反例教學(xué)法在工科數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用研究

熊淑艷

摘 要 現(xiàn)階段我國高校積極探索高等教育大眾化的背景下的多元特色教育模式，我校近年探索“721”人才培養(yǎng)模式，卓越工程師培養(yǎng)計(jì)劃等有了一定的成果。改革教學(xué)模式和教學(xué)方法以提高學(xué)生的綜合素質(zhì)及創(chuàng)新能力也是許多工作在教學(xué)一線的大學(xué)老師正在思考和研究的課題。筆者結(jié)合自己在指導(dǎo)青年教師授課及工科數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用反例法的一些體會(huì)，在這里與大家探討。

關(guān)鍵詞 工科數(shù)學(xué) 反例教學(xué)法 教學(xué)實(shí)例 實(shí)踐研究

中圖分類號(hào)：G424 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Research on the use of counter-examples Teaching

Method in Engineering Mathematics Teaching

XIONG Shuyan

（School of Science， Hubei University of Technology， Wuhan， Hubei 430068）

Abstract To explore the background of popularization of higher education in colleges and universities in our country at present stage under the mode of multiple characteristic education， our school in recent years to explore "721" personnel training mode， excellent engineer training program with certain achievements. Reform of teaching mode and teaching method to improve the students' comprehensive quality and innovative ability is also a lot of work in a line of university teacher is teaching and research topic. The author combines his engineering in guiding young teachers teaching and mathematics teaching， some experiences of using counterexample method， to discuss with you here.

Key words instance of engineering mathematics； counter-example； teaching method； teaching practice research

0 引言

數(shù)學(xué)中的反例，是相對(duì)于數(shù)學(xué)命題而言的具體的實(shí)際的例子，通常指數(shù)學(xué)命題不成立的例子。它是反駁與糾正錯(cuò)誤的一種方法，其實(shí)也算是一種反證法。調(diào)查發(fā)現(xiàn)，目前大學(xué)數(shù)學(xué)教材中很少有反例，某些數(shù)學(xué)課堂讓學(xué)生感到枯燥無味的原因是太過程式化、老套及千篇一律，通常是照著教材講完定義講性質(zhì)，然后再講定理，最后舉幾個(gè)正面例子，學(xué)生表面上掌握了知識(shí)，可心中卻有一些問題不知如何解決。其實(shí)一些老師也不愿意這樣做，想改變教學(xué)方式及方法，但我們的教材的編寫長期以來就是如此，使一些老師有“巧婦難為無米之炊”的感嘆。一般當(dāng)一個(gè)數(shù)學(xué)問題提出后，它面臨著兩種抉擇：一是根據(jù)已知的公理、定義、定理等經(jīng)過一系列的正確推理，推證命題成立；一是從一些跡象判斷該命題不成立，然后尋求一個(gè)滿足命題的條件，但使結(jié)論不成立的例證，從而否定這個(gè)命題，后者即為通常所說的反例。正如美國學(xué)者B.R.蓋爾鮑姆等人所指出的：“一個(gè)數(shù)學(xué)問題用一個(gè)反例予以解決，給人的刺激猶如一出好的戲劇”。①這個(gè)比喻，形象地說明了“反例”在數(shù)學(xué)教學(xué)中起著重要的作用。理解反例在教學(xué)過程中的重要作用并在教學(xué)實(shí)踐中運(yùn)用反例教學(xué)法，應(yīng)該引起廣大一線數(shù)學(xué)教師的重視。

1 教學(xué)案例及體會(huì)

1.1 巧借反例指點(diǎn)相近易混概念迷津

極限概念教學(xué)一直以來是工科數(shù)學(xué)老師最頭痛的事，很多老師以為自己在講臺(tái)上條理清晰、頭頭是道，但學(xué)生的反映通常是一知半解。比如無窮大量與無界量，有的老師對(duì)學(xué)生解釋說：無窮大量就是絕對(duì)值無限增大的量，無界量就是你無法找到一個(gè)有界的范圍可以將它包含在其中，聽起來都對(duì)，可是學(xué)生卻無法區(qū)分兩者的不同，時(shí)間一長更容易混淆，根據(jù)定義學(xué)生一般會(huì)明白無窮大量必為無界量；但無界量不一定是無窮大量，老師通常卻不怎么好解釋。為此，可構(gòu)造反例：函數(shù) = 顯然是（，）上的無界函數(shù)，因?yàn)閷?duì)于任意正整數(shù)， 都有 = 2，使得 （） = 2>。但當(dāng)→時(shí)，它并非無窮大，對(duì)于正整數(shù)， >0， = [ + 1]，使得 （） = 0<。②

