Mathematica在經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

溫如鳳 李瑩 于祥芬

摘要：利用Mathematica數(shù)學(xué)軟件將經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)的理論知識應(yīng)用于實(shí)際問題，將數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法和計(jì)算機(jī)應(yīng)用三者有機(jī)的結(jié)合，著重培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)來解決實(shí)際問題的能力。在使用Mathematica數(shù)學(xué)軟件應(yīng)用的過程中，應(yīng)注意學(xué)生綜合能力的培養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：Mathematica 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) 案例 應(yīng)用

1 概述

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)遵循“以應(yīng)用為目的，理論知識以必需夠用為度”的原則，淡化概念，注重應(yīng)用。因此，在教材中應(yīng)融入經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)驗(yàn)的新概念，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用現(xiàn)代信息技術(shù)手段解決問題。面對高職學(xué)生，Mathematica數(shù)學(xué)軟件在數(shù)學(xué)的理論知識與應(yīng)用之間架起了一座橋梁，將數(shù)學(xué)中復(fù)雜的運(yùn)算與計(jì)算機(jī)結(jié)合，使之變得更具體容易理解，增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)了學(xué)生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力，幫助學(xué)生在實(shí)踐的基礎(chǔ)上進(jìn)行創(chuàng)新。

Mathematica數(shù)學(xué)軟件是一個(gè)功能強(qiáng)大的數(shù)學(xué)軟件，它是美國伊利諾大學(xué)復(fù)雜系統(tǒng)研究中心主任、物理學(xué)、數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)教授Stephen Wolfram負(fù)責(zé)研制的。學(xué)生在學(xué)習(xí)微積分初期必須掌握的求函數(shù)的極限、導(dǎo)數(shù)、積分的運(yùn)算，借助Mathematica軟件的強(qiáng)大的數(shù)值運(yùn)算功能，從而解決生產(chǎn)管理和經(jīng)濟(jì)金融中的計(jì)算問題。

2 Mathematica軟件的基本命令

雙擊Mathematica軟件的圖標(biāo)即可啟動Mathematica軟件。在其命令窗口中輸入命令，如Sin[Pi/2]，然后按下Shift與Enter鍵即可執(zhí)行相應(yīng)的命令。在輸入的命令中出現(xiàn)提示符“In[1]：=”，其中，“In”表示“輸入”，數(shù)字1表示輸入命令的序號；在運(yùn)行結(jié)果之前會自動出現(xiàn)提示符“Out[1]=”，其中“Out”表示“輸出”。

3 數(shù)學(xué)軟件Mathematica在經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

3.1 用Mathematica計(jì)算極限

3.1.1 相關(guān)Mathematica軟件命令

Mathematica系統(tǒng)中，求極限的語言是“Limit[函數(shù)，自變量→數(shù)值或∞]”

即Limit[f（x），x→x0]

3.1.2 案例分析

例1 計(jì)算■■

In[1]：=Limit[Sin[3x]/x，x→0]

Out[1]=3

例2 計(jì)算■■

In[2]：=Limit[1/x，x→0，Direction→1]

Out[2]=+∞

例3 某儲戶將100萬元的人民幣以活期的形式存入銀行，假設(shè)年利率5%，如果銀行允許儲戶在一年內(nèi)可任意次結(jié)算，在不計(jì)息稅的情況下，若儲戶等間隔的結(jié)算n次，每次結(jié)算后將本息全部存入銀行，問：一年后該儲戶的本息和是多少？隨著結(jié)算次數(shù)的無限增加，一年后該儲戶是否會成為千萬富翁？

解：若每次計(jì)息一次，那么本利和為

10000001+0.05

若每年計(jì)息兩次，那么本利和為

10000001+■■

若每年計(jì)息三次，那么本利和為

10000001+■■

若每年計(jì)息n次，那么本利和為

10000001+■■

隨著結(jié)算次數(shù)的無限增加，即n→∞，故一年后本息和共計(jì)：■10000001+■■

輸入：Limit[10000001+■■，n→∞]

輸出1.00501×106

即一年后該儲戶不會成為千萬富翁。

3.2 用Mathematica計(jì)算導(dǎo)數(shù)

3.2.1 相關(guān)Mathematica軟件命令

Mathematica系統(tǒng)中，求導(dǎo)數(shù)的函數(shù)為：“D[函數(shù)f[x]，自變量x]”用于求函數(shù)f[x]的一階導(dǎo)數(shù)，即D[f，x]；“D[函數(shù)f[x]，自變量x，階數(shù)n]”用于求函數(shù)f[x]的n階導(dǎo)數(shù)，即D[f，{x，n}]。

