用虛線和實(shí)線表示，2pz態(tài)氫原子在圓偏振激光場中的電離率即 （17）式用加點(diǎn)虛線表示，在圖2中，這三種氫原子的電離率表示形式和圖1中是相同的，不同的是在圖2中電離率是隨頻率ω 的變化情況，這時(shí)強(qiáng)度參數(shù)z1=100.在圖3中，當(dāng)電場強(qiáng)度F ＜＜1a.u.時(shí)，三種情況的2pz態(tài)氫原子的電離率隨電場強(qiáng)度F 的變化情況，從這三幅圖中我們可以看出，我們本文中結(jié)果［（9）式和 （16）式］在數(shù)值上吻合地非常好.顯然，圓偏振激光場中的2pz態(tài)氫原子電離率要明顯小于線偏振的情況.此外，如果忽略小項(xiàng)γ2，本文中我們得到的結(jié)果的指數(shù)部分和Keldysh 以及Bauer等人的結(jié)果是相同的［9，18］，這些表達(dá)式的不同之處就在于指數(shù)前因子部分.

圖1 圓偏振和線偏振激光場中2pz氫原子的電離率隨Reiss強(qiáng)度參數(shù)z1的變化，激光頻率ω 固定為0.01a.u.Fig.1 Plot of 2pz hydrogen atom ionization rates for the linearly polarized laser field or circularly polarized laser field as a function of the Reiss intensity parameter z1，with the laser frequency ωfixed at 0.01a.u.

圖2 圓偏振和線偏振激光場中2pz氫原子的電離率隨激光頻率ω 的變化，Reiss強(qiáng)度參數(shù)z1固定為100Fig.2 Plot of 2pz hydrogen atom ionization rates for the linearly polarized laser field or circularly polarized laser field as a function of the laser frequencyω，with the Reiss intensity parameter z1 fixed at 100.

圖3 圓偏振和線偏振激光場中2pz氫原子的電離率隨電場強(qiáng)度F 的變化，激光頻率ω固定為0.01a.u.Fig.3 Plot of 2pz hydrogen atom ionization rates for the linearly polarized laser field or circularly polarized laser field（forω=0.01a.u.）as a function of the electric field F

4 結(jié) 論

本文運(yùn)用速度規(guī)范理論在隧穿電離的情況下推導(dǎo)了2pz態(tài)氫原子在強(qiáng)激光場中的電離率公式，我們的表達(dá)式要比Bauer在圓偏振激光場中運(yùn)用同樣方法得到的結(jié)果要簡潔得多［19］，從目前的研究情況來看，這是運(yùn)用速度規(guī)范理論計(jì)算的2pz態(tài)氫原子在強(qiáng)激光場中的電離率的最簡潔的表達(dá)式，通過數(shù)據(jù)分析可以看出，圓偏振激光場中2pz態(tài)氫原子的電離率通常要比線偏振激光場中的情況小幾個(gè)數(shù)量級(jí).此外，對(duì)于隧穿電離的情況，本文中得到的電離率公式的指數(shù)部分和其他研究者得到的結(jié)果是相同的，這也說明了電離機(jī)制的本質(zhì)是由公式中指數(shù)部分所決定的.

［1］ Jia X Y，F(xiàn)an D H，Li W D，et al.Nonsequential double ionization of nonaligned diatomic molecules N2and O2［J］.Chin.Phys.B，2013，22：13303.

［2］ Agostini P，F(xiàn)abre F，Mainfray G，et al.Free-free transitions following six-photon ionization of xenon atoms［J］.Phys.Rev.Lett.，1979，42：1127.

［3］ Fu Y Z，Zhao S F，Zhou X X.Effects of the structural order of canthaxanthin on the Raman scattering cross section in various solvents：A study by Raman spectroscopy and ab initio calculation［J］.Chin.Phys.B，2012，21：113101.

［4］ Lohr A，Kleber M，Kopold R，et al.Above-threshold ionization in the tunneling regime［J］.Phys.Rev.A，1997，55：R4003.

［5］ Guo C，Li M，Nibarger J P，et al.Single and double ionization of diatomic molecules in strong laser fields［J］.Phys.Rev.A，1998，58：R4271.

［6］ Du H N，Miao X Y.Theoretical exploration of intensity effects on high-order harmonic generation from H2+molecules［J］.J.At.Mol.Phys.，2013，30（1）：115（in Chinese）［都慧妮，苗向陽.理論研究激光強(qiáng)度對(duì)H2+分子高次諧波產(chǎn)生的影響［J］.原子與分子物理學(xué)報(bào)，2013，30（1）：115］

［7］ Deng H Y，Zhou X X.Interference effects in highorder harmonic generation from N2moecules in intense laser fields［J］.J.At.Mol.Phys.，2009，26（1）：101（in Chinese）［鄧華依，周效信.強(qiáng)激光場中N2分子高次諧波的干涉效應(yīng)［J］.原子與分子物理學(xué)報(bào)，2009，26（1）：101］

［8］ Mishima K，Hayashi M，Yi J，et al.Theoretical studies of the long-range Coulomb potential effect on photoionization by strong lasers［J］.Phys.Rev.A，2002，66：053408.

［9］ Keldysh L V.Ionization in the field of a strong electromagnetic wave［J］.Sov.Phys.JETP，1965，20：1307.

［10］ Mishima K，Hayashi M，Yi J，et al.Generalization of Keldysh’s theory［J］.Phys.Rev.A，2002，66：033401.

［11］ Faisal F H M.Multiple absorption of laser photons by atoms［J］.J.Phys.B，1973，6：L89.

［12］ Reiss H R.Effect of an intense electromagnetic field on a weakly bound system［J］.Phys.Rev.A，1980，22：1786.

［13］ Becker A，F(xiàn)aisal F H M.Correlated Keldysh-Faisal-Reiss theory of above-threshold double ionization of He in intense laser fields［J］.Phys.Rev.A，1994，50：3256.

［14］ Jaroń-Becker A，Becker A，F(xiàn)aisal F H M.Saturated ionization of fullerenes in intense laser fields［J］.Phys.Rev.Lett.，2006，96：143006.

［15］ Mineo H，Nagaya K，Hayashi M，et al.Theoretical studies of high-harmonic generation based on the Keldysh–Faisal–Reiss theory［J］.J.Phys.B，2007，40：2435.

［16］ Chen B Z.Coulomb correction to Keldysh-Faisal-Reiss theory for photoionization of atoms［J］.Chin.Phys.Lett.，1997，14：585.

［17］ Wu J X，Wang G L，Lv X X，et al.Study on ionization of H atoms by intense laser fields with Strong-field approximation method［J］.J.At.Mol.Phys.，2011，28（2）：277（in Chinese）［吳金香，王國利，呂向向，等.用強(qiáng)場近似方法研究強(qiáng)激光場中H 原子的電離［J］.原子與分子物理學(xué)報(bào)，2011，28（2）：277］

［18］ Bauer J.Low-frequency–high-intensity limit of the Keldysh-Faisal-Reiss theory［J］.Phys.Rev.A ，2006，73：023421.

［19］ Bauer J H.Comparison of two forms of the S-matrix element of strong-field photoionization［J］.J.Phys.B，2008，41：185003.

［20］ Ma F C，Li Y Q，Song P，et al.A Keldysh-like formula for atom ionization in an intense field using the velocity-gauge［J］.（in press）

［21］ Gribakin G F，Kuchiev M Y.Multiphoton detachment of electrons from negative ions［J］.Phys.Rev.A，1997，55：3760.