1.2 恰當(dāng)運(yùn)用反例防止命題的錯(cuò)誤遷移

一般學(xué)生在遇到新問題時(shí)總會(huì)用定勢思維去思考解決，比如在學(xué)習(xí)“有界量與無窮小之積仍為無窮小”之后，我常常會(huì)問到：“有界量（0除外）與無窮大量之積仍為無窮大嗎？”不少學(xué)生不假思索回答是。理論上的解釋此時(shí)顯得蒼白無力，但一個(gè)生動(dòng)的反例：當(dāng)→0時(shí)，是無窮大，是有界量，而（） = 1。由于借用的是重要極限，學(xué)生學(xué)過之后能牢牢記住。

1.3 善于構(gòu)造反例解釋原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的某種性態(tài)關(guān)聯(lián)

高等數(shù)學(xué)以函數(shù)為研究對(duì)象，原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的某種性態(tài)關(guān)聯(lián)常常是學(xué)生很感興趣的內(nèi)容。比如可導(dǎo)奇（偶）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶（奇）函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)時(shí)原函數(shù)為偶函數(shù)，但導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)時(shí)原函數(shù)不一定為奇函數(shù)；同樣原函數(shù)為周期函數(shù)則導(dǎo)函數(shù)為周期函數(shù)，但導(dǎo)函數(shù)為周期函數(shù)原函數(shù)不一定為周期函數(shù)。這樣的結(jié)論學(xué)生很有興趣但長久之后容易模糊不清。以（）表示原函數(shù)，（）表示導(dǎo)函數(shù)，只需精心構(gòu)造一個(gè)反例：（） = + 1，（）= 1，這兩個(gè)問題都能迎刃而解，由于反例很典型，順勢會(huì)激發(fā)學(xué)生的興趣，既讓學(xué)生記住了結(jié)論，又促使學(xué)生自己動(dòng)手尋找更多類似的反例。

1.4 選擇典型反例讓學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)定理及應(yīng)用的局限性

在定理的教學(xué)中，選擇生動(dòng)實(shí)際的反例澄清錯(cuò)誤是簡潔高效的做法，特別是典型反例可用來說明定理的使用范圍。促使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中形成嚴(yán)密推理、重視條件的好習(xí)慣。Rolle定理的三個(gè)條件只是充分條件，不是必要條件，但這三個(gè)條件都是很重要的，缺了其中一個(gè)，結(jié)論就可能不成立。反例：函數(shù)（）= ，[0，1]不滿足條件（3）； 函數(shù)（） =∣∣，[，1]不滿足條件（2）；均無水平切線。又如應(yīng)用洛必達(dá)法則求極限時(shí)，特別要引起注意的是洛必達(dá)法則只是充分條件的法則，當(dāng)導(dǎo)數(shù)之比的極限不存在時(shí)不能斷定原來的函數(shù)之比的極限也不存在。反例：當(dāng)→時(shí)，/ →1，但導(dǎo)數(shù)之比 + 1的極限不存在。

2 積累和選編反例

教學(xué)反例不像普通正面的例題那樣隨處可尋，臨時(shí)構(gòu)造反例也會(huì)顯得困難重重，甚至由于教師的臨時(shí)發(fā)揮不好會(huì)給出一個(gè)錯(cuò)誤的例子，所以長期注意積累和選編反例是一個(gè)數(shù)學(xué)教師重視教學(xué)藝術(shù)的品格表現(xiàn)。一般可從如下幾個(gè)方面進(jìn)行思考：（1）特例法。（2）類比法。（3）性質(zhì)法。③

3 放手鼓勵(lì)學(xué)生構(gòu)造反例，培養(yǎng)創(chuàng)新品質(zhì)和求異思維

教學(xué)中通過講解反例及解答學(xué)生的疑難促進(jìn)學(xué)生深入理解概念并多角度地思考問題，學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)問題、討論問題、解決問題。恰當(dāng)引入反例，體驗(yàn)反例構(gòu)造的過程 ，不僅能開闊眼界、拓寬思路 、活躍思維，還能進(jìn)一步提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。教學(xué)實(shí)踐表明，反例的出現(xiàn)可以迅速澄清學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、定理及性質(zhì)的模糊認(rèn)識(shí) ，深入透徹地理解所學(xué)內(nèi)容，進(jìn)而消除學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)的畏難情緒，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。但同時(shí)我們應(yīng)該注意教學(xué)的主次關(guān)系，舉反例重在明辯是非，反例只是作為圍繞主要教學(xué)內(nèi)容而進(jìn)行的有效的輔助方法和手段。

4 結(jié)束語

綜上所述，數(shù)學(xué)的發(fā)展與批判和反駁分不開，在構(gòu)造反例的過程中學(xué)生的創(chuàng)造性得到了最大限度的發(fā)揮，通過反例教學(xué)法可實(shí)現(xiàn)教學(xué)相長，師生互促互進(jìn)并使思維變得活躍、流暢、獨(dú)特和富有創(chuàng)新性。

注釋

① 廖仲春.高等數(shù)學(xué)教學(xué)中反例的作用.長沙航空職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2006（2）：15-16.

② 吳志華.淺談反例在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用及構(gòu)造.牡丹江教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2008（3）：87-88.

③ 曹明響.淺談反例在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用.合肥師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2010（3）：15-16.