3.2.2 隱函數(shù)與由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，需將求導(dǎo)命令與其他命令結(jié)合起來，才能奏效！與筆算的做法一樣，先在方程兩邊對變量x求導(dǎo)，再從所得方程中解出y′（x）即可。這兩個(gè)步驟分別可由以下兩個(gè)語句完成：

D[f（x）==0，x]

Solve[%，D[y[x]，x]]

將它們合并，就成為Solve[D[f（x）==0，x]，D[y[x]，x]

運(yùn)行之后可求出y′（x）。

3.2.3 案例分析

例4 計(jì)算3xn的一階導(dǎo)數(shù)

In[3]：=D[3xn，x]

Out[3]=3nxn-1

例5 計(jì)算y=ln（1+x）的二階導(dǎo)數(shù)

In[4]：=D[Log（1+x），{x，2}]

Out[4]=-■

例6 求由方程xy-ex+ey=0確定的函數(shù)y=y（x）的導(dǎo)數(shù)。

In[5]：=Solve[D[x*y[x]-e^x+e^y[x]==0，x]，D[y[x]，x]]

Out[5]={{y′[x]→■}}

例7 某工廠生產(chǎn)某種商品，年產(chǎn)量為q（單位：百臺），成本C（單位：萬元），其中固定成本為2萬元，而每生產(chǎn)1百臺成本增加1萬元，市場上每年可以銷售此種商品4百臺，其銷售收入R是q的函數(shù)R（q）=4q-■q2，q∈[0，4]，問年產(chǎn)量為多少時(shí)其利潤最大？

分析：要求利潤函數(shù)L（q）=收入函數(shù)R（q）-成本函數(shù)C（q），其中R（q）是已知的，C（q）是未知的，因此，確定C（q）是最基本的。而固定成本為2萬元，生產(chǎn)q單位商品的變動成本為1·q萬元。所以成本函數(shù)C（q）=q+2，q∈[0，∞]，由此的利潤函數(shù)L（q）=R（q）-C（q）=3q-■q2-2，q∈[0，4]，則 L′（q）=3-q，q∈[0，4]，令L′（q）=0得q=3，又因?yàn)長″（q）=-1<0，所以q=3是唯一的極大值點(diǎn)。

In[6]：=Clear[f，q]

f[q_]=3q-■q2-2

Solve[D[f[q]，q]==0，q]

D[f[q]，{q，2}]

Out[7]=-2+3q-q2/2

Out[8]={{q→3}}

Out[9]=-1

3.3 用Mathematica計(jì)算積分

3.3.1相關(guān)Mathematica軟件命令

在Mathematica系統(tǒng)中，求不定積分的函數(shù)為“Integrate[函數(shù)f[x]，自變量x ]”，即Integrate[f，x]。求定積分的函數(shù)為“Integrate[函數(shù)f[x]，{積分變量x，下限a，上限b}]”，即Integrate[f，{x，a，b}]。

3.3.2 案例分析

例8 用Mathematica求■xarctanxdx

In[10]：=Integrate[xarctanx，x]

out[11]=■-x+1+x■arctan[x]

例9 用Mathematica求■lnxdx

In[12]：=Integrate[Log[x]，{x，1，y}]

out[13]=1+y*（-1+Log[y]）

4 結(jié)束語

總之，經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)中關(guān)于函數(shù)求極限、求導(dǎo)、求經(jīng)濟(jì)函數(shù)最值問題、求不定積分和定積分等問題構(gòu)成了經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容，也是學(xué)生學(xué)習(xí)和計(jì)算的重點(diǎn)和難點(diǎn)，引入Mathematica 軟件進(jìn)行經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)，將理論學(xué)習(xí)與Mathematica軟件使用相結(jié)合，有利于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)軟件分析、解決經(jīng)濟(jì)問題的能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]趙樹嫄.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[M].北京：中國人民大學(xué)出版社，2002.

10.

[2]李林曙，黎詣遠(yuǎn).經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)微積分[M].高等教育出版社，2003.

[3]夏勇，汪曉空.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2003.

[4]張韻華，王新茂.Mathematica 7實(shí)用教程[M].合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2011.

[5]賴鄭靖波.將數(shù)學(xué)軟件和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)融入微積分教學(xué)的實(shí)踐[J].安徽工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)（社會科學(xué)版），2003（1）：82-83.

[6]賴興琿.Mathematica 軟件在高校數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].玉林師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2003（4）：36-38.

[7][美]D.尤金.Mathematica使用指南[M].科學(xué)出版社，2002年.

基金項(xiàng)目：課題項(xiàng)目名稱：青年課題，課題名稱：高職院?！督?jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)》教材開發(fā)的探究，編號：2012QN06。

作者簡介：溫如鳳（1981-），女，山東濟(jì)南人，碩士，濟(jì)南幼兒師范高等專科學(xué)校助教，研究方向：代數(shù)半